专题01三角形内角和期末易错压轴题型专项训练(20大题型共计62道)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形内角和与多边形核心考点，以易错点分类和压轴题型分层为框架，通过题型特征归纳、易错点警示及解题思路提炼，系统培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错点（1-13）|3-5题/模块|辅助线规范表述、分类讨论（截角）、方程思想（比例关系）|从定理证明（内角和180°）到多边形内角和/外角和公式推导，形成"概念-性质-应用"链条| |压轴题（14-20）|3-6题/模块|动态分类讨论、模型转化（八字/飞镖）、规律探究（n阶角平分线）|综合平行线、折叠、角平分线，构建"单一知识点-复合图形-动态探究"递进逻辑|

专题01三角形内角和期末易错压轴题型专项训练 本专练聚焦三角形内角和定理章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.三角形内角和定理的证明 易错02.与平行线有关的内角和问题 易错03.与角平分线有关的内角和问题 易错04.三角形内角和定理的应用 易错05.三角形折叠角度问题 易错06.多边形内角和计算 易错07.正多边形内角计算 易错08.多(少)算一个角问题 易错09.多边形截角后的内角和问题 易错10.正多边形外角计算 易错11.多边形外角和实际应用 易错12.内角和与外角和综合计算 易错13.平面镶嵌 压轴14.动态角度探究 压轴15.角平分线综合计算 压轴16.不规则图形角度求和 压轴17.规律探究题 压轴18.三角形折叠综合探究题 压轴19.三角形与平行线综合探究题 压轴20.八字.飞镖模型综合证明题 易错01.三角形内角和定理的证明 题型特征：要求通过添加辅助线（如作平行线），将三角形三个内角转化为平角或同旁内角，证明内角和为180°。 易错点：①辅助线作法表述不规范；②无法清晰说明“三个内角能拼成平角”的转化逻辑。1．如图，，，，则________． 2．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A．B．C．D． 3．课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 易错02.与平行线有关的内角和问题 题型特征：题干含平行线，结合三角形、折线图形，求角度或证明角度关系。 易错点：①误用平行线的同位角/内错角/同旁内角性质；②折线类题目漏用多次平行线性质，导致角度计算不全。 4．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为______． 6．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 7．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 易错03.与角平分线有关的内角和问题 题型特征：给出三角形内角/外角的角平分线，求两平分线的夹角，或推导夹角与原三角形内角的关系。 易错点：①混淆双内角、一内一外、双外角平分线的夹角公式；②未结合三角形内角和/外角性质化简角度关系。 8．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 10．如图，在中，，平分，若，，求的度数． 11．如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 易错04.三角形内角和定理的应用 题型特征：已知三角形内角的比例、倍数关系，或给出部分角度，求未知内角度数。 易错点：①设未知数后未利用“内角和为180°”列方程；②忽略三角形内角的取值范围（0°<内角<180°）。 12．将一块含有角的直角三角板与一把矩形直尺按照如图方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 13．如图所示，在中，平分交于点，点在的延长线上，过点作交的延长线于点，为上的一点，连接，且，，，若，则的度数为___________． 14．如图，， (1)求的度数； (2)的角平分线交于点E，过点D作交的延长线于点F．先补全图形，再求的度数． 易错05.三角形折叠角度问题 题型特征：将三角形沿某条线折叠，已知部分角度，求折叠后新形成的角的度数。 易错点：①忽略“折叠前后对应角相等”的核心性质；②未结合平角、三角形内角和列等式，导致角度关系混乱。 15．如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在三角形中，，，，点在上运动，是上一定点．将三角形沿所在直线折叠，点的对应点为．当时，的度数为______． 17．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 易错06.多边形内角和计算 题型特征：已知多边形边数求内角和，或已知内角和求边数。 易错点：①记错内角和公式(n-2)180；②计算时符号错误，或边数n取非整数。 18．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．54 B．72 C．90 D．108 19．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）．则该硬币内正多边形的内角和为___________ 20．如图，已知，连接，． (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图，则 °； ②若，，试用m、n表示的度数． (2)当点E在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用m、n表示，如不存在，请写出理由． 易错07.正多边形内角计算 题型特征：已知正多边形边数求单个内角度数，或已知单个内角求边数。 易错点：①混淆内角和与单个内角的计算方法；②误用外角和公式直接计算内角。 21．小圳在博物馆观察到一件藏品的边框为正八边形，他立马就算出了其一个内角的度数为（     ） A． B． C． D． 22．如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点K，那么______． 23．如图，已知正六边形，请仅用无刻度直尺按要求完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作一个等边三角形． (2)在图中，作线段的垂直平分线． 易错08.多(少)算一个角问题 题型特征：已知多边形内角和（含多算/少算一个角），求多边形边数或未知角的度数。 易错点：①未利用“多边形内角和是180°的倍数”这一隐含条件；②未考虑未知角的取值范围（0°<未知角<180°）。 24．小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 25．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于_______． 26．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 易错09.多边形截角后的内角和问题 题型特征：将多边形截去一个角后，求新多边形的内角和，或已知新内角和求原多边形边数。 易错点：①未分三种情况讨论（截后边数不变、边数+1、边数-1）；②漏算其中一种情况导致答案不全。 27．若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（    ） A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12 或13 28．如图，一张内角和为的多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到的新多边形的边数为__________． 29．阅读下题及解题过程． 如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？ 如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为． 上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论． 易错10.正多边形外角计算 题型特征：已知正多边形边数求单个外角度数，或已知单个外角求边数。 易错点：①记错“多边形外角和恒为360°”的性质；②混淆内角与外角的计算逻辑。 30．图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 31．如下图，在一些国旗和标志中，五角星是一种常见的图案．五角星还出现在一些宗教、文化和艺术的符号中，它也与黄金分割等数学原理相关．另外某些晶体、分子结构呈正五角星对称．若某化学分子结构为标准正五角星，五个尖角大小完全相同，则每个尖角的度数是_________． 32．如图，某正多边形花坛的边沿被树冠挡住了大部分，为其中一边，点为两条邻边延长线的交点，测得，． （1）该正多边形的边数为______； （2）该正多边形的面积为______． 33．如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，    (1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由． (2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和． 易错11.多边形外角和实际应用 题型特征：结合行走转向、路线规划等实际场景，利用多边形外角和求解问题。 易错点：①无法将实际场景转化为多边形外角问题；②忽略转向角度与外角的对应关系。 34．如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米． 35．“花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则________°． 36．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________． 易错12.内角和与外角和综合计算 题型特征：结合多边形内角和公式与外角和360°，列方程求边数或角度。 易错点：①混淆内角和与外角和的公式；②列方程时等量关系错误。 37．某巡逻机器人沿正多边形赛道边缘行走，每次转弯时均向左转（如图为一个转弯处示意图），则该正多边形的内角和为________． 38．西安某中学开展“传统文化进课堂”活动，如图，小明同学用一副七巧板拼了一个春晚主题的骏马图，若为某个正多边形的一个内角，则这个正多边形的边数是________． 39．一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 40．按要求解答问题： (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 易错13.平面镶嵌 题型特征：判断正多边形能否单独/组合镶嵌平面，或求镶嵌方案。. 易错点：①未验证“围绕一点的内角和为360°”；②组合镶嵌时未找到合适的正多边形搭配。 41．用若干张图中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图，则_______°． 42．下列几组两种正多边形的组合中，能够铺满地面的是______．（填序号） ①正方形和正八边形；    ②正五边形和正十边形； ③正方形和正六边形；    ④正方形和正七边形． 43．如图所示是工人师傅用边长均为的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正方形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 44．阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品（图1），给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于（图2）． 问题解决： (1)请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由； (2)若只用一种正边形进行密铺，且，密铺的个数为，且为正整数，请推导与满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形． 压轴14.动态角度探究 题型特征：题干含动点、动线（如直线旋转、点在边上移动），随位置变化探究角度的数量关系或度数。 解题思路：①分阶段讨论动点/动线的不同位置；②结合平行线、角平分线、三角形内角和列等式；③验证特殊位置（如端点、垂直时）的角度值。 45．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 46．直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理） ②点、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的4倍，请直接写出的度数． 压轴15.角平分线综合计算 题型特征：多次嵌套角平分线（如双角平分线、内外角平分线结合），求复杂夹角或递推角度规律。 解题思路：①标注每次角平分线分得的角的度数；②用三角形内外角性质逐步推导；③归纳通用的角度关系公式。 47．综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 48．如图，与、分别交于点、，则______ 压轴16.不规则图形角度求和 题型特征：图形为五角星、折线多边形等不规则图形，求多个角的度数和。 解题思路：①添加辅助线将不规则图形转化为三角形/四边形；②利用三角形内角和、外角性质传递角度；③结合多边形内角和公式计算总和。 49．如图，该图是一个不规则的五角星，则______． 50．如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 51．如图，延长五边形的各边，再用线段与各边的延长线相连，则________°． 压轴17.规律探究题 题型特征：给出前几个特殊情况的角度值，要求归纳出一般规律或求第n个情况的角度。 解题思路：①计算前3-4个特殊情况的角度；②观察角度与次数/边数的关系；③用代数式表示规律并验证。 52．如图所示为一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，设，根据的变化规律，请探究与正多边形边数n的关系，并用含n（n为正整数，）的式子表示，则______． 53．如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，．．．；依此规律得，则_____． 54．如图，，直线被直线所截，分别平分分别平分分别平分交于点依此规律，得角，则__________度，__________度． 55．△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　） A． B． C． D． 压轴18.三角形折叠综合探究题 题型特征：多次折叠三角形，结合平行线、角平分线，探究折叠后角度的关系或取值范围。 解题思路：①每次折叠标注对应相等的角；②结合平角、三角形内角和列方程；③分情况讨论折叠的不同位置。 56．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为__________． 57．如图，中，，以为边，将此三角形对折，其次，又以为边，再一次对折，C点落在上，此时，则原三角形的_______ 度． 58．现有一张三角形纸片ABC，D，E分别是的边AB，AC上的点，将沿直线DE折叠，点A落在点处． (1)若折成如图①所示的形状，点在CE上，则与的数量关系是_______． (2)若折成如图②所示的形状，点在内部，则与的数量关系是_______． (3)若折成如图③所示的形状，点在外部，猜想和的数量关系，并说明理由． 压轴19.三角形与平行线综合探究题 题型特征：三角形与平行线结合，含动点、动线，探究角度的数量关系或动态变化。 解题思路：①过拐点作平行线，利用平行线的传递性转化角度；②结合三角形内外角性质列等式；③分情况讨论动点/动线的不同位置。 59．如图1，直线、被线段所截，交点分别为点E、F，并且． (1)求证：； (2)如图2，点G是直线上一点，连接，且，平分交于点H．请直接写出与的数量关系是：_________； (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，且，求的度数． 60．已知直线，点分别为直线上的两点，连接． (1)如图1，作射线，使得，交直线于点，点为平行线内部一点且在线段的左侧，连接．若，求的度数； (2)如图2，点为平行线内部一点且在线段的右侧，连接，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点． ①请探究与的数量关系，并说明理由； ②点为内部一点，连接，若，，试直接写出与的数量关系； (3)如图3，在（1）问的条件下，的角平分线的反向延长线与射线交于点，且满足，将绕着点以每秒的速度顺时针旋转得到，当落在直线上时，该三角形立即改为绕点以每秒的速度逆时针旋转．开始运动的同时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转得到，当落在直线上时，两个三角形同时停止旋转．设旋转时间为秒，在旋转过程中，当直线与的某一边垂直时，请直接写出所有满足条件的时间的值． 压轴20.八字.飞镖模型综合证明题 题型特征：图形含多个“八字形”“飞镖形”，要求证明角度和或差的关系，或求角度值。 解题思路：①识别图形中的八字/飞镖模型；②利用八字形∠A+∠ B=∠C+∠D、飞镖形∠ BDC=∠ A+∠ B+∠C的结论；③通过模型传递角度，推导最终关系。 61．求解下列各题： (1)【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． (2)【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． (3)【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 62．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角． (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形内角和期末易错压轴题型专项训练 本专练聚焦三角形内角和定理章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.三角形内角和定理的证明 易错02.与平行线有关的内角和问题 易错03.与角平分线有关的内角和问题 易错04.三角形内角和定理的应用 易错05.三角形折叠角度问题 易错06.多边形内角和计算 易错07.正多边形内角计算 易错08.多(少)算一个角问题 易错09.多边形截角后的内角和问题 易错10.正多边形外角计算 易错11.多边形外角和实际应用 易错12.内角和与外角和综合计算 易错13.平面镶嵌 压轴14.动态角度探究 压轴15.角平分线综合计算 压轴16.不规则图形角度求和 压轴17.规律探究题 压轴18.三角形折叠综合探究题 压轴19.三角形与平行线综合探究题 压轴20.八字.飞镖模型综合证明题 易错01.三角形内角和定理的证明 题型特征：要求通过添加辅助线（如作平行线），将三角形三个内角转化为平角或同旁内角，证明内角和为180°。 易错点：①辅助线作法表述不规范；②无法清晰说明“三个内角能拼成平角”的转化逻辑。1．如图，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 2．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 3．课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 易错02.与平行线有关的内角和问题 题型特征：题干含平行线，结合三角形、折线图形，求角度或证明角度关系。 易错点：①误用平行线的同位角/内错角/同旁内角性质；②折线类题目漏用多次平行线性质，导致角度计算不全。 4．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵平分．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 5．超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为______． 【答案】/110度 【分析】通过作辅助线 ，利用平行线的传递性得到 ，再结合平行线的性质和已知垂直条件，求出的度数．本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，内错角相等；平行线间的传递性等 ）是解题的关键． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ， ， ，即， 故答案为：． 6．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出，然后利用平行线的性质求出，，然后结合角平分线求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 7．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 易错03.与角平分线有关的内角和问题 题型特征：给出三角形内角/外角的角平分线，求两平分线的夹角，或推导夹角与原三角形内角的关系。 易错点：①混淆双内角、一内一外、双外角平分线的夹角公式；②未结合三角形内角和/外角性质化简角度关系。 8．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． 故选：D． 9．如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 【答案】 【分析】由E为角平分线的延长线上一点，得，则，因为，所以，由于点D，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E为角平分线的延长线上一点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，平分，若，，求的度数． 【答案】 【分析】由角平分线的定义得到，由垂直可得，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，平分，, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 和的平分线相交于点， ，， ， ． （2），理由如下： 在中，， 和的平分线相交于点， ，， ， ． 易错04.三角形内角和定理的应用 题型特征：已知三角形内角的比例、倍数关系，或给出部分角度，求未知内角度数。 易错点：①设未知数后未利用“内角和为180°”列方程；②忽略三角形内角的取值范围（0°<内角<180°）。 12．将一块含有角的直角三角板与一把矩形直尺按照如图方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由平行线的性质和对顶角相等求出，然后求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图所示，在中，平分交于点，点在的延长线上，过点作交的延长线于点，为上的一点，连接，且，，，若，则的度数为___________． 【答案】30 【分析】先证明，则，，再根据角的和差和角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 14．如图，， (1)求的度数； (2)的角平分线交于点E，过点D作交的延长线于点F．先补全图形，再求的度数． 【答案】(1) (2)补全图形见详解， 【分析】（1）首先利用平行线的性质求出，再利用内角和求解即可； （2）首先根据题意补全图形，然后根据角平分线和垂直求出，进而利用内角和求出． 【详解】（1）证明：，， ． ， ； （2）解：补全图形如图所示．   平分 ，， ．   ， ， ．   ， ．   ． 易错05.三角形折叠角度问题 题型特征：将三角形沿某条线折叠，已知部分角度，求折叠后新形成的角的度数。 易错点：①忽略“折叠前后对应角相等”的核心性质；②未结合平角、三角形内角和列等式，导致角度关系混乱。 15．如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 16．如图，在三角形中，，，，点在上运动，是上一定点．将三角形沿所在直线折叠，点的对应点为．当时，的度数为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在的右边时，当点在的左边时，分别利用平行线的性质求出的度数，再结合折叠的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当点在的右边时，如图 ∵，， ， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ，， ， ， ， ； ②当点在的左边时，如图， ，， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ，， ， ∴， ； 综上所述，为或． 17．如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与相交于点． (1)填空：________； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的特点得出，再根据三角形一个外角等于它不相邻两个内角之和，即可得出答案； （2）根据已知求出的值，再根据沿折叠得到，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：沿折叠得到， ， ， ； （2）解：，， ∴． 沿折叠得到， ， ∴， ∴． 易错06.多边形内角和计算 题型特征：已知多边形边数求内角和，或已知内角和求边数。 易错点：①记错内角和公式(n-2)180；②计算时符号错误，或边数n取非整数。 18．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．54 B．72 C．90 D．108 【答案】D 【分析】本题先利用边形内角和公式求出五边形的总内角和，再计算每个相等内角的度数即可得到的值． 【详解】解：∵边形内角和公式为， ∴五边形的内角和为， ∵一个五边形的每个内角都是， ∴． 19．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）．则该硬币内正多边形的内角和为___________ 【答案】 【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可． 【详解】解：根据图可知：图中的多边形为正九边形，则该硬币内正多边形的内角和为： ． 20．如图，已知，连接，． (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图，则 °； ②若，，试用m、n表示的度数． (2)当点E在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用m、n表示，如不存在，请写出理由． 【答案】(1)①50；② (2)存在，与之间的数量关系是：或或或 【分析】（1）①延长交于点F，由三角形外角性质得，，进而得，据此可得的度数； ②由（1）可知，据此可得的度数； （2）依题意分四种情况讨论如下：①当点E在边的右侧，且交于点P时，由是和的外角得，据此可得与之间的数量关系；②当点E在边的左侧，且与相交于点P时，由是和的外角得，据此可得与之间的数量关系；③当点E在点A的上方，且，与边，没有交点时，由（1）②的结论得，据此可得与之间的数量关系；④当点E在的下方时，根据四边形的内角和等于得，据此可得与之间的数量关系；综上所述即可求解． 【详解】（1）解：①延长交于点F，如图1所示： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②由（1）可知：， ∵，， ∴． （2）解：存在，与之间的数量关系是：或或或． 理由如下： 当点E在的外部时，有以下四种情况： ①当点E在边的右侧，且与相交于点P时，如图3①所示： ∵是和的外角， ∴， ∴； ②当点E在边的左侧，且与相交于点P时，如图3②所示： ∵是和的外角， ∴， ∴； ③当点E在点A的上方，且，与边，没有交点时，如图3③所示： 由（1）②的结论得：， ∴； ④当点E在的下方时，如图3④所示： 根据四边形的内角和等于得，， ∴， 综上所述：与之间的数量关系是：或或或． 易错07.正多边形内角计算 题型特征：已知正多边形边数求单个内角度数，或已知单个内角求边数。 易错点：①混淆内角和与单个内角的计算方法；②误用外角和公式直接计算内角。 21．小圳在博物馆观察到一件藏品的边框为正八边形，他立马就算出了其一个内角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是． 22．如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点K，那么______． 【答案】/84度 【分析】根据正多边形的内角度数公式求出正五边形与正六边形的内角度数，再根据在正六边形的对称轴上求得的度数，求出度数，最后利用四边形的内角和为进行求解． 【详解】解：∵六边形和五边形都是正多边形， ∴六边形的内角为， 五边形的内角为， ∵正六边形是轴对称图形，在对称轴上， ∴， ， ， 在四边形中， ∴， ． 23．如图，已知正六边形，请仅用无刻度直尺按要求完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作一个等边三角形． (2)在图中，作线段的垂直平分线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，正六边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，即可； （）连接交于点，延长交于点，然后连接，则直线即为所求 【详解】（1）解：如图，连接，，，则即为所求； 理由：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，即即为所求； （2）解：如图，连接交于点，延长交于点，然后连接，则直线即为所求． 易错08.多(少)算一个角问题 题型特征：已知多边形内角和（含多算/少算一个角），求多边形边数或未知角的度数。 易错点：①未利用“多边形内角和是180°的倍数”这一隐含条件；②未考虑未知角的取值范围（0°<未知角<180°）。 24．小明同学在用计算器计算某边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到和为2016°，则等于（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】设少输入内角的度数是x，根据多边形内角和公式列出等式，再根据多边形边数为正整数即可求解． 【详解】解：设少输入的这个内角的度数是x， 根据多边形的内角和公式得：， ∴ ， ∵n是正整数，， ∴，． ∴． 故选D． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，熟练掌握n边形的内角和是解题的关键． 25．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于_______． 【答案】14 【分析】本题主要考查了多边形内角和、解一元一次方程等知识点，牢记“多边形的内角和一定是的整数倍”是解题的关键． 设少输入的内角为，则；由结合可得：，再将代入，解关于n的方程即可． 【详解】解：设少输入的内角为， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴， ∴， 解得：． 故答案为14． 26．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)十二边形 (3) 【分析】（1）根据多边形的内角和能被整除求解即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形的每个内角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴多边形的内角和能被整除， ∵， ∵加了一个锐角， ∴这个“多加的锐角”是； （2）解：设多边形为n边形， ∴， ∴， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）解：正十二边形的每一个内角为． ∴这个正多边形的一个内角是． 易错09.多边形截角后的内角和问题 题型特征：将多边形截去一个角后，求新多边形的内角和，或已知新内角和求原多边形边数。 易错点：①未分三种情况讨论（截后边数不变、边数+1、边数-1）；②漏算其中一种情况导致答案不全。 27．若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（    ） A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12 或13 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1可得答案，理解截取一个角后多边形的边数的变化情况是解本题的关键． 【详解】解：设多边形截去一个角后的边数为n， 则， 解得， ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原来多边形的边数是11或12或13． 故选D． 28．如图，一张内角和为的多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到的新多边形的边数为__________． 【答案】13 【分析】根据多边形内角和公式，可得原多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案． 【详解】解：设原多边形是n边形，由多边形内角和公式得： （n-2）180°=1800°， 解得n=12， 新多边形是12+1=13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了剪纸问题，多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题关键． 29．阅读下题及解题过程． 如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？ 如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为． 上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论． 【答案】不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或． 【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案． 【详解】上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下： 如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是； 如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是． 所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或． . 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 易错10.正多边形外角计算 题型特征：已知正多边形边数求单个外角度数，或已知单个外角求边数。 易错点：①记错“多边形外角和恒为360°”的性质；②混淆内角与外角的计算逻辑。 30．图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 【答案】/度 【详解】解：∵多边形为正六边形， ∴． 31．如下图，在一些国旗和标志中，五角星是一种常见的图案．五角星还出现在一些宗教、文化和艺术的符号中，它也与黄金分割等数学原理相关．另外某些晶体、分子结构呈正五角星对称．若某化学分子结构为标准正五角星，五个尖角大小完全相同，则每个尖角的度数是_________． 【答案】/36度 【分析】连接，由题意得，五边形是正五边形，则，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，五边形是正五边形，点以及点共线， ∴ ∴ ∴每个尖角的度数是． 32．如图，某正多边形花坛的边沿被树冠挡住了大部分，为其中一边，点为两条邻边延长线的交点，测得，． （1）该正多边形的边数为______； （2）该正多边形的面积为______． 【答案】 8 / 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和、等角对等边、勾股定理、二次根式运算． （1）根据题意得到正多边形的外角，由即可求解； （2）根据正多边形的性质得到，该正多边形的面积由此即可求解． 【详解】解：（1）， 正多边形的外角， 边数． （2）如图， ∴， ∴， ， ， 该正多边形的面积 ． 33．如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，    (1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由． (2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和． 【答案】(1)能，小东一共走了 (2)正六边形，正六边形的内角和为 【分析】本题考查的是多边形的外角和定理应用，内角和定理的应用，理解题意是解本题的关键； （1）由每次向左转，结合回到出发点共转过可得答案； （2）由形成的六边形的每一条边都相等，每一个角都相等，可得多边形的形状，再求解内角和即可． 【详解】（1）解：∵从点出发，每走向左转， ， 小东一共走了：（）； （2）∵由（1）得多边形有六条边，且每一条边都相等， 由每个外角都为，可得六边形的每一个角都相等， ∴走过的路径是一个边长为的正六边形； ∴正六边形的内角和为：． 易错11.多边形外角和实际应用 题型特征：结合行走转向、路线规划等实际场景，利用多边形外角和求解问题。 易错点：①无法将实际场景转化为多边形外角问题；②忽略转向角度与外角的对应关系。 34．如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米． 【答案】24 【分析】由已知条件得走的图形是正多边形，且每个外角为，由外角和求出边数，即可求解． 【详解】解：第一次回到出发点A时， 走的图形是正多边形，且每个外角为， ， 解得， 共走路程为（米）． 35．“花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则________°． 【答案】80 【详解】解：∵多边形的外角和等于， ∴． 36．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________． 【答案】36 【分析】机器人行走的路程为10米，每次走1米，回到O点时，组成一个封闭的图形，则多边形的边数为十，且每条边长度相等，由于每次右转的角度相同，故为正十边形，每次右转的角度为正十边形的外角，因而可求得答案． 【详解】根据题意可得，机器人行走的路程是边长为1米的正十边形，而每次向右转的角度为正十边形的外角度数，所以． 故答案为：36°． 【点睛】本题主要考查了正多形的定义及外角和的性质． 易错12.内角和与外角和综合计算 题型特征：结合多边形内角和公式与外角和360°，列方程求边数或角度。 易错点：①混淆内角和与外角和的公式；②列方程时等量关系错误。 37．某巡逻机器人沿正多边形赛道边缘行走，每次转弯时均向左转（如图为一个转弯处示意图），则该正多边形的内角和为________． 【答案】 【详解】解：根据多边形的内角和公式和外角和性质，可知这个正多边形的边数为，是正六边形； 内角和为：． 38．西安某中学开展“传统文化进课堂”活动，如图，小明同学用一副七巧板拼了一个春晚主题的骏马图，若为某个正多边形的一个内角，则这个正多边形的边数是________． 【答案】 【分析】根据七巧板中三角板的角度特征求出的度数，再结合正多边形的外角和公式求解即可． 【详解】解：由图可得，， ∴该正多边形的一个外角为， 设这个正多边形的边数为， ∴． 39．一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握好多边形内角和的计算方法是解题关键 利用九边形内角和公式求出剩余六个内角的和，再根据凸多边形每个内角小于的性质，分析哪个选项作为内角会导致剩余五个内角的和不小于． 【详解】解：九边形内角和为， ∵有三个内角之和为， ∴剩下六个角之和为， 设其中一个角为，则剩下五个角之和为， ∵凸多边形每个内角都小于， ∴， 解得，，只有选项A不满足． 故选：A． 40．按要求解答问题： (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 【答案】(1)此多边形的边数为8； (2)n的值是8． 【分析】（1）先设此多边形的边数为n，再根据多边形内角和定理得，求出解即可； （2）设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，再根据内角和相邻外角的和为得出方程，求出解，然后用除以一个外角的度数可得边数． 【详解】（1）解：设此多边形的边数为n，则 ， 解得． 所以此多边形的边数为8； （2）解：设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，依题意得， 解得． ， 故n的值是8． 易错13.平面镶嵌 题型特征：判断正多边形能否单独/组合镶嵌平面，或求镶嵌方案。. 易错点：①未验证“围绕一点的内角和为360°”；②组合镶嵌时未找到合适的正多边形搭配。 41．用若干张图中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图，则_______°． 【答案】 【详解】解：由图像可知，中间是由2个角，1个角和两个直角组成， ∴， 解得． 42．下列几组两种正多边形的组合中，能够铺满地面的是______．（填序号） ①正方形和正八边形；    ②正五边形和正十边形； ③正方形和正六边形；    ④正方形和正七边形． 【答案】① 【分析】平面镶嵌要求拼接点处的多个多边形内角和恰好为周角，即，若对应方程存在正整数解，则可以铺满地面． 【详解】解：①正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为， 设需要个正方形，个正八边形，可得方程， 化简得，存在正整数解，因此能够铺满地面； ②正五边形每个内角为，正十边形每个内角为， 设需要个正五边形，个正十边形，可得方程， 化简得，存在正整数解，但是单点能铺，整体不能密铺； ③正方形每个内角为，正六边形每个内角为， 设需要个正方形，个正六边形，可得方程， 化简得，不存在正整数解，因此不能铺满地面； ④正方形每个内角为，正七边形每个内角为， 设需要个正方形，个正七边形，可得方程， 化简得，不存在正整数解，因此不能铺满地面； 故答案为：①． 43．如图所示是工人师傅用边长均为的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正方形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的每一个内角都相等，根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设， ∴， ∴这块正多边形地砖的边数是n， 则， 解得：， 故选：D． 44．阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品（图1），给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于（图2）． 问题解决： (1)请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由； (2)若只用一种正边形进行密铺，且，密铺的个数为，且为正整数，请推导与满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形． 【答案】(1)理由见解析 (2)，正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺 【分析】（1）计算出正方形和等边三角形的内角，可得等式，因此可以密铺； （2）结合正多边形内角公式可得，化简得，根据题意可知，是的因数，解得或或． 【详解】（1）解：∵正方形的每个内角为，正三角形的每个内角为， 又∵， ∴可以密铺； （2）解：根据题意可得， 化简，得， ∵、为正整数， ∴是的因数， 又∵， ∴，，， ∴，，， ∴正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺． 压轴14.动态角度探究 题型特征：题干含动点、动线（如直线旋转、点在边上移动），随位置变化探究角度的数量关系或度数。 解题思路：①分阶段讨论动点/动线的不同位置；②结合平行线、角平分线、三角形内角和列等式；③验证特殊位置（如端点、垂直时）的角度值。 45．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ；证明见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ；证明如下： 根据题意得：， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 即 ． 46．直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理） ②点、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1)的度数为135° (2)①45；② (3)或36° 【分析】（1）先求出，再根据求解即可； （2）①根据，只要求出即可．②由已知条件和角平分线的定义可得，再根据计算即可． （3）首先证明，再分、、、四种情形分别进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图： ①∵， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴点A、B在运动的过程中，． （3）解：如图： ∵的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点D、F， ∴， ∴， ∴， ①当时，即， ∴． ②当时，即， ∴（不合题意舍弃）． ③当时， ∵，即， ∴． ④当时，， ∴（不合题意舍弃）． 综上所述，当或时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍． 压轴15.角平分线综合计算 题型特征：多次嵌套角平分线（如双角平分线、内外角平分线结合），求复杂夹角或递推角度规律。 解题思路：①标注每次角平分线分得的角的度数；②用三角形内外角性质逐步推导；③归纳通用的角度关系公式。 47．综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) ；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 48．如图，与、分别交于点、，则______ 【答案】 180 【分析】根据三角形外角的性质可得，再根据平角的定义和三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：∵和分别是和的外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 压轴16.不规则图形角度求和 题型特征：图形为五角星、折线多边形等不规则图形，求多个角的度数和。 解题思路：①添加辅助线将不规则图形转化为三角形/四边形；②利用三角形内角和、外角性质传递角度；③结合多边形内角和公式计算总和。 49．如图，该图是一个不规则的五角星，则______． 【答案】/180度 【分析】由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可． 【详解】解：如图， 由三角形的外角性质，得， ， ． 50．如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 【答案】 【分析】首先根据外角的性质可得：根据四边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质，得，，，． 四边形的外角和为， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形的外角和，解决本题的关键是熟记多边形的外角和为． 51．如图，延长五边形的各边，再用线段与各边的延长线相连，则________°． 【答案】360 【分析】首先根据外角的性质可得：，，，，，根据多边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：如图， 由三角形外角的性质，得，，，，， 多边形的外角和为， ， ． 压轴17.规律探究题 题型特征：给出前几个特殊情况的角度值，要求归纳出一般规律或求第n个情况的角度。 解题思路：①计算前3-4个特殊情况的角度；②观察角度与次数/边数的关系；③用代数式表示规律并验证。 52．如图所示为一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，设，根据的变化规律，请探究与正多边形边数n的关系，并用含n（n为正整数，）的式子表示，则______． 【答案】 【分析】分别计算正三角形、正方形、正五边形、正六边形中的度数，观察数值与边数的关系，结合正多边形内角公式和等腰三角形性质推导通项公式． 【详解】解：当时，为正三角形，； 当时，四边形为正方形，，，； 当时，正五边形中，，； 当时，正六边形中，，； 由此可知，对于正边形，，为正边形的一个内角． 根据多边形内角和公式，． ∴． 53．如图，在中，，与的平分线交于点，与的平分线相交于点，．．．；依此规律得，则_____． 【答案】 【分析】由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律． 【详解】解：∵、分别平分和， ∴，， 而，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 以此类推可得：， ∴. ∴． 54．如图，，直线被直线所截，分别平分分别平分分别平分交于点依此规律，得角，则__________度，__________度． 【答案】 【分析】根据以及，分别平分，即可得出，写出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴ ∴， ∵分别平分， ∴设，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 即， 同理， ， ∴． 55．△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】∵平分∠ABC，平分∠ACD， ∴＝∠ABC，＝∠ACD， ∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A， 同理可得＝＝∠A， ∴＝∠A， ∵， ∴＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 压轴18.三角形折叠综合探究题 题型特征：多次折叠三角形，结合平行线、角平分线，探究折叠后角度的关系或取值范围。 解题思路：①每次折叠标注对应相等的角；②结合平角、三角形内角和列方程；③分情况讨论折叠的不同位置。 56．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：由折叠的性质得：， 设， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即； ②如图，当时， ∴ ∵， ∴， 解得：， 即 综上，的大小为或． 57．如图，中，，以为边，将此三角形对折，其次，又以为边，再一次对折，C点落在上，此时，则原三角形的_______ 度． 【答案】81 【分析】 由两次折叠得，则，由，且，，得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出是解题的关键． 【详解】 解：由两次折叠得， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， 故答案为：81． 58．现有一张三角形纸片ABC，D，E分别是的边AB，AC上的点，将沿直线DE折叠，点A落在点处． (1)若折成如图①所示的形状，点在CE上，则与的数量关系是_______． (2)若折成如图②所示的形状，点在内部，则与的数量关系是_______． (3)若折成如图③所示的形状，点在外部，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论； （2）先根据折叠得：，由两个平角和得：等于与四个折叠角的差，化简得结果； （3）利用两次外角定理得出结论． 【详解】（1） 解：由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图3，理由是： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内外角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 压轴19.三角形与平行线综合探究题 题型特征：三角形与平行线结合，含动点、动线，探究角度的数量关系或动态变化。 解题思路：①过拐点作平行线，利用平行线的传递性转化角度；②结合三角形内外角性质列等式；③分情况讨论动点/动线的不同位置。 59．如图1，直线、被线段所截，交点分别为点E、F，并且． (1)求证：； (2)如图2，点G是直线上一点，连接，且，平分交于点H．请直接写出与的数量关系是：_________； (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行证明即可； （2）根据平行线的性质，可得，再结合三角形内角和以及三角形外角和，以及平分，由等量代换即可得到数量关系； （3）根据已知条件可得，由此可得，再由角的比例关系设，根据三角形内角和为求解x的值，由此可解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴． 60．已知直线，点分别为直线上的两点，连接． (1)如图1，作射线，使得，交直线于点，点为平行线内部一点且在线段的左侧，连接．若，求的度数； (2)如图2，点为平行线内部一点且在线段的右侧，连接，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点． ①请探究与的数量关系，并说明理由； ②点为内部一点，连接，若，，试直接写出与的数量关系； (3)如图3，在（1）问的条件下，的角平分线的反向延长线与射线交于点，且满足，将绕着点以每秒的速度顺时针旋转得到，当落在直线上时，该三角形立即改为绕点以每秒的速度逆时针旋转．开始运动的同时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转得到，当落在直线上时，两个三角形同时停止旋转．设旋转时间为秒，在旋转过程中，当直线与的某一边垂直时，请直接写出所有满足条件的时间的值． 【答案】(1) (2)①；理由见解析；② (3)或或 【分析】（1）根据，得出，根据，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）①过点O作，设，，则，求出，，求出即可； ②根据解析①得：，，求出，得出，从而得出； （3）先求出，，，将平移到和共顶点N的位置得，将按的方式旋转，记旋转后的三角形记为， 由题意，直线与的某一边垂直时，直线与的对应边垂直，过点N作延长线于点S，S随一起旋转，记旋转中的S为，则直线与的某一边垂直时，直线与的此边共线或平行，再确定当落在直线上时，，当落在直线上时，，先讨论当时，是否存在；再确定当时，和位置，在讨论当时，是否存在，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：①；理由如下： 如图，过点O作， 设和交于点，的角平分线为， 设，，则， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． ②；理由如下： 根据解析①得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 设，的角平分线为， 则， ∵是的角平分线的反向延长线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∵， ∴， 如图，将平移到和共顶点N的位置得，将按的方式旋转，记旋转后的三角形记为， 由题意，直线与的某一边垂直时，直线与的对应边垂直， 过点N作延长线于点S，S随一起旋转，记旋转中的S为， ∴直线与的某一边垂直时，直线与的此边共线或平行， 当落在直线上时，， 当落在直线上时，， 当时， 由平移得， 又∵，， ∴， ∴要使与直线共线，可得， 解得，不存在； ∵，， ∴和的夹角为， ∴要使与直线平行，可得， 解得，不存在； ∵， ∴要使与直线共线，可得， 解得，不存在； 当时，此时和位置如图， 此时，， 和的夹角为， 当时， 要使与直线共线，可得， 解得； ∴要使与直线共线，可得， 解得； 要使与直线平行，可得， 解得； 综上，或或． 压轴20.八字.飞镖模型综合证明题 题型特征：图形含多个“八字形”“飞镖形”，要求证明角度和或差的关系，或求角度值。 解题思路：①识别图形中的八字/飞镖模型；②利用八字形∠A+∠ B=∠C+∠D、飞镖形∠ BDC=∠ A+∠ B+∠C的结论；③通过模型传递角度，推导最终关系。 61．求解下列各题： (1)【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． (2)【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． (3)【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【答案】(1)证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴． (2)180 (3) 【分析】（1）延长交于点，由三角形外角性质得，，由此即可得出结论； （2）设与相交于点，由（1）得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； （3）延长与的延长线相交于点，则，，进而得，由（2）得，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设与相交于点， 由（1）得， ∴． 在中，， ∴． （3）解：如图，延长与的延长线相交于点， ，， ． 在中，， ． 由（2）得，， ． 62．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角． (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）设，，解方程即可得到答案； （2）由“8”字三角形得①， ②， ，得，整理后可得结论； （3）连接，根据，得到 同理得到：，再根据，，，，即可求解； （4）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解． 【详解】（1）解：，分别平分，， ∴， 设，， 则有， ， ． （2）解：∵的平分线和的平分线所在直线相交于点， ∴， ∵，① ∴， ∴， ∴， ∵，② ，得 ， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接 直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵，， ∴， 同理得到：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （4）解：直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $