第四章 因式分解期末高频必刷题（九大题型）-2025-2026学年八年级数学下册期末高频必刷题（北师大版）

第四章 因式分解期末高频必刷题 【题型 1：因式分解的定义辨析】 【题型 2：直接提公因式分解因式】 【题型 3：提公因式法的综合应用】 【题型 4：直接套用公式分解因式】 【题型 5：提公因式 + 公式法的两步分解】 【题型 6：因式分解-十字相乘法】 【题型 7：因式分解-分组法】 【题型 8：利用因式分解进行简便计算】 【题型 9：因式分解的综合应用】 【题型 1：因式分解的定义辨析】 1．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【题型 2：直接提公因式分解因式】 4．因式分解：__________． 5．因式分解：________． 6．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 7．将用提公因式法因式分解，应提出的公因式是（   ） A． B． C． D． 8．把提公因式后，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【题型 3：提公因式法的综合应用】 9．分解因式的结果是_________ ． 10．因式分解：________． 11．已知，则代数式的值等于__________． 【题型 4：直接套用公式分解因式】 12．分解因式：______． 13．分解因式：__________． 14．因式分解__________． 15．因式分解： _____________ 【题型 5：提公因式 + 公式法的两步分解】 16．因式分解___________． 17．因式分解：_______． 18．因式分解：________． 19．分解因式：_____． 20．分解因式：_________． 【题型 6：因式分解-十字相乘法】 21．分解因式：_____． 22．因式分解：___________． 23．（1）__________；__________；__________． （2）思考（1）中三个等式左侧两个因式的一次项系数、常数项与对应右侧二次三项式的二次项系数、一次项系数、常数项有何关系．根据思考，分解因式：__________． 24．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式：____________． 【题型 7：因式分解-分组法】 25．分解因式：______． 26．因式分解：______． 27．阅读下面的文字与例题． 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） （2） 试用上述方法分解因式：=______． 28．若a，b，c为的三边，且，则的形状是__________． 【题型 8：利用因式分解进行简便计算】 29．利用因式分解计算：________． 30．简便运算：________． 31．计算∶___________ ． 32．计算：________． 【题型 9：因式分解的综合应用】 33．已知，，则的值为___________． 34．若为实数，且满足，则_______． 35．运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 36．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，当，时，有，，，其中0，12，72分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码01272．对于多项式，当x，y分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为6，18，则密码是___________． 37．若n为正整数，则一定能被最大的正整数_______整除． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 因式分解期末高频必刷题 【题型 1：因式分解的定义辨析】 【题型 2：直接提公因式分解因式】 【题型 3：提公因式法的综合应用】 【题型 4：直接套用公式分解因式】 【题型 5：提公因式 + 公式法的两步分解】 【题型 6：因式分解-十字相乘法】 【题型 7：因式分解-分组法】 【题型 8：利用因式分解进行简便计算】 【题型 9：因式分解的综合应用】 【题型 1：因式分解的定义辨析】 1．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、它是整式乘法运算，结果是多项式和的形式，不是几个整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； B、等式右边是和的形式，不是整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； C、原式左边是单项式，不是多项式，故式子从左到右的变形不是因式分解； D、将多项式转化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义，故式子从左到右的变形是因式分解． 2．下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； B选项右边未化为几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； C选项是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； D选项将多项式化为两个整式的乘积，变形正确，符合因式分解定义. 3．下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法和因式分解，根据因式分解的定义，因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式.． 甲的变形是将乘积展开为多项式，属于整式的乘法；乙的变形结果不是乘积形式，因此不是因式分解． 【详解】解：因式分解需满足结果为整式的乘积， 甲: ，左边为乘积，右边为多项式， 甲是整式的乘法，不是因式分解； 乙: ，右边为和的形式，不是乘积， 乙不是因式分解. 甲、乙均不是因式分解． 故选：D． 【题型 2：直接提公因式分解因式】 4．因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，解题思路是找出多项式各项的公因式，提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：． 5．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．通过观察多项式的各项，提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为 ． 6．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解：提取公因式进行因式分解． 【详解】解：==， 故选：A． 7．将用提公因式法因式分解，应提出的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键. 观察多项式，发现两项均含有公因式，因此直接提取该公因式即可. 【详解】原式为. 寻找公因式：两项中均含有因式. 提取公因式：将提出，剩余部分为，即分解结果为. 故选：C． 8．把提公因式后，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．通过将转化为，然后提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】∵， ∴， 因此另一个因式为． 故选：A． 【题型 3：提公因式法的综合应用】 9．分解因式的结果是_________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，准确利用提公因式法求解是解题的关键． 将转化为，从而提取公因式进行因式分解． 【详解】解：原式． 故答案是：． 10．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，提取公因式法，根据题意，先把分组得，然后再提取公因式，得出，最后再提取公因式即可得出答案． 【详解】解： 、 ． 故答案为：． 11．已知，则代数式的值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．由可得，再利用提公因式法将所求式子变形后代入值计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型 4：直接套用公式分解因式】 12．分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 13．分解因式：__________． 【答案】/ 【分析】本题是一道典型的因式分解题目，观察式子，它类似完全平方公式的结构，解题的关键在于识别出式子中的和，然后按照完全平方公式进行因式分解．本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．因式分解__________． 【答案】 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，先展开乘积，再合并常数项，最后应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15．因式分解： _____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．把看作是整体，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 【题型 5：提公因式 + 公式法的两步分解】 16．因式分解___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次因式分解． 【详解】解： 17．因式分解：_______． 【答案】 【详解】解：． 18．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 19．分解因式：_____． 【答案】/ 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 20．分解因式：_________． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出结果，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型 6：因式分解-十字相乘法】 21．分解因式：_____． 【答案】 【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 22．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，通过十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 23．（1）__________；__________；__________． （2）思考（1）中三个等式左侧两个因式的一次项系数、常数项与对应右侧二次三项式的二次项系数、一次项系数、常数项有何关系．根据思考，分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法、因式分解中的十字相乘法．熟练掌握因式分解中的十字相乘法和理解题意是解题的关键． （1）直接应用多项式乘法法则计算三个表达式； （2）通过观察（1）中等式左侧常数项与右侧系数之间的关系，得出因式分解的一般形式． 【详解】解：（1）； ； ． （2）通过（1）中等式分析：左侧两个因式的常数项之和等于右侧二次三项式的一次项系数，常数项之积等于常数项．因此，对于，两个数p和q满足为一次项系数，为常数项，故． 故答案为：（1）；；；（2）． 24．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式：____________． 【答案】 【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 先分解二次项系数，分解常数项，再交叉相乘，求代数和对上一次项系数，最后写出结果，据此求解． 【详解】解：二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘，求代数和为，等于一次项系数（如图）． ∴， 故答案为：． 【题型 7：因式分解-分组法】 25．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的分组分解法与公式法，解题的关键是先将前三项分组为完全平方式，再与后一项结合用平方差公式分解． 先对多项式进行分组，将组合成完全平方式；再将得到的式子与结合，利用平方差公式继续分解． 【详解】解： 故答案为：． 26．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 27．阅读下面的文字与例题． 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： （1） （2） 试用上述方法分解因式：=______． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 28．若a，b，c为的三边，且，则的形状是__________． 【答案】等腰三角形 【分析】利用分组分解因法整理得，由于a，b，c都为正数，进而可求解． 【详解】解：， a，b，c都为正数， ，即， 是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题考查了因式分解及等腰三角形的判定，熟练掌握分组分解因式法是解题的关键． 【题型 8：利用因式分解进行简便计算】 29．利用因式分解计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．通过提取公因式2027进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为 30．简便运算：________． 【答案】10000 【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 31．计算∶___________ ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 32．计算：________． 【答案】/ 【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可． 【详解】解：原式= ， 故答案为：． 【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算． 【题型 9：因式分解的综合应用】 33．已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：，， ． 34．若为实数，且满足，则_______． 【答案】9 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求解，完全平方公式的非负性等知识．根据题意得到，进一步变形为，求出，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以． 故答案为：9 35．运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可求解，熟知多项式乘多项式法则及能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，图中一共用了张卡片，张卡片，张卡片，组成的是一个长方形，长为，宽为， ∵张卡片，张卡片，张卡片的面积之和等于， ∴， 故答案为：． 36．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，当，时，有，，，其中0，12，72分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码01272．对于多项式，当x，y分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为6，18，则密码是___________． 【答案】61830 【分析】此题考查了因式分解的应用，将多项式分解因式后代入正整数求因式码，根据前两个因式码确定x和y的值，再计算第三个因式码并排序得到密码． 【详解】解：∵， ∴因式码分别为、、， ∵x，y分别取正整数， ∴， ∵前两个因式码为6和18， ∴，， ∴， ∴， ∴三个因式码为6、18、30，按从小到大顺序排列形成密码61830． 故答案为：61830． 37．若n为正整数，则一定能被最大的正整数_______整除． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答． 【详解】解： ． ∴一定能被最大的正整数12整除． 故答案为：12 1 学科网（北京）股份有限公司 $