第二章 不等式与不等式组期末高频必刷题（十大题型）-2025-2026学年八年级数学下册期末高频必刷题（北师大版）

**基本信息** 以不等式性质为基础，按“概念辨析-求解运算-参数讨论-函数结合-实际应用”逻辑递进，覆盖期末高频考点，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式基础|6题|性质辨析、解与解集概念|从性质公理到解集表示，构建概念体系| |不等式求解与参数|8题|求解步骤、参数范围讨论|运算能力培养，渗透分类讨论思想| |不等式与函数|7题|图像解不等式、实际应用|体现数形结合，发展几何直观| |不等式组|7题|求解、参数及整数解|从单一不等式到组，强化逻辑推理| |实际应用|10题|经济、环保等场景建模|培养模型意识与应用能力|

第二章 不等式与不等式组期末高频必刷题 【题型 1：不等式的基本性质辨析与应用】 【题型 2：不等式的解与解集的概念辨析】 【题型 3：一元一次不等式的求解】 【题型 4：含参数的一元一次不等式】 【题型 5：一元一次不等式的实际应用】 【题型 6：利用一次函数图像解不等式】 【题型 7：一次函数与不等式的实际应用】 【题型 8：一元一次不等式组的求解】 【题型 9：含参数的一元一次不等式组】 【题型 10：不等式组的实际应用】 【题型 1：不等式的基本性质辨析与应用】 1．若，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，根据不等式性质1，不等式两边同时加(或减)同一个数，不等号方向不变，∴，，故选项A，B错误； ∵，根据不等式性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴两边同乘得，故选项C正确； ∵，根据不等式性质2，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∴两边同除以得，故选项D错误． 2．下列不等式运算不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】解：A、∵，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴，A运算正确； B、∵，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴，B运算正确； C、题中未说明的取值，当时，，当时，由可得，因此不一定成立，C运算不一定正确； D、∵，∴，又∵，∴，∴，D运算正确． 3．如果的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型 2：不等式的解与解集的概念辨析】 4．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 5．如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为____________． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了不等式的应用，根据题意可知，车速限制为，取其中任意数即可求解． 【详解】解：设车速为， 小童爸爸开货车走右侧车道，车速应该在， 建议车速为． 故答案为：答案不唯一． 6．若关于的不等式的解集在数轴上表示出来如图所示，则这个不等式的解集是________． 【答案】 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 直接根据数轴写出答案即可． 【详解】解：由数轴可得，这个不等式的解集是， 故答案为：． 7．某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 根据数轴表示的不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示， 该不等式组的解集为， 故答案为： 【题型 3：一元一次不等式的求解】 8．解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：对于不含分母的不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1求解；对于含分母的不等式，需先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变． （1）是不含分母的一元一次不等式，直接通过移项、合并同类项、系数化为1即可得到解集； （2）是含分母的一元一次不等式，先去分母消除分母，再按步骤逐步化简求解． 【详解】（1）解：， 移项得，即， 系数化为1，两边同时除以2得． （2）解：， 两边同时乘以6去分母得， 去括号得， 合并右边常数项得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，两边同时除以5得． 9．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，详见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1求得不等式的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， ∴， ， ，     则， 将解集表示在数轴上如下： 10．如下是某同学解不等式的过程： 解不等式：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)第①步运用的性质是______；第③步的依据是______； (2)解答过程如果有错误，是从第______步开始出错（填序号）；解答如果没有错误，请忽略第（3）小问． (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)不等式的基本性质2，不等式的基本性质1； (2)⑤； (3)见解析． 【分析】（1）根据不等式的基本性质逐一判断即可； （2）根据不等式的基本性质逐一判断即可； （3）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】（1）第①步运用的性质是不等式的基本性质2；第③步的依据是不等式的基本性质1， 故答案为：不等式的基本性质2，不等式的基本性质1； （2）解答过程如果有错误，是从第⑤步开始出错， 故答案为：⑤； （3）正确的解答过程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题型 4：含参数的一元一次不等式】 11．已知关于的不等式的最大整数解为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式得到的表达式，再结合最大整数解为，通过分析的取值边界来确定的范围． 本题主要考查了一元一次不等式的求解及根据整数解确定参数取值范围，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 不等式的最大整数解为， ， ． 故选：D． 12．已知关于的不等式的解集为，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集确定参数，掌握一元一次不等式的解法是解答本题的关键．首先解不等式，根据不等式的解集为，就可以得出a的值． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 13．若点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，解一元一次不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第四象限内点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：点在第四象限， ， ， 故选：D． 14．若关于的不等式有2个正整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于x不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于x不等式的正整数解的情况来确定关于m的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．首先解关于x的不等式，然后根据x只有2个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：解不等式得： ， ∵原不等式有2个正整数解， ∴这2个正整数解为：1、2， ∴， ∴． 故选：C． 【题型 5：一元一次不等式的实际应用】 15．我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到155亿（含预售），某商家推出A，B两种哪吒纪念挂件．已知B种挂件的进货单价比A种挂件进货单价多6元，若购进3个A种挂件和5个B种挂件共需要78元． (1)求每个A种哪吒纪念挂件的进货单价是多少元？ (2)若该商家计划用不超过3200元的资金购进A，B两种挂件共300个，那么至少购买A种挂件多少个？ 【答案】(1)6元 (2)67个 【分析】（1）设每个A种挂件的进货单价是x元，则每个B种挂件的进货单价是元，根据“购进3个A种挂件和5个B种挂件共需要78元”列方程求解即可； （2）设购买A种挂件m个，则购买B种挂件个，根据“用不超过3200元的资金购进A，B两种挂件共300个”列不等式求出的范围即可 【详解】（1）解：设每个A种挂件的进货单价是x元，则每个B种挂件的进货单价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：每个A种哪吒纪念挂件的进货单价是6元； （2）解：设购买A种挂件m个，则购买B种挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为67． 答：至少购买A种挂件67个． 16．一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 【答案】小明至少答对道题，总分才不会低于分 【分析】设小明答对道题，则答错道题，利用总分答对题目数答错题目数，结合总分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设小明答对道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：小明至少答对道题，总分才不会低于分． 17．用 纸在甲誊印社复印文件，复印页数不超过 时，每页收费 元；复印页 数超过 时，超过部分每页收费降为 元．在乙誊印社复印同样的文件，不论复印多少页， 每页收费 元．设复印页数为 (1)用含 x 的式子分别表示在甲誊印社复印文件时的费用为：_______ 元，在乙誊印社复印文件 时的费用为：_______ 元； (2)复印页数为多少时，两处的收费相同？ (3)当复印页数超过50页时，如何选择誊印社复印文件更划算？请直接写出选择方案． 【答案】(1) (2)复印页数为200时，两处的收费相同 (3)当时，选择乙誊印社；当时，两社均可；当时，选择甲誊印社 【分析】本题考查了分段函数的实际应用（复印费用计算）和一元一次方程的求解（费用相等问题），解题的关键是理解甲誊印社“分段计费”的规则，准确建立费用与复印页数的关系式，并通过方程或不等式比较两社费用． （1）甲社费用：分50页以内（单价元）和超过50页部分（单价元），两部分相加得总费用；乙社费用：统一单价元，直接用页数乘单价； （2）令甲、乙两社费用相等，列一元一次方程求解x的值； （3）分甲社费用小于、等于、大于乙社费用三种情况，列不等式求解x的范围，确定选择方案． 【详解】（1）解：甲誊印社费用：50页以内费用为元，超过50页部分费用为 元，总费用为元；   乙誊印社费用：每页元，总费用为元．   故答案为：；． （2）解：当两处收费相同时，令，   移项得，   即，   解得 答：复印页数为200时，两处的收费相同． （3）解：①当甲社费用乙社费用时，，解得，此时选甲誊印社更划算；   ②当甲社费用乙社费用时，，此时两社收费相同，任选其一均可；   ③当甲社费用乙社费用时，，解得，此时选乙誊印社更划算．   综上，当时，选择乙誊印社；当时，两社均可；当时，选择甲誊印社． 【题型 6：利用一次函数图像解不等式】 18．如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 直接根据函数图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可得：当时函数的函数值小于2，故不等式的解集为． 故选：A． 19．在平面直角坐标系中，一次函数（a、b均为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 观察函数图象，写出函数值不小于0所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而减小， ∴不等式的解集是． 故选：B． 20．如图，直线经过点，请写出关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，解题关键是通过观察图象求解．由图象得时． 【详解】解：由图象可得当时，， ∴的解集为． 故答案为：． 21．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，先求出直线与轴的交点坐标，再根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：当时，，则 直线与轴的交点坐标为， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 【题型 7：一次函数与不等式的实际应用】 22．为了增强青少年体质，某校响应“足球进校园”的号召，计划购买一批足球．已知购买5个甲品牌足球和1个乙品牌足球共需330元；购买1个甲品牌足球和3个乙品牌足球共需290元． (1)求甲、乙两种品牌足球的单价． (2)若学校准备购买甲、乙这两种品牌的足球共60个，且甲品牌足球数不超过乙品牌足球数的．设购买这两种品牌足球所需的总费用为元，其中购买甲品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需的总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)甲品牌足球单价为50元，乙品牌足球单价为80元 (2)，当甲品牌足球购买了24个，乙品牌足球购买了36个时所需的总费用最低，最低费用4080元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设甲、乙两种品牌足球的单价分别为a元，b元，根据题意，列二元一次方程组即可； （2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用y，根据一次函数的增减性计算y最小值即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种品牌足球的单价分别为a元，b元， 根据题意，得， 解得：， ∴甲品牌足球单价为50元，乙品牌足球单价为80元； （2）解：根据题意可知，乙品牌足球个， ∵甲品牌足球数不超过乙品牌足球数的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最小，此时． 综上，，y取得最小值4080元，此时甲品牌足球购买了24个，乙品牌足球购买了36个． 23．洛阳博物馆文创商店热销两款特色文创产品：唐三彩小胖马摆件和唐媚儿牡丹笔记本．已知购买个唐三彩小胖马摆件和本唐媚儿牡丹笔记本共需元；购买个唐三彩小胖马摆件和本唐媚儿牡丹笔记本共需元． (1)求每件唐三彩小胖马摆件、每本唐媚儿牡丹笔记本的单价； (2)某学校研学小组计划购买这两种文创产品共件，要求唐媚儿牡丹笔记本的数量不超过唐三彩小胖马摆件数量的倍，求该小组最少需要花费多少元． 【答案】(1) 每件唐三彩小胖马摆件元，每本唐媚儿牡丹笔记本元； (2) 该小组最少需要花费元． 【分析】（1）设每件唐三彩小胖马摆件元，每本唐媚儿牡丹笔记本元，结合题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买唐三彩小胖马摆件件，则购买唐媚儿牡丹笔记本本，小组花费为元，先结合题意得出的取值范围，再结合一次函数性质求出的最小值． 【详解】（1）解：设每件唐三彩小胖马摆件元，每本唐媚儿牡丹笔记本元， 依题意得， 解得， 即每件唐三彩小胖马摆件元，每本唐媚儿牡丹笔记本元； （2）解：设购买唐三彩小胖马摆件件，则购买唐媚儿牡丹笔记本本，小组花费为元， 由题意得， 则， ， 则随着的增大而增大， 时，取最小值，， 即该小组最少需要花费元． 24．绿动未来——追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】问题一：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克； 问题二：（1）；（2）最优采购方案是购买30棵杨树和70棵冷杉 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质确定购买方案． 问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克，列二元一次方程组求解即可； 问题二：（1）设购买了a棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出w与a的函数关系式即可； （2）根据“采购杨树不超过30棵”列出不等式求出a的范围，根据一次函数的性质可知w随a的增大而增大，从而确定采购方案． 【详解】解：问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克． 根据题意，得， 解得， 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． 问题二： （1）设购买了a棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意，得， 与a的函数关系式为； （2）解：， 随a的增大而增大， ， 当时，w的值最大， （棵） ∴购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大， 即最优采购方案是购买30棵杨树和70棵冷杉． 【题型 8：一元一次不等式组的求解】 25．解不等式组：； 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集是． 26．解不等式组： 并写出它的所有整数解 【答案】；整数解为 【详解】解：由①得，， 由②得，  ， 去括号得， 移项合并得 ， 系数化为1得 ， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为 27．解下列不等式或不等式组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求不等式的解集，求不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可； （2）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2） 解：解不等式①，得 解不等式②，得 所以该不等式组的解集是． 【题型 9：含参数的一元一次不等式组】 28．若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解第一个不等式得到，再根据一元一次不等式组“同小取小”的解集规律，建立关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴原不等式组可化为 ， ∵不等式组的解集是， 根据“同小取小”的规律，可得， 解得． 29．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于的不等式求解即可． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 又∵不等式组无解， ∴， 解得． 故选：A． 30．关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解，正确掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 先求出的不等式组的解集，然后根据的不等式组只有3个整数解进行列不等式作答即可． 【详解】解：， 解得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴． 故选：B 31．若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，结合个整数解的条件求得．再解方程，消去后得到，容易判断，则，由整数的性质可知是的因数，因此，，，结合，确定的所有可能取值，并求和即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰有个整数解， ∴， 解得， ， 由④得， 将代入③，得， ， 化简，得， 当时，方程无解，故舍去； 当时，， ∵和都是整数， ∴是的因数， ∴，，，即，，，，，，此时和都是整数， 又∵， ∴，，， ∴所有符合条件的整数的和为． 【题型 10：不等式组的实际应用】 32．为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元 (2)有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台更最钱 【分析】（1）设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，根据素材1和素材2的购买情况列方程组求解即可； （2）设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，根据节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得： ， 解得：， ∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元； （2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元， 方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元， 方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元， ∵， ∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱． 33．某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (2)该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 【答案】(1)杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； (2)共有种进货方案． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组或一元一次不等式组是解题的关键． （）设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设杨梅购进斤，则龙眼购进斤，由题意可得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元， 根据题意，得，解得， 答：杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； （2）解：设杨梅购进斤，则龙眼购进斤， 由题意，可得， 解得， ∵为整数， ∴共有种进货方案． 34．金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【答案】(1)销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元 (2)销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元，根据“销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数），根据“销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元， 依题意，得：， 解得：， 答：销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元； （2）解：设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数）， 依题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴（个）， 答：销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个． 35．小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)小王共有种采购方案，其中购进纪念徽章个、吉祥摆件个的方案最省钱 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解，得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1744元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数得到采购方案数量，计算出每种方案所需费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元， 根据题意可得 ， 解得． 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件 个，m为正整数， 根据题意可得， 解得， 因为m为正整数， 所以m的取值为34，35，36，共3种采购方案， 设总费用为W元，则， 时，； 时，； 时，； 可得当时，W取得最小值，此时． 答：小王有3种采购方案，其中购进纪念徽章34个、吉祥摆件66个的方案最省钱． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组期末高频必刷题 【题型 1：不等式的基本性质辨析与应用】 【题型 2：不等式的解与解集的概念辨析】 【题型 3：一元一次不等式的求解】 【题型 4：含参数的一元一次不等式】 【题型 5：一元一次不等式的实际应用】 【题型 6：利用一次函数图像解不等式】 【题型 7：一次函数与不等式的实际应用】 【题型 8：一元一次不等式组的求解】 【题型 9：含参数的一元一次不等式组】 【题型 10：不等式组的实际应用】 【题型 1：不等式的基本性质辨析与应用】 1．若，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 2．下列不等式运算不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．如果的解集为，则的取值范围是______． 【题型 2：不等式的解与解集的概念辨析】 4．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 5．如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为____________． 6．若关于的不等式的解集在数轴上表示出来如图所示，则这个不等式的解集是________． 7．某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为________． 【题型 3：一元一次不等式的求解】 8．解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 9．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 10．如下是某同学解不等式的过程： 解不等式：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)第①步运用的性质是______；第③步的依据是______； (2)解答过程如果有错误，是从第______步开始出错（填序号）；解答如果没有错误，请忽略第（3）小问． (3)请写出正确的解答过程． 【题型 4：含参数的一元一次不等式】 11．已知关于的不等式的最大整数解为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知关于的不等式的解集为，则的值为(    ) A． B． C． D． 13．若点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．若关于的不等式有2个正整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型 5：一元一次不等式的实际应用】 15．我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到155亿（含预售），某商家推出A，B两种哪吒纪念挂件．已知B种挂件的进货单价比A种挂件进货单价多6元，若购进3个A种挂件和5个B种挂件共需要78元． (1)求每个A种哪吒纪念挂件的进货单价是多少元？ (2)若该商家计划用不超过3200元的资金购进A，B两种挂件共300个，那么至少购买A种挂件多少个？ 16．一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 17．用 纸在甲誊印社复印文件，复印页数不超过 时，每页收费 元；复印页 数超过 时，超过部分每页收费降为 元．在乙誊印社复印同样的文件，不论复印多少页， 每页收费 元．设复印页数为 (1)用含 x 的式子分别表示在甲誊印社复印文件时的费用为：_______ 元，在乙誊印社复印文件 时的费用为：_______ 元； (2)复印页数为多少时，两处的收费相同？ (3)当复印页数超过50页时，如何选择誊印社复印文件更划算？请直接写出选择方案． 【题型 6：利用一次函数图像解不等式】 18．如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 19．在平面直角坐标系中，一次函数（a、b均为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 20．如图，直线经过点，请写出关于x的不等式的解集为__________． 21．函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是_______． 【题型 7：一次函数与不等式的实际应用】 22．为了增强青少年体质，某校响应“足球进校园”的号召，计划购买一批足球．已知购买5个甲品牌足球和1个乙品牌足球共需330元；购买1个甲品牌足球和3个乙品牌足球共需290元． (1)求甲、乙两种品牌足球的单价． (2)若学校准备购买甲、乙这两种品牌的足球共60个，且甲品牌足球数不超过乙品牌足球数的．设购买这两种品牌足球所需的总费用为元，其中购买甲品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需的总费用最低，并求出最低总费用． 23．洛阳博物馆文创商店热销两款特色文创产品：唐三彩小胖马摆件和唐媚儿牡丹笔记本．已知购买个唐三彩小胖马摆件和本唐媚儿牡丹笔记本共需元；购买个唐三彩小胖马摆件和本唐媚儿牡丹笔记本共需元． (1)求每件唐三彩小胖马摆件、每本唐媚儿牡丹笔记本的单价； (2)某学校研学小组计划购买这两种文创产品共件，要求唐媚儿牡丹笔记本的数量不超过唐三彩小胖马摆件数量的倍，求该小组最少需要花费多少元． 24．绿动未来——追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【题型 8：一元一次不等式组的求解】 25．解不等式组：； 26．解不等式组： 并写出它的所有整数解 27．解下列不等式或不等式组： (1)； (2) 【题型 9：含参数的一元一次不等式组】 28．若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为（    ）． A． B． C． D． 【题型 10：不等式组的实际应用】 32．为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 33．某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (2)该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 34．金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 35．小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $