第一章 三角形的证明及应用期末高频必刷题（十五大题型）-2025-2026学年八年级数学下册期末高频必刷题（北师大版）

**基本信息** 聚焦三角形与多边形核心性质，以15类高频题型构建从基础计算到综合证明的递进训练，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形基本性质|3题型|内角和计算、折叠角度、外角应用|从内角和定理到外角性质，结合图形变换强化角度转化| |多边形性质|7题型|内角和、截角变化、对角线计算等|从三角形拓展到多边形，构建内外角和公式与实际应用（如行走转向）的联系| |特殊三角形|3题型|等腰、等边、直角三角形的性质判定|深化三角形性质，突出边角关系与全等证明的综合应用| |位置关系|2题型|垂直平分线、角平分线应用|结合距离相等性质，体现几何性质在实际场景（如口袋公园选址）的应用|

第一章 三角形的证明及应用期末高频必刷题 【题型 1:三角形内角和的计算】 【题型 2:三角形折叠/剪拼中的角度问题】 【题型 3:三角形外角的定义与性质应用】 【题型 4:多边形内角和公式应用】 【题型 5:多边形截角后的边数与内角和变化】 【题型 6:多边形对角线的条数计算】 【题型 7:对角线分成的三角形个数问题】 【题型 8:正多边形的外角与内角计算】 【题型 9:多边形外角和的实际应用(如行走转向问题)】 【题型 10:多边形内角和与外角和综合题】 【题型 11:等腰三角形的性质与判定】 【题型 12:等边三角形的性质与判定】 【题型 13:直角三角形的性质与判定】 【题型 14:线段垂直平分线的性质与应用】 【题型 15:角平分线的性质与应用】 【题型 1:三角形内角和的计算】 1．如图，已知中，，那么_________． 2．将一副直角三角板如图方式摆放，则的度数为____________． 3．如图是一块三角形木板的残余部分， 量得，，则这块三角形木板缺少的角的度数是__________． 【题型 2:三角形折叠/剪拼中的角度问题】 4．如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A，D分别落在点，处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么___________度．    【题型 3:三角形外角的定义与性质应用】 7．唐朝王湾的《次北固山下》颔联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气，坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪．如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（     ） A．减少 B．增大 C．保持不变 D．增大 9．如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在同一平面内，一束光线经过镜面1和镜面2两次反射，已知，，则两条光线的夹角（   ） A． B． C． D． 【题型 4:多边形内角和公式应用】 11．七边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 12．若四边形的四个外角的度数比为，则其中最大的内角的度数是（    ） A． B． C． D． 13．如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形是________边形． 14．如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 【题型 5:多边形截角后的边数与内角和变化】 15．将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 16．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 17．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【题型 6:多边形对角线的条数计算】 18．一个六边形从一个顶点出发能画出的对角线的条数是（  ） A． B． C． D． 19．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 20．若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型 7:对角线分成的三角形个数问题】 21．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 22．过某个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成6个三角形，这个正多边形每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 23．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【题型 8:正多边形的外角与内角计算】 24．如图，边长相等的正五边形和正六边形一边重合放置，则的度数为（     ） A． B． C． D． 25．把边长相等的正六边形和正五边形的一边按如图的方式叠放在一起，则度数为（     ） A． B． C． D． 26．如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 27．图中的1角硬币外轮廓呈圆形，内部雕刻了正九边形的形状，则正九边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【题型 9:多边形外角和的实际应用(如行走转向问题)】 28．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为（   ） A． B． C． D． 29．在学习多边形的内角和外角知识以后，2班的小朋友们在操场做了一个实验，如图，张梓佑从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转度，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，她共走了72米，请计算出张梓佑每次旋转的角度为（    ）    A． B． C． D． 【题型 10:多边形内角和与外角和综合题】 30．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（     ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 31．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（   ） A．内角和增加 B．内角和增加 C．外角和增加 D．外角和增加 32．一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍还多． (1)求这个多边形的每一个外角的度数； (2)求这个多边形的内角和． 【题型 11:等腰三角形的性质与判定】 33．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 34．如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 35．如图，中，是边上的点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 36．【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系，已知在中，，，，点从点出发在直线上以速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，，设运动时间为 ． (1)【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：_______________，_______________． (2)【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为_______________； (4)【拓展应用】当的值为_______________秒时，的面积为． 【题型 12:等边三角形的性质与判定】 37．如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且点在线段的垂直平分线上．已知，． (1)求证：是等边三角形． (2)求：的长度． 38．如图，中，，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于点，，，求的长． 39．问题探究及变式 (1)【问题探究】如图1，锐角中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图2，四边形中，，求的长；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确叙述辅助线的作法，并计算线段的长； (3)【变式思考】如图3，四边形中，连接对角线，，，求的长． 【题型 13:直角三角形的性质与判定】 40．如图，是上的一点，且， (1)求证：． (2)若，则等于______． 41．如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 42．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【题型 14:线段垂直平分线的性质与应用】 43．如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．如图，在中，，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，则的周长为（   ） A．17 B．24 C．26 D．27 45．如图，在中，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接，．则的周长为（    ）． A． B． C．10 D．12 【题型 15:角平分线的性质与应用】 46．如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（    ） A．9 B．6 C．5 D．5.5 47．如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 48．如图，在中，和的平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 49．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 50．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明及应用期末高频必刷题 【题型 1:三角形内角和的计算】 【题型 2:三角形折叠/剪拼中的角度问题】 【题型 3:三角形外角的定义与性质应用】 【题型 4:多边形内角和公式应用】 【题型 5:多边形截角后的边数与内角和变化】 【题型 6:多边形对角线的条数计算】 【题型 7:对角线分成的三角形个数问题】 【题型 8:正多边形的外角与内角计算】 【题型 9:多边形外角和的实际应用(如行走转向问题)】 【题型 10:多边形内角和与外角和综合题】 【题型 11:等腰三角形的性质与判定】 【题型 12:等边三角形的性质与判定】 【题型 13:直角三角形的性质与判定】 【题型 14:线段垂直平分线的性质与应用】 【题型 15:角平分线的性质与应用】 【题型 1:三角形内角和的计算】 1．如图，已知中，，那么_________． 【答案】270 【分析】根据三角形内角和定理求出 的度数，再根据邻补角的定义即可求解． 【详解】∵在 中，， ， 由图可知， 与 互为邻补角， 与 互为邻补角， ，， ． 2．将一副直角三角板如图方式摆放，则的度数为____________． 【答案】/75度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，的度数，再根据对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 故答案为： 3．如图是一块三角形木板的残余部分， 量得，，则这块三角形木板缺少的角的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴缺少的角的度数是． 故答案为：． 【题型 2:三角形折叠/剪拼中的角度问题】 4．如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 5．如图，将长方形纸片沿折叠，使点A，D分别落在点，处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的计算相关知识点．值得注意的是，“折叠”前后的两个图形是全等形，这在初中数学几何部分应用的比较广泛，应熟练掌握． 根据“折叠”前后的等量关系可以得知和分别是1和1的角平分线，再利用平角是，计算求出． 【详解】解：∵ ∴ ∵将纸片沿折叠，使点A落在点处，点D落在点处， ∴平分，平分 ∴ ∴ 故选：B． 6．如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么___________度．    【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．根据平角及折叠可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠可知， ， ， ， 故答案为：65． 【题型 3:三角形外角的定义与性质应用】 7．唐朝王湾的《次北固山下》颔联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气，坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪．如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 8．如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是（     ） A．减少 B．增大 C．保持不变 D．增大 【答案】B 【分析】根据外角的性质，推出为定值，进行分析即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴当减少时，∠2增大. 9．如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 10．如图，在同一平面内，一束光线经过镜面1和镜面2两次反射，已知，，则两条光线的夹角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据光的反射定律（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角），结合三角形的外角性质或内角和定理，求出两条光线的夹角． 【详解】解：设入射光线为，经过镜面1反射后的光线为，经过镜面2反射后的光线为， ∵光线经过镜面1反射，， ∴入射光线与镜面1的夹角为， ∴与的夹角为， ∵光线经过镜面2反射，， ∴反射光线与镜面2的夹角为， ∴与的夹角为， 在由光线、光线、光线构成的三角形中， 由三角形外角的性质得：． 【题型 4:多边形内角和公式应用】 11．七边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可直接利用多边形内角和公式计算，边形的内角和为，将七边形的边数代入公式即可得到结果． 【详解】解：∵边形的内角和公式为，七边形的边数， ∴七边形的内角和为． 12．若四边形的四个外角的度数比为，则其中最大的内角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用多边形外角和为的性质，结合比例求出各外角的度数，再根据内角与相邻外角互补的关系求解，最大内角对应最小的外角． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，四边形四个外角的度数比为， ∴设四个外角的度数分别为，，，， 列方程得 解得， ∵内角与相邻外角的和为，外角越小，对应内角越大， ∴最小外角为，其对应的内角即为最大内角， 计算得最大内角度数为 ． 13．如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形是________边形． 【答案】八 【分析】设这个多边形的边数为，由该多边形每一个内角都等于，可得其内角和为，结合多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得： ， 解得， 这个多边形是八边形． 14．如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 【答案】 【分析】根据正五边形的每个内角的大小和四边形的内角和解题． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵四边形的内角和为， 正五边形的每个内角为， ∴， ， 即． 【题型 5:多边形截角后的边数与内角和变化】 15．将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别画出图形，根据三角形和四边形的内角和进行解答即可． 【详解】解：在四边形中，内角和等于． ∵，，， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（1）所示， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（2）所示， ∴． 综上所述，剪去的这个角的度数是或． 16．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 17．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，那么原来多边形的边数不可能为 （   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n，则， 解得：． ∵一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变， ∴原多边形的边数可能为7或8或9． 故选：A． 【题型 6:多边形对角线的条数计算】 18．一个六边形从一个顶点出发能画出的对角线的条数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对角线定义，从多边形一个顶点出发，不能与自身和相邻顶点连接形成对角线，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵该多边形为六边形，边数， 从多边形一个顶点出发，不能与自身以及相邻的个顶点连接成对角线， ∴可画出的对角线条数为， 将代入得， ∴一个六边形从一个顶点出发能画出条对角线． 19．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 20．若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质．正多边形的每个外角都相等．n边形的对角线条数为条，据此根据多边形外角和定理求出边数即可得到答案． 【详解】 解：每个外角都是， 这个多边形的边数为：， 这个正多边形的对角线是条． 故选：B． 【题型 7:对角线分成的三角形个数问题】 21．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】B 【详解】解：设这个多边形是边形， ∵边形过一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，题目中分成了个三角形， ∴， 解得， 因此这个多边形是五边形， 22．过某个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成6个三角形，这个正多边形每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据过多边形一个顶点的对角线分三角形的规律求出正多边形的边数，再利用多边形内角和公式计算每个内角的度数． 【详解】解：∵过正多边形一个顶点的所有对角线将这个正多边形分成6个三角形， ∴设正多边形的边数为，可得， 解得，即该正多边形为正八边形； ∵边形的内角和为， ∴正八边形的内角和为， ∴正八边形每个内角的度数为． 23．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 【题型 8:正多边形的外角与内角计算】 24．如图，边长相等的正五边形和正六边形一边重合放置，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先理解题意，根据正多边形的性质，列式计算求出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：如图： 依题意，， ∴ 25．把边长相等的正六边形和正五边形的一边按如图的方式叠放在一起，则度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的内角度数的计算，根据正多边形的内角度数的公式，分别计算出每一个正多边形的内角度数即可求解． 【详解】解：∵正边形内角和公式为，每个内角的度数为， ∴正六边形（）每个内角：， 正五边形（）每个内角：， ∴． 26．如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正多边形的外角公式求出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴． 27．图中的1角硬币外轮廓呈圆形，内部雕刻了正九边形的形状，则正九边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和，掌握多边形外角和是是正确解答的关键．根据多边形的外角和是进行解答即可． 【详解】解：正多边形的外角和是， 故选：A． 【题型 9:多边形外角和的实际应用(如行走转向问题)】 28．一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度求得所需时间即可． 【详解】解：∵， ∴所走的路程是：， 则所用时间是：． 29．在学习多边形的内角和外角知识以后，2班的小朋友们在操场做了一个实验，如图，张梓佑从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转度，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，她共走了72米，请计算出张梓佑每次旋转的角度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形的外角的定义解决此题． 【详解】解：∵， ∴． ∴每次旋转的角度． 故选：B． 【点睛】本题主要考查多边形的外角，熟练掌握多边形的外角的定义是解决本题的关键． 【题型 10:多边形内角和与外角和综合题】 30．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（     ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】利用多边形外角和为，边形内角和公式，和题目给出的内角和外角的倍数关系列方程求解边数即可． 【详解】设这个多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和为，且该多边形内角和是外角和的倍， ∴该多边形的内角和为 又∵边形的内角和公式为 ∴列方程得 两边同除以得 解得 ∴这个多边形是八边形． 31．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（   ） A．内角和增加 B．内角和增加 C．外角和增加 D．外角和增加 【答案】A 【分析】根据边形内角和公式为，任意多边形外角和恒为是解题关键，计算边数增加1后内角和的变化即可判断选项． 【详解】解：设原多边形为边形， 边形内角和为，边数增加后变为边形， 新多边形内角和为， 内角和增加的度数为， 故A选项正确； 又任意多边形的外角和恒为，边数增加时外角和不变， B、C、D选项错误． 32．一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的3倍还多． (1)求这个多边形的每一个外角的度数； (2)求这个多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的每一个外角为 (2)这个多边形的内角和为 【详解】（1）解：设这个多边形的每一个外角的度数为x，由题意得： ， 解得：， 答：这个多边形的每一个外角为； （2）解：，， 答：这个多边形的内角和为． 【题型 11:等腰三角形的性质与判定】 33．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； (2)解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）知， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）根据等边对等角得到，根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可判断的形状． 【详解】（1）略 （2）略 34．如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质证即可； （2）根据等角的余角相等，结合等角对等边得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，     平分， ，     ，     是等腰三角形． （2）解：， ，，     ， ，，     ，     ． 35．如图，中，是边上的点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的判定以及三角形的外角性质证明即可； （2）过点作于点，由三线合一得到，然后对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：过点作于点， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 36．【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系，已知在中，，，，点从点出发在直线上以速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，，设运动时间为 ． (1)【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：_______________，_______________． (2)【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为_______________； (4)【拓展应用】当的值为_______________秒时，的面积为． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，见解析 (3)3或13 (4)当t为或时，的面积为 【分析】（1）由证明可得出，的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可； （4）作于点，利用三角形面积公式求得，再分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：，， ，， ∵， ， ，， ， ； （2）解：成立．理由如下： ∵，， ，， ， ∵，， ， ，， ， ； （3）解：①当点在上时，如图， 由（1）可知， ， ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知，， ， ， 综上所述，线段的长为3或； （4）解：作于点， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵点D从点C出发在直线上以速度运动，设运动时间为， ∴， ①当点在上时，， ∴； ②当点在延长线上时，， ∴； 综上，当t为或时，的面积为． 【题型 12:等边三角形的性质与判定】 37．如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且点在线段的垂直平分线上．已知，． (1)求证：是等边三角形． (2)求：的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易证，由三角形内角和定理求出，再根据等腰三角形三线合一可证平分，求出，再根据点在线段的垂直平分线上，可得，即可证明结论； （2）由（1）得，利用直角三角形的性质求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴平分， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：由（1）知是等边三角形， 又∵， ∴， ∵，是的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 38．如图，中，，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)14 【分析】（1）由，，判定为等边三角形，得，；结合，用可证； （2）由得，根据外角的性质进行求解即可； （3）根据，，可得中，则；结合，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 为等边三角形， ，． ， ； （2）解：， ． ， ， ； （3）解：，， ， ． ， ． 【点睛】本题核心是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定、含角的直角三角形性质；关键是通过全等转化角的关系，再利用特殊直角三角形的性质快速求边长． 39．问题探究及变式 (1)【问题探究】如图1，锐角中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图2，四边形中，，求的长；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确叙述辅助线的作法，并计算线段的长； (3)【变式思考】如图3，四边形中，连接对角线，，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)7 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）在的外部作，使，，连接、，可证，根据全等三角形的性质可证，再证明，利用勾股定理可求的值即可解答； （3）先证是等边三角形可得，如图：以为边作等边，连接，则，再证明可得，进而得到；如图：过点E作，交的延长线于点 F，则，再利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，设，则，再利用勾股定理列方程可得（负根舍去），即；如图：过点A作于点G．在中，，再利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， ，， 在和中， ， ， ∴． （2）解：如图2所示， 在的外部作，使，，连接、， 则， ∴， ∵， ，，， ， 在和中， ， ， ， ∵ ， ∴． （3）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， 如图：以为边作等边，连接，则， ∴， ∴，即． 在和中 ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， 如图：过点E作，交的延长线于点 F，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理：， ∴，解得：（负根舍去），即， 如图：过点A作于点G．在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型 13:直角三角形的性质与判定】 40．如图，是上的一点，且， (1)求证：． (2)若，则等于______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）等角对等边，得到，利用即可得证； （2）根据全等三角形的性质结合含30度角直角三角形的性质，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴． 41．如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理： （1）先判断三角形的类型，再寻找全等条件即可； （2）先得到，再用勾股定理求，利用全等判定是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可计算． 【详解】（1）证明：， 与都是直角三角形， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ，， ， 在中， ， 由（1）可知， ， ∴， 又， ． 42．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先证明，，利用“”证明，由全等三角形即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再结合，即可获得答案； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合点，的坐标进一步求解即可． 【详解】（1）解：与的数量关系是，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴。 ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2），，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， 又， ； （3）解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、， 轴，轴，轴， ，， 又， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ，， ，， ，， 点坐标为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键． 【题型 14:线段垂直平分线的性质与应用】 43．如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等边对等角及三角形内角和定理，计算出，由垂直平分线的性质得，由等边对等角得，进而即可求解． 【详解】解： ，， ， 垂直平分， ， ， ． 44．如图，在中，，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，则的周长为（   ） A．17 B．24 C．26 D．27 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质可得，则的周长，即可求解． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 45．如图，在中，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接，．则的周长为（    ）． A． B． C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据垂直平分线定理得出线段之间的关系，相加即可． 【详解】解：由垂直平分线定理可得，，， ∴的周长． 【题型 15:角平分线的性质与应用】 46．如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（    ） A．9 B．6 C．5 D．5.5 【答案】B 【详解】解：过点作于点，于点， 平分，，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 47．如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】添加辅助线，作，，，根据角平分线的性质以及三角形外角的性质求解的度数，再结合角平分线的性质可得，可得平分，由此求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，交的延长线于点F，作于点E，如图， ∵外角的平分线与内角的平分线交于点P， ∴，， ∵在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， ∵， ∴． 48．如图，在中，和的平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作三边的垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，得出点到、的距离相等，先求出该距离，再计算的面积即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点，于点，如图所示： 平分，，， ， 平分，，， ， ， 在中，，， ，即， ， ， ， ． 49．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 50．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $