第三章 图形的平移与旋转期末高频必刷题（八大题型）-2025-2026学年八年级数学下册期末高频必刷题（北师大版）

第三章 图形的平移与旋转期末高频必刷题 【题型 1：平移的概念与性质辨析】 【题型 2：平面直角坐标系中的平移】 【题型 3：平移作图与实际应用】 【题型 4：旋转的概念与性质辨析】 【题型 5：平面直角坐标系中的旋转】 【题型 6：旋转作图与旋转模型】 【题型 7：平移、旋转、轴对称的综合辨析】 【题型 8：最短距离问题（造桥选址 / 将军饮马类）】 【题型 1：平移的概念与性质辨析】 1．下列四个选项中的图案，可以由如图所示的图案平移得到的是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】平移变换不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置． 【详解】解：A、该图案不能通过平移得到，故不符合题意； B、该图案能通过平移得到，故符合题意； C、该图案不能通过平移得到，故不符合题意； D、该图案不能通过平移得到，故不符合题意． 2．如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可知对应线段相等，对应点之间的距离即为平移距离，结合图形利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移到， ∴平移距离为线段的长，且， 由图可知，点在线段上 ∵，， ∴， ∴平移距离为3． 3．如图，点是长方形内部一点，连接、，将三角形沿方向向上平移至三角形的位置，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质可知，然后利用求解． 【详解】解：∵三角形沿方向向上平移至三角形的位置， ∴， ∴． 4．有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：利用平移的思想，将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 花圃长米，宽米，道路宽米， 种花部分可拼接为长（米），宽（米）的长方形， 种花的面积是（平方米）． 5．如图，平移得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质：平移前后的图形全等，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点连线平行（或共线）且相等，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵平移得到， ∴，，， 无法判断． 【题型 2：平面直角坐标系中的平移】 6．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，得到的对应点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，点上下平移时横坐标不变，纵坐标满足“上移加，下移减”的规律即可得到结果． 【详解】解：∵点平移时，向上平移只改变纵坐标，横坐标不变，且纵坐标满足“上移加”的规律， ∴将点向上平移个单位长度，对应点的横坐标不变，仍为，纵坐标为， ∴的坐标为． 7．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向左平移6个单位长度，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将点向上平移3个单位长度，再向左平移6个单位长度，得到的点的坐标为，即． 8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，其中点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点A和其对应点C确定平移规律，再按规律计算点D的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后得到对应点， ∴平移规律为横坐标增加，纵坐标增加，即线段向右平移个单位，纵坐标不变， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 9．如图，线段平移得到线段，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出线段先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到线段，即可得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：平移前后点对应点，点对应点， 线段先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到线段， ，， ， 故选：A． 10．如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点和点的坐标确定平移规律，再将该规律应用到点上即可求出点的坐标． 【详解】解：点 平移后的对应点是， 线段平移的方式为向右平移 个单位长度，再向上平移个单位长度， 点， 点的对应点的坐标是 ，即． 【题型 3：平移作图与实际应用】 11．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在网格图中标出边的中点P，并写出点P的坐标． (2)将先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到，作出，并在y轴上找一点Q，使与的面积相等，则点Q的坐标为______． 【答案】(1)，点P如图所示，； (2)，或． 【分析】（1）由平面直角坐标系可知，，，再结合中点坐标公式求出坐标并画点作答即可； （2）设，根据图形和三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：设， 与的面积相等， ， 或， 点Q的坐标为或． 12．如图，若三角形是由三角形平移后得到的（点的对应点分别是点），且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，且． (1)画出三角形并写出点的坐标； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)如图，三角形即为所求．点的坐标为 (2) 【分析】（1）根据三角形中任意一点经过平移后的对应点为，得到平移规则为三角形先向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出三角形，进而写出点的坐标即可； （2）分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）略 （2）解：三角形的面积. 13．如图，三角形是三角形经过平移得到的，三角形的三个顶点分别为，，．三角形中任意一点平移后的对应点为． (1)在平面直角坐标系中画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)求在整个平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平面直角坐标系中平移的性质，平移后所有点的横纵坐标变化量相同，可以得到图形移动的路径； （2）将三角形放在一个长方形中，利用割补法求解即可； （3）线段扫过的面积为四边形的面积，将四边形放在一个长方形中，利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：由三角形中任意一点平移后的对应点为， 可知三角形向上移动4个单位，向左移动3个单位． （2）解：． （3）解：． 【题型 4：旋转的概念与性质辨析】 14．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 15．如图，在中，，，点在底边上，如果绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合， ∴旋转角为， ∵点在底边上， ∴，即旋转角的度数为． 16．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 17．如图，在中，，，．将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，此时，点恰好在上，则点与点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，此时，点恰好在上， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点与点的距离是． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理．掌握旋转的性质是解题的关键． 【题型 5：平面直角坐标系中的旋转】18．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若原点点坐标为，则它关于原点对称的点的横、纵坐标都变为原数的相反数，即对称点坐标为 ． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 19．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，将关于轴的对称图形绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据图中的位置求出点A的坐标，再求出点A关于x轴的对称点的坐标，然后根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于x轴的对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴点． 20．在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作轴于点B，过点作轴于点C，证明，得到，则点的坐标为． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点B，过点作轴于点C， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为． 21．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质．利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴，过作轴，垂足分别为， 由题意得，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 如图，与关于原点对称， ，，，，，，， 观察可知点回到点B的位置后从点开始重复点到点的变换规律， 即由点到点为一个变换周期， ， 即点的坐标为， 故选：B． 【题型 6：旋转作图与旋转模型】 22．如图，已知点的坐标分别为，，． (1)将沿着轴向左平移5个单位长度后得到，请画出； (2)将绕着点顺时针旋转后得到，请画出； (3)线段在轴上运动（点在点左边），且，请求出的最小值． 【答案】(1)解：如图，即为所求； ． (2)解：如图，即为所求； ． (3) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接，，取点左侧一格点，连接，作点关于轴的对称点，连接，当共线时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，， 取点左侧一格的点，连接，则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点，则，连接， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵ ∴， ∴的最小值为． 23．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的； (2)画出以点为旋转中心顺时针旋转后得到的； (3)连接，，直接写出四边形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据要求作图即可； （3）根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解： ． 24．探究与应用： (1)【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； (2)【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数； (3)【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 【答案】(1)①证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 在中，由勾股定理得：， 由①知， ∴； (2)的度数为 (3) 【分析】（1）①证明即可证明结论；②证明，根据即可得出结论； （2）证明，得出是直角三角形，且，即可求出结论； （3）证明，得出是等腰直角三角形，求出，再根据勾股定理求出结论； 【详解】（1）略 （2）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ∴的度数为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 25．问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．    (1)【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； (2)【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； (3)【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：连接，如图，    由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型 7：平移、旋转、轴对称的综合辨析】 26．如下图，已知，，，． (1)将绕点逆时针旋转得，画出； (2)画出关于原点成中心对称的图形，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特点画图即可； （2）根据成中心对称图形的性质，结合网格特点画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： 27．如图，在平面直角坐标系中，的各顶点的坐标分别为，，． (1)如图1，若和关于点M成中心对称，点A，B，C的对应点分别是D，E，F，则对称中心点M的坐标为__________． (2)请在图2中作绕点O按逆时针方向旋转得到的，点A，B，C的对应点分别为，，． (3)在（2）的条件下，将先向下平移5个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，，请在图2中画出，并直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)作图见详解 (3)作图见详解， 【分析】（1）连接，，，交点即为对称中心M； （2）根据网格结构找出点A、B、C关于点O逆时针旋转后的对应点，，的位置，然后顺次连接即可； （3）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点，，的位置，然后顺次连接即可，从而求得点的坐标． 【详解】（1）解：如图，连接，，，得到对称中心M的坐标为． （2）解：如图，即为所作． （3）解：如图，即为所作．点的坐标为． 28．在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人、、构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． (1)在图中画出； (2)为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； (3)队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标为________ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，绕点顺时针旋转得到， 的坐标为． 29．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，请按要求解决下列问题． (1)将绕点旋转，画出旋转后对应的（点，的对应点分别为点，）； (2)平移，使点平移后的对应点为，画出平移后的（点，的对应点分别为点，）； (3)和是否成中心对称？如果是，请直接写出对称中心的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)是，对称中心坐标为． 【分析】（）根据图中的网格结构分别找出点绕点旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （）根据网格结构找出点平移后的位置，然后顺次连接即可； （）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：是，如图，连接，， ∴对称中心坐标为． 【题型 8：最短距离问题（造桥选址 / 将军饮马类）】 30．已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 31．综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 【答案】（）画图见解析，；（）画图见解析，，；（） 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，平移的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （）先完成画图，再设，接着求出的坐标，求出，然后分别用表示出，，根据，列出关于的方程求解即可求得的坐标； （）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所作，先得出的坐标，设，从而可用表示出的坐标，再求得，然后用、，再得到关于的方程求解，从而可得，； （）先说明，从而可得，，进而得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据，得到关于的方程求解，进而求得． 【详解】（）解：画图如下： 设， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （）如图，在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所求． ∴由作图可知：与平行且相等， ∵直线与轴平行， ∴， ∵，即， ∴， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，； （）如图，过点作交延长线于点，过点作轴于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的平移与旋转期末高频必刷题 【题型 1：平移的概念与性质辨析】 【题型 2：平面直角坐标系中的平移】 【题型 3：平移作图与实际应用】 【题型 4：旋转的概念与性质辨析】 【题型 5：平面直角坐标系中的旋转】 【题型 6：旋转作图与旋转模型】 【题型 7：平移、旋转、轴对称的综合辨析】 【题型 8：最短距离问题（造桥选址 / 将军饮马类）】 【题型 1：平移的概念与性质辨析】 1．下列四个选项中的图案，可以由如图所示的图案平移得到的是（     ） A．B．C．D． 2．如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点是长方形内部一点，连接、，将三角形沿方向向上平移至三角形的位置，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 5．如图，平移得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型 2：平面直角坐标系中的平移】 6．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，得到的对应点的坐标是（） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向左平移6个单位长度，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，其中点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，线段平移得到线段，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型 3：平移作图与实际应用】 11．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在网格图中标出边的中点P，并写出点P的坐标． (2)将先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到，作出，并在y轴上找一点Q，使与的面积相等，则点Q的坐标为______． 12．如图，若三角形是由三角形平移后得到的（点的对应点分别是点），且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，且． (1)画出三角形并写出点的坐标； (2)求三角形的面积． 13．如图，三角形是三角形经过平移得到的，三角形的三个顶点分别为，，．三角形中任意一点平移后的对应点为． (1)在平面直角坐标系中画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)求在整个平移过程中，线段扫过的面积． 【题型 4：旋转的概念与性质辨析】 14．下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，点在底边上，如果绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合，则旋转角的度数为（    ） A． B． C． D． 16．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 17．如图，在中，，，．将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，此时，点恰好在上，则点与点的距离是（　　） A． B． C． D． 【题型 5：平面直角坐标系中的旋转】 18．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，将关于轴的对称图形绕原点旋转，得到，则点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型 6：旋转作图与旋转模型】 22．如图，已知点的坐标分别为，，． (1)将沿着轴向左平移5个单位长度后得到，请画出； (2)将绕着点顺时针旋转后得到，请画出； (3)线段在轴上运动（点在点左边），且，请求出的最小值． 23．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的； (2)画出以点为旋转中心顺时针旋转后得到的； (3)连接，，直接写出四边形的面积为________． 24．探究与应用： (1)【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； (2)【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数； (3)【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 25．问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．    (1)【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； (2)【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； (3)【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 【题型 7：平移、旋转、轴对称的综合辨析】 26．如下图，已知，，，． (1)将绕点逆时针旋转得，画出； (2)画出关于原点成中心对称的图形，画出． 27．如图，在平面直角坐标系中，的各顶点的坐标分别为，，． (1)如图1，若和关于点M成中心对称，点A，B，C的对应点分别是D，E，F，则对称中心点M的坐标为__________． (2)请在图2中作绕点O按逆时针方向旋转得到的，点A，B，C的对应点分别为，，． (3)在（2）的条件下，将先向下平移5个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，，请在图2中画出，并直接写出点的坐标． 28．在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人、、构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． (1)在图中画出； (2)为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； (3)队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标为________ 29．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，请按要求解决下列问题． (1)将绕点旋转，画出旋转后对应的（点，的对应点分别为点，）； (2)平移，使点平移后的对应点为，画出平移后的（点，的对应点分别为点，）； (3)和是否成中心对称？如果是，请直接写出对称中心的坐标． 【题型 8：最短距离问题（造桥选址 / 将军饮马类）】 30．已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 31．综合与实践 【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？ 【方法探究】 （）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标； 【类比推广】 （）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标； 【拓展创新】 （）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $