动态几何中的二次函数问题、二次函数中的角度问题专项训练-2026年中考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦动态几何与二次函数综合、二次函数角度问题，通过动点运动与图形变换构建函数模型，以角度关系转化培养推理能力，体现几何直观与模型意识的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动态几何中的二次函数问题|3例+3变式|动点运动、图形平移旋转，结合二次函数求面积/最值|从几何直观（图形运动）到代数建模（函数关系），体现数形结合的生成过程| |二次函数中的角度问题|3例+3变式|角度相等/角平分线/相似，结合二次函数图像性质|从代数表达（函数解析式）到几何推理（角度关系转化），强化知识应用拓展|

动态几何中的二次函数问题、二次函数中的角度问题专项训练 动态几何中的二次函数问题、二次函数中的角度问题专项训练 考点目录 动态几何中的二次函数问题 二次函数中的角度问题 考点一 动态几何中的二次函数问题 例1．（2026·河南平顶山·三模）综合与实践： 【新知定义】如图1，若则．小明称图1中的和互为“共顶孪生三角形”． 【新知探究】 (1)在图1中，连接，求证：； (2)如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“共顶孪生三角形”，连接，则的长为_______； (3)【变式应用】 如图3，在中，，，D为的中点，以为一边在右侧作，使得，，连接，求的长； (4)【综合应用】 如图4，若，，，若D点在线段上运动(，且点D不与点B重合)，以为一边在右侧作，且和互为“共顶孪生三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 例2．（2026·吉林松原·三模）如图，在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作的平行线交于点．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，当点不与，重合时，过点作，过点作，得到四边形．点，同时出发，设点运动的时间为秒，设四边形和重合部分图形的面积为． (1)用含的代数式表示的长； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)求S与之间的函数关系式，并写出的取值范围． 例3．（2026·山东青岛·模拟预测）和等腰按如图①所示摆放（点与点重合），点、（）、在同一条直线上，，，，等腰△的底边，底边上的高为． 从图①的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在△移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动，如图②所示，当点移动到点时，停止移动，与相交于点，连接，设移动时间为． (1)当为何值时，点在的平分线上？ (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式． (3)是否存在某一时刻，使点、和三个点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 变式1．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，以、为邻边构造平行四边形．设点运动的时间为秒，． (1)求当为何值时，？ (2)设五边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（2026·山东青岛·二模）如图1，在中，，，，是中线．动点从点出发，沿以的速度向点运动，过点作，交折线于点，以为边，为内角作菱形，设点运动的时间为（）． (1)当点在边上时，求的值； (2)设菱形与重叠部分的面积为，当时，求与的函数关系式； (3)如图2，点在运动过程中，点关于的对称点为，点与点关于点中心对称，连接，当时，直接写出的值． 变式3．（2026·山东青岛·二模）已知，与正方形如图①位置摆放，边，在同一直线上，点与点重合，，，，．正方形从图①位置出发，沿方向平移，速度为，交于点；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，线段的垂直平分线交于点，当与重合时，停止运动，连接，设运动时间为． 解答下列问题： (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)如图②，设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)如图③，当沿翻折，点的对应点恰好落到上时，求的值． 考点二 二次函数中的角度问题 例1．（2026·四川成都·三模）二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C，，． (1)求二次函数解析式． (2)如图（1），过直线下方二次函数图象上点M，作直线，交y轴于点N．若平分线段，求点M的坐标． (3)如图（2），点F是二次函数图象上第一象限的一个动点，作轴于点G，过点F作与二次函数图象只有唯一公共点F的直线，交y轴于H点，过点F的另一直线交抛物线于E，若平分，求证：直线必过一定点，并求这个定点的坐标． 例2．（2026·福建三明·模拟预测）已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)当时，求该二次函数的表达式； (2)求证：； (3)若点的坐标为，且点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴，交直线于点． ①若以，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标； ②是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线过点，点是该抛物线上的点且横坐标为，点是该抛物线上的点且位于第二象限，点为抛物线对称轴上的点，连结、，． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)若，，求点的坐标； (3)若， ①用含的式子表示线段的长； ②作射线交轴于点，连接，当时，直接写出的取值范围． 变式1．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是该抛物线上的两点，横坐标分别为、．过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线，两条直线交于点，以为对角线作． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当线段与抛物线有交点时（异于点），设这个交点为，连结． ①当将的面积分成相等的两部分时，求点的坐标； ②当时，直接写出的取值范围． 变式2．（2026·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．      (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作交于点D，点E是抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为点F，连接、．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线上一动点，点是原抛物线顶点H的对应点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 变式3．（2026·天津西青·二模）已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点． (1)若， ①求该抛物线的顶点和点，的坐标； ②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标． (2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $动态几何中的二次函数问题、二次函数中的角度问题专项训练 动态几何中的二次函数问题、二次函数中的角度问题专项训练 考点目录 动态几何中的二次函数问题 二次函数中的角度问题 考点一 动态几何中的二次函数问题 例1．（2026·河南平顶山·三模）综合与实践： 【新知定义】如图1，若则．小明称图1中的和互为“共顶孪生三角形”． 【新知探究】 (1)在图1中，连接，求证：； (2)如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“共顶孪生三角形”，连接，则的长为_______； (3)【变式应用】 如图3，在中，，，D为的中点，以为一边在右侧作，使得，，连接，求的长； (4)【综合应用】 如图4，若，，，若D点在线段上运动(，且点D不与点B重合)，以为一边在右侧作，且和互为“共顶孪生三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 【答案】(1)证明：如图1， ， ， 即， ， ． (2) (3) (4)面积的最大值为，此时的长度为． 【分析】（1）利用两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，根据新定义得到，进而推出，列出比例式进行求解即可； （3）作，，垂足分别为点M、点N，根据，得到，进而得到，再证明，列出比例式进行求解即可； （4）先推出点在的垂线上运动，过F作，，分别交直线于点P、Q，设，求出，根据面积公式列出二次函数关系式，求最值即可. 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ∵点D为的中点， ， 由题意可知，， ，， ，， ， ， ，即， ． （3）解：在中，，，D为的中点， ，，即， 由勾股定理可得，， 如图3，作，，垂足分别为点M、点N， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． （4）解：在中，，， ， 由勾股定理可得，， 和互为“共顶孪生三角形”， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，即， ∴点E就在的垂线上运动， 如图4，过F作，，分别交直线于点P、Q，设，则， 在中，，， ， 由勾股定理可得，， ， ∵四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴当时，取得最大值，此时， 面积的最大值为，此时的长度为． 例2．（2026·吉林松原·三模）如图，在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作的平行线交于点．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，当点不与，重合时，过点作，过点作，得到四边形．点，同时出发，设点运动的时间为秒，设四边形和重合部分图形的面积为． (1)用含的代数式表示的长； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)求S与之间的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，表示出，再根据矩形的判定与性质以及三角函数的知识即可求解； （3）当时，过点作于点，根据四边形是矩形，进而求得的长，根据梯形面积公式进行计算即可求解；当时，设与相交于点，求得的长，进而根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，运动的时间为秒 ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴． （2）解：当点与点重合时，， 当点到达终点时，， ∴点运动的时间满足； 当时，过点作于点， 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， 在中，， ∴； 当时，过点作于点， 同理可得：四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， 在中，， ∴； ∴综上，当时，；当时，； （3）解：当时，过点作于点， ∵，， ∴， 由（2）得，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ； 当时，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ； 综上，． 例3．（2026·山东青岛·模拟预测）和等腰按如图①所示摆放（点与点重合），点、（）、在同一条直线上，，，，等腰△的底边，底边上的高为． 从图①的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在△移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动，如图②所示，当点移动到点时，停止移动，与相交于点，连接，设移动时间为． (1)当为何值时，点在的平分线上？ (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式． (3)是否存在某一时刻，使点、和三个点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在 当点、和三个点在同一条直线上时， 作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 即， ，不符合题意舍去 答：不存在 【分析】（）先利用勾股定理算出斜边长度，结合运动速度表示出的含代数式；过点分别作的垂线，依据角平分线性质得到两条垂线段，再借助相似三角形对应边成比例，分别用表示出与，最后列等式求解的值； （）先过点作底边垂线，结合等腰三角形已知条件得到长度，通过用表示，进而求出；沿用第一问相似结论得出点到的垂线段长，将四边形拆分为与两个三角形，分别代入面积公式列式，化简后得到与的函数关系式； （）假设三点共线，证，代入含的各边长列方程，解得为负数不合实际，因此不存在． 【详解】（1）解：中，，，， ∴， 由题意知：，， 作，， 当点在的平分线上时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴，即，， ∵， ， ． （2）解：作， ∵是等腰三角形，底边， ∴， ∵，， ∴ ∴， ，即， ， ， 由（）得， ． （3）略 变式1．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，以、为邻边构造平行四边形．设点运动的时间为秒，． (1)求当为何值时，？ (2)设五边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意易得，，则有，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质建立方程进行求解即可； （2）分别过点作，，连接，由题意易得，则有，，，然后可得，则有，，进而根据割补法可进行求解； （3）由题意易得，，，，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知：，，则有， ∵，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， ． （2）解：分别过点作，，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ， ， ，， ， 同理可得， ， ， ，． ， ，， ， ， ； （3）解：当四边形为菱形时，， ，，，， ，即， ， （舍）． 变式2．（2026·山东青岛·二模）如图1，在中，，，，是中线．动点从点出发，沿以的速度向点运动，过点作，交折线于点，以为边，为内角作菱形，设点运动的时间为（）． (1)当点在边上时，求的值； (2)设菱形与重叠部分的面积为，当时，求与的函数关系式； (3)如图2，点在运动过程中，点关于的对称点为，点与点关于点中心对称，连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在直角三角形中，勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，证明，根据相似三角形的性质求出，根据点在边上，得出点与点重合，则，列出方程，即可解答． （2）当时，，则点E在上运动，证明点与点重合，证出，根据相似三角形的性质求出，过点作，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据求解即可． （3）如图，连接，交的延长线于点，交于点，过点作于点，根据点关于的对称点为，得出，根据四边形是菱形，得出，，根据（1）可得，则，等积法求出，则，即可求出，证明四边形是矩形，得出，则，，延长交于点，根据点与点关于点中心对称，得出，，则，当时，，则，求出，，列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：∵在直角三角形中，， ∴， ∵是的中线， ∴， ， ∴， ∴， ， 即， ∴， 点在边上， ∴点与点重合， ∴， ， 解得：． （2）解：当时，， ∴点E在上运动， ∵， ， ， ， ， 点与点重合， ， ， ， 即， ∴， 过点作， ， ∴， ， 即， ， ∴； （3）解：如图，连接，交的延长线于点，交于点，过点作于点， ∵点关于的对称点为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 根据（1）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 延长交于点， ∵点与点关于点中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 变式3．（2026·山东青岛·二模）已知，与正方形如图①位置摆放，边，在同一直线上，点与点重合，，，，．正方形从图①位置出发，沿方向平移，速度为，交于点；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，线段的垂直平分线交于点，当与重合时，停止运动，连接，设运动时间为． 解答下列问题： (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)如图②，设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)如图③，当沿翻折，点的对应点恰好落到上时，求的值． 【答案】(1)当时，点在线段的垂直平分线上 (2) (3)t的值为 【分析】先分别用t表示出线段，， （1）根据线段垂直平分线的性质，可得此时，通过线段的和差用t表示这线段，列方程求解即可； （2）先通过勾股定理求出，作，通过直角相等和一个公共角相等，得到和，利用相似三角形的性质，分别用t表示出其余线段，进而用t表示图中各个三角形的面积，再通过面积和差得到S与t的关系即可； （3）连接，交于点H，利用折叠的性质得到与的关系，利用线段垂直平分线的性质得到，再通过等边对等角，得到，从而可证，用t表示出，借助和，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当点在线段的垂直平分线上时， 由线段的垂直平分线的性质，得， 由题意，， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点在线段的垂直平分线上； （2）解：如图，作， 在中，， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理，可得， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 令，即，得， 解得， ∴； （3）解：如图，连接，交于点H， 由折叠的性质，得，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又， ∴， 解得（舍去）或， ∴此时t的值为． 考点二 二次函数中的角度问题 例1．（2026·四川成都·三模）二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C，，． (1)求二次函数解析式． (2)如图（1），过直线下方二次函数图象上点M，作直线，交y轴于点N．若平分线段，求点M的坐标． (3)如图（2），点F是二次函数图象上第一象限的一个动点，作轴于点G，过点F作与二次函数图象只有唯一公共点F的直线，交y轴于H点，过点F的另一直线交抛物线于E，若平分，求证：直线必过一定点，并求这个定点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)直线必过一定点，这个定点的坐标为． 证明：设，，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴直线与轴的交点坐标为，如图， 设直线的解析式为， 联立得，整理得， ∵直线与抛物线有唯一交点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴，， ∴， 整理得， ∴，即， 将代入直线的解析式， 整理得：， ∴， ∴当即时，直线过定点， 当时，，即， ∴定点为． 【分析】（1）利用轴对称的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求得直线、的解析式，设，再求得直线的解析式为，求得，再根据平分线段，计算即可求解； （3）设，，求得直线的解析式为，得到直线与轴的交点坐标为，设直线的解析式为，根据直线与抛物线有唯一交点，求得直线的解析式为，根据平行线的判定和性质结合角平分线的定义求得，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B的右边），且， ∴，， ∵， ∴， ∴将，代入得， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵，，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵， ∴设，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴线段的中点坐标为， 即， ∵平分线段， ∴点在直线上， ∴，整理得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴； （3）略 例2．（2026·福建三明·模拟预测）已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)当时，求该二次函数的表达式； (2)求证：； (3)若点的坐标为，且点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴，交直线于点． ①若以，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标； ②是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：∵该二次函数图象经过， ． ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ，即．   ，即．   又， ． (3)①或；②的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称性，结合已知，化简证明即可； （3）①设，，根据三角形的相似，分类求解即可； ②过点作交于点．利用解方程组的方法求解即可； 【详解】（1）解：当时，．   ∵该二次函数图象与轴交于、两点，且对称轴为直线， ，解得：，即．   将和代入得： ， 解得：． ∴当时，该二次函数的表达式为． （2）略 （3）①解：∵该二次函数图象经过，，， ∴二次函数表达式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， 直线表达式为． 又轴， 设，， ，． 当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   ②过点作交于点． ， ．   ，， ，， ， ， ． 又，， （）． ． ．   设直线的解析式为，由点，可得： ，解得：， ∴直线表达式为． ，且 ∴同理可得：直线表达式为． ∵点在和上， ．   解得或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得．的坐标为． 例3．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线过点，点是该抛物线上的点且横坐标为，点是该抛物线上的点且位于第二象限，点为抛物线对称轴上的点，连结、，． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)若，，求点的坐标； (3)若， ①用含的式子表示线段的长； ②作射线交轴于点，连接，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①线段的长为；②的取值范围为： 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据题意得出，求得，根据得出设直线的解析式为，则，进而根据勾股定理求得的长，根据得出方程，求得点的横坐标，进而代入抛物线表达式，即可求解； ②同①的方法分别求得，根据，得出，即可求得的长，即可求解； （3）设直线的解析式为，代入，求得直线的解析式为，进而可得，根据得出，建立不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴ ∴ ∴该抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：∵点是该抛物线上的点且横坐标为，， ∴， ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴， ∴直线的解析式为 ∵ ∴设直线的解析式为， ∵点为抛物线对称轴上的点， ∴的横坐标为 ∴， ∵点是该抛物线上的点且位于第二象限 设， ∴ ∵ ∴ 解得： 当时， ∴ （3）解：①∵抛物线所对应的函数表达式为，点是该抛物线上的点且横坐标为， ∴， ∴ 同（1）可得直线的解析式为， 设直线的解析式为 ∵点为抛物线对称轴上的点， ∴的横坐标为 ∴， ∵点是该抛物线上的点且位于第二象限 设， ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 代入得， 解得： ∴，直线的解析式为， 即线段的长为； ②由①可得， 设直线的解析式为，代入 得 解得： ∴直线的解析式为 ∵射线交轴于点， 当时， ∴， ∴， 又 ∵ ∴， ∴ 解得： 变式1．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是该抛物线上的两点，横坐标分别为、．过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线，两条直线交于点，以为对角线作． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当线段与抛物线有交点时（异于点），设这个交点为，连结． ①当将的面积分成相等的两部分时，求点的坐标； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）代入点到，求出的值即可解答； （2）当时，、的横坐标分别为1、3，分别求出的坐标，进而得出点的坐标，再利用正切的定义即可求解； （3）①根据线段与抛物线有交点时（异于点），得出的中点的横坐标在对称轴的左侧且在对称轴的右侧，则有，结合将的面积分成相等的两部分，得到，再根据抛物线的对称性列出关于的方程，即可求出点的坐标；②根据题意可得恒成立，进而求得时，，根据勾股定理得到，列出关于的方程，求得，再结合图象以及①中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：代入点到，得， 解得， ∴该抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：当时，、的横坐标分别为1、3， 当时，， 当时，， ∴，， ∵过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线，两条直线交于点， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：①，对称轴为直线， 依题意，点横坐标分别为、， 当线段与抛物线有交点时（异于点），由题意可知，不重合， 则的中点的横坐标在对称轴的左侧且在对称轴的右侧， ∴且， ∴， 此时， ∵将的面积分成相等的两部分， ∴， ∴， ∴点是的中点，则其横坐标为， 由抛物线的对称性可知，点与点关于直线对称， ∴， 解得， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴点的坐标为； ②∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴恒成立， 当时，则， ∴， 如图， ∵点与点关于直线对称， ∴点的横坐标为， ∴，， 当时，， 当时，， ∴， 在中， 又， ∴， 解得：或， 由①知，，则， 由图象可得，当时，， ∴的取值范围为． 变式2．（2026·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．      (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作交于点D，点E是抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为点F，连接、．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线上一动点，点是原抛物线顶点H的对应点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，若，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)， ∵将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后点P恰好落在y轴上，且，，，， ∴平移方式为将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线， ∴， ∴， 如图，过点作轴，于点G，于点I，连接，取，连接，过点M作于点N， ∴， 由旋转性质得，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∴， 情况1：当点K在直线上方时，K与重合，则； 情况2：当点K在直线下方时，，则， 设直线的函数解析式为，则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，得， 解得：（另一组解不符合题意，舍去）， ∴， 综上所述，满足条件的K的坐标为，． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点P作轴交于点F，过点D作于点G，利用相似三角形的判定与性质将最大值转化为的最大值，求出直线的解析式，设，则，求出的表达式得出开口向上的二次函数，从而求得点P的坐标，再求出点D的坐标，为定值，即求的最小值，利用平移和轴对称的性质即可求得最终结果； （3）先求出平移后的抛物线解析式，利用一线三垂直模型，正切的定义，等腰直角三角形的性质得出，分情况进行讨论即可求得最终结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 将，代入抛物线， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图，过点P作轴交于点F，过点D作于点G， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则，，， ∴， 当最大时，最大， 令，，则， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，此时， ∴， 由抛物线解析式可知，抛物线对称轴为， ∵点E是抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为点F， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点P代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式，得：， 解得：，则， ∴， 如图，将沿x轴方向向左平移个单位得，过点P作关于的对称点，连接，与交点，作轴，垂足为点， ∴，即点， ∴， 当点，，三点共线时，有最小值， ∵点P与点关于的对称， ∴， ∴， ∵和均为定值， ∴， ∴的最小值为． （3）略 变式3．（2026·天津西青·二模）已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点． (1)若， ①求该抛物线的顶点和点，的坐标； ②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标． (2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为，点的坐标为，点的坐标为；② (2)或 【分析】（1）①把代入求出抛物线的表达式，然后配方出顶点坐标，再分别令求出与坐标轴的交点； ②过点作，轴，交于点，得到是等腰直角三角形，那么将的最大值转化为的最大值求解即可； （2）同①可得，，，，直线的解析式为，可求点，作点关于轴的对称点，有．则，即点，，在一条直线上时，取得最小值，将点代入求出，求出抛物线解析式，取点，连接，然后证明． 当点在直线下方时，可知；当点在直线上方时，设与轴相交于点，可得，则，再求出直线的不等式与抛物线的表达式联立求解即可． 【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式为． 由，知抛物线的顶点坐标为． 当时，． 解得，． ∴点的坐标为． 当时，． ∴点的坐标为． ②过点作，轴，交于点． ，， ． ， ． 轴， ． ． 在中，有． ． ∴当取最大值时，直线与直线之间的距离取得最大值． 设直线 由，得， 解得 ∴直线的解析式为． ． ∵点在抛物线上， ． ． ∵， ∴当时，取得最大值．此时点的坐标是． （2）解：同①可得，，，，直线的解析式为． 由可知，点． 作点关于轴的对称点，有． ，即点，，在一条直线上时，取得最小值， ∴将点代入得，． 解得（舍去），． ∴抛物线解析式为． ∴点，． ． 取点，连接， 由，可知垂直平分． ． ．即． ． 当点在直线下方时，可知． 由点，，同理可求直线的解析式为． ∴设直线的解析式为． 把点代入可解得． ∴直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 当点在直线上方时，设与轴相交于点． 由，，可知． 又，， ∴． ∴． ． ∴同理可求直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 综上，满足条件的点的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $