二次函数中的特殊三角形问题、二次函数中的特殊四边形问题专项训练-2026年中考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊图形综合，通过典例与变式系统覆盖三角形（等腰、直角、等边）和四边形（矩形、菱形、正方形）存在性问题，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数中的特殊三角形问题|3例+3变式|含解析式求解、点坐标范围、等腰/直角/等边三角形存在性|以二次函数性质为基础，结合坐标运算推导图形边与角关系，构建代数模型解决几何判定| |二次函数中的特殊四边形问题|3例+3变式|涉及矩形构造、菱形判定、正方形性质及平移变换|通过函数图像与几何图形性质融合，运用对称、平移转化线段关系，培养模型观念与空间观念|

二次函数中的特殊三角形问题、二次函数中的特殊四边形问题专项训练 二次函数中的特殊三角形问题、二次函数中的特殊四边形问题专项训练 考点目录 二次函数中的特殊三角形问题 二次函数中的特殊四边形问题 考点一 二次函数中的特殊三角形问题 例1．（2026·江苏无锡·二模）已知二次函数（，均为常数）． (1)若函数图象经过原点，且对称轴是直线，求二次函数表达式； (2)若函数图象上有两点，，且，求的取值范围； (3)将二次函数的图象平移，使其顶点始终落在直线上，与该直线的另一个交点为，在轴上是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）结合二次函数的函数图象经过原点，对称轴为直线，再建立方程组求解即可； （2）计算，，结合，再进一步求解即可； （3）设顶点，可得平移后的解析式为：，求解，可得，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的函数图象经过原点，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴二次函数为． （2）解：∵函数图象上有两点，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：． （3）解：∵二次函数的图象平移，使其顶点始终落在直线上， ∴设顶点， ∴平移后的解析式为：， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，， ∴， ∴， ∵为等边三角形，点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：，即， ∴， ∴， 解得：，， ∴存在满足条件的点，的值为或． 例2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图，若二次函数的图象交x轴于点和点，与y轴交于点C，P为该函数图象上不与顶点重合的任意一点，且点P的横坐标为m． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P在第一象限内的图象上，且的面积，求点P的坐标； (3)若该二次函数图象的顶点为D，过点P作对称轴的垂线，垂足为E，设． ①求DE的长（用含n的式子表示）； ②定义：对于平面内两点M，N，若点Q满足，则称点Q为线段的中垂点．若点F是线段的中垂点，且为直角三角形，求直角的直角顶点不在二次函数图象内部的m的取值范围． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)①②或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）连接，过点作轴，交于点，待定系数法求出直线的解析式，假设点P的坐标为，则，根据面积列出方程求解； （3）①分两种情况进行讨论，利用得出的关系，然后表示出点的坐标，即可求解； ②借助①的结论表示出各点的坐标，根据点的坐标情况，列出不等式求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得， ∴； （2）解：如图所示，连接，过点作轴，交于点， 当时，， ∴； 假设直线的解析式为，将和代入得， 解得 ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 假设点P的坐标为，，则， ∴， ∴， 解得或， 当时，， ∴点P的坐标为（与顶点重合，舍去）； 当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：设点P的横坐标为， ①如图所示， 由（2）得：， 当时，， ∴， ∴点P的纵坐标为：， ∴点P的坐标为， ∴； 当时，， ∴， ∴点P的纵坐标为：， ∴点P的坐标为， ∴； 综上，； ②如图所示，过点作于点， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ，，， ∵直角的直角顶点不在二次函数图象内部， ∴， 令， 则， 整理得， 解得（舍去）或， 即， ∵ ∴解得， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上，m的取值范围为或． 例3．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（）； (3)存在．点N的坐标为或或或． 【分析】（1）对于，令，求出值，令，求出的值，进而得到、的坐标，待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴、， ∵抛物线经过点A，B ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）解：存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 变式1．（2026·青海海东·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．一次函数的图象过点、． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式；抛物线的解析式 (2)或 (3)存在，点M坐标为或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）根据函数图象，结合的横坐标，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得： 直线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）根据函数图象可得，使一次函数值大于二次函数值的的取值范围为或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 变式2．（2026·安徽宿州·三模）已知抛物线（a为常数），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． (1)当时，求抛物线的解析式及点A，B的坐标； (2)已知点在该抛物线上． （i）若，求a的值； （ii）当时，设抛物线的顶点为P，点Q在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点Q的坐标． 【答案】(1)；； (2)（i）或；（ii）或或或． 【分析】（1）由题意得到抛物线解析式为，令，解方程即可解答； （2）（ⅰ）令 ，解方程即可解答；（ⅱ）由题意得抛物线解析式为 ，得到顶点，，求出，设点，分，，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 当，则，解得或， ∴，； （2）解：（ⅰ）∵点在该抛物线上， ∴， 当，则， 解得或； （ⅱ）当时，抛物线解析式为 ， ∴顶点， ， ∴， ∴， 设点， ∵是等腰三角形，分三种情况讨论： 情形一：， ∴， ∴， ∴或； 情形二：， ∴， ∴ ， ∴， ∴或， 当时，， 当时，，与顶点P重合，舍去； 情形三：， ∴，即， 解得，此时； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或或． 变式3．（2026·湖南·一模）我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线 的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（ ） 当时，；（ ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（ ） (2)若，是“同频”拋物线上的点，其中，且，求该抛物线的解析式； (3)“同频”抛物线（且）顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 【答案】(1)①√；②√；③× (2) (3)或 【分析】（1）先求出顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得，整理得，再结合已知条件分别判断①②③； （2）由（1）得抛物线的顶点坐标为，，又，是“同频”拋物线上的点，则，得出 ，再结合，得，然后求出的值即可； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，又抛物线是“同频”拋物线，则，整理得，所以，根据题意得，解得，，所以，又是等腰直角三角形，所以顶点到的距离等于，得，整理得，求得，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， 根据“同频”拋物线可得：，整理得：， ①当时，； ②∵，， ∴； ③由 ， ∴抛物线与轴没有交点， （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为，， ∴， ∵，是“同频”拋物线上的点， ∴， 得： ， ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴ ， ∴该抛物线的解析式为 ； （3）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， ∵抛物线是“同频”拋物线， ∴，整理得：， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， ， 解得：，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴顶点到的距离等于， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上可得：代数式的值为或． 考点二 二次函数中的特殊四边形问题 例1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线相交于点和点，过点作轴，交抛物线于点．分别以，长为邻边向上构造矩形．如图2，将矩形先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到矩形，点的对应点落在抛物线上． (1)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点的坐标（用含的代数式表示）； (3)直线交抛物线于点，交抛物线于点．当为线段的中点时，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入可得结论； （2）由，求出，，得出，求得，从而可得；　 （3）求出，，可得，，由得，解方程，根据可求得． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， ； （2）解：，， ，， ， ， ， ； （3）解：由（2）得点，的横坐标为， 点在上，点在上， ，， ， ， 为线段的中点， ， ， 解得，， ， ． 例2．（2026·吉林通化·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中b、c是常数）经过点和，抛物线顶点为D．点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧．点P关于y轴的对称点为Q，点P关于x轴的对称点为M，以、为邻边构造矩形（如图①），设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求顶点D的坐标； (3)如图②，当顶点D在矩形的边上时，求的长； (4)当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2)顶点的坐标为 (3) (4)或 【分析】（1）把点和代入求解即可； （2）把一般式转化为顶点式，求解即可； （3）设，根据轴对称与坐标的关系求解即可； （4）根据抛物线的性质，把“抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大”转化为“抛物线在矩形内部的部分必须在的范围内”，分两种情况：和，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入， 得， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：， ∴顶点的坐标为； （3）解：设， ∵顶点D在矩形的边上， ∴点的纵坐标为， ∵点P关于y轴的对称点为Q，点P关于x轴的对称点为M， ∴，， 解得：，， ∵点P在抛物线对称轴左侧， ∴， ∴， ； （4）解：设， ∵点P关于y轴的对称点为Q，点P关于x轴的对称点为M， ∴，， 当时，抛物线的纵坐标y随x的增大而增大， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴抛物线在矩形内部的部分必须在的范围内， 分两种情况讨论， 当时，点落在抛物线上或与这部分的抛物线无交点，如图所示， 把代入抛物线， 得， 解得：，（舍去）， 当点落在抛物线上或与这部分的抛物线无交点时，， 矩形要框一部分抛物线，点必须在第三象限， 当时，有，解得：，， ∵点在第三象限， ∴， 因此， 当时，如图所示， 此时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， 综上分析可得：m的取值范围是或． 例3．（2026·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于和两点，在点左边，与轴交于点． (1)直接写出，，三点坐标； (2)如图，为中点，在抛物线上找一点，使，求出点坐标； (3)如图，将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位，为新抛物线对称轴右侧上一点，直线与新抛物线交于唯一公共点，与轴交于，是否存在以为对角线的菱形，使点在轴上，点在延长线上，若存在，求菱形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)存在，． 【分析】（）由抛物线得，当时，，当时，，解得，，从而得出，，三点坐标； （）分当点在上方时，当点在下方时，两种情况求解即可； （）由点和及抛物线均向下平移个单位，则平移后抛物线解析式为，设，则，则直线解析式为，与抛物线联立得，又直线与新抛物线交于唯一公共点，则， 解得，则解析式为，当时，，所以，设，因为四边形是菱形，所以，则，解得，故，由，，设，根据菱形性质求出，同理可得直线解析式为，解得，所以，，最后通过求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线得， 当时，， 当时，， 解得，， ∴，，； （2）解：当点在上方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 当点在下方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，作点关于轴对称点，连接，交抛物线于点，如图， 由得直线解析式为，， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上可得或； （3）解：∵点和及抛物线均向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 设，则，设直线解析式为， 把代入得， ∴直线解析式为， ∴与抛物线联立得， ∴， ∵直线与新抛物线交于唯一公共点， ∴，整理得， 解得， ∴解析式为，当时，， ∴， 设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，整理得， 解得， ∴， 由，， 设， ∴，，解得，， ∴， ∵将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位， ∴，， 同理可得直线解析式为， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 变式1．（2026·山东济南·二模）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点是，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作于点G． (1)求二次函数的解析式； (2)当线段的长取得最小值时，求P点的坐标，并求线段的最小值？ (3)若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，当以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形时？请你直接写出点N的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为 ，最小值为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据顶点式直接写出二次函数的解析式，整理可得二次函数的一般式； （2） 过点作轴交于点，即可通过三角函数关系式把求线段的长取最小值转化为求线段的最小值即可得到答案； （3）分为菱形的边和对角线两种情况讨论即可； 【详解】（1）解：由题意，可得抛物线为 整理得： 故二次函数的解析式为 （2）解：把代入得 点的坐标为． 把代入 得 点的坐标为， ， ， 如图（1），过点作轴交于点， 则有， （两直线平行，同位角相等） 设点的横坐标为 则，， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时有最小值， 当时， 此时点的坐标为 （3）解：符合条件的点的坐标为或， 求解如下： 由题意知，抛物线的对称轴为， 把代入， 得或， ， ． I．如图当以为菱形的边时，平行且等于 若点在对称轴右侧， ， ， 把代入，得， 点的坐标为． 四边形为菱形， 即符合题意， 同理可知，当的坐标为时，四边形也为菱形． II．如图（3）当为菱形的对角线时， 根据菱形的对角线互相垂直平分，可得对称轴垂直平分 所以在对称轴上，而且点在抛物线上， 所以点为抛物线的顶点，其坐标为． 综上所述，符合条件的点的坐标为或 变式2．（2026·安徽阜阳·三模）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入，列方程组求解即可． （2）根据点P的位置（即t的取值范围）进行分类讨论，分别计算结果． （3）设点N的横坐标为n，用含m，n的式子分别表示出的长，再根据列方程求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得 解得 故抛物线的函数表达式为． （2）解：∵P为第一象限内抛物线上一动点， ∴，其中． ∵抛物线的函数表达式为， ∴． 令，解得，， ∵轴， ∴当时，点E与点C重合． ∴，． ①当时，如图1，点E在点C上方， 此时， ∴． 当时，，解得． ②当时，如图2，点E在点C下方， 此时， ∴． 当时，，解得，（舍去）． 综上可知，t的值为或． （3）解：∵轴，轴， ∴． 又轴， ∴四边形是矩形， ∴． 设点N的横坐标为n，则， ∴． ∵，， ∴设直线的函数表达式为，把，代入，得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴，， ∴①． 要使四边形为正方形，则要满足． 点N的位置有以下两种情况． ①当点N在点C左侧的抛物线上时，如图3，此时． 若，则，整理，得②， 把②代入①，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． ②当点N在点C右侧的抛物线上时，． 若，则，解得，此时点与点重合，不符合题意． 综上可知，点M的坐标为． 变式3．（2026·江苏常州·一模）如图，二次函数的图像经过点、，与轴交于点，该抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，经过点的直线与抛物线交于另外一点，若，请求出该直线的函数表达式： (3)如图2，点是抛物线上在第二象限的点，过点作直线轴，与抛物线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点，以、为邻边构造矩形，若矩形的边与直线有交点，且该交点是这条边的中点，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）分别求得的坐标，进而根据勾股定理及其逆定理得出，则，根据得出，当在轴上方时，取点，连接交抛物线于点，求得直线的解析式为；根据轴对称的性质求得当在轴下方时的直线解析式，即可求解； （3）由，可得直线解析式为：，分别求得的坐标，根据中点坐标公式求得的中点坐标，代入，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点、， ∴ 解得： ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：∵ ∴， 当时，，则 又∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵、，则， 如图，当在轴上方时，取点，连接交抛物线于点， ∴ 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当在轴下方时， 同理可得的解析式为 综上所述：或 （3）解：由，可得直线解析式为：， 设其中 根据对称性可得，则的中点为 根据垂线与直线交于点，则 ∴，则 ∴的中点为， 分两种情况讨论， ①的中点在上， 代入得， 解得：或（舍去） ∴ ②当的中点在上， 代入得 解得：或 ∴ 综上所述，或 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数中的特殊三角形问题、二次函数中的特殊四边形问题专项训练 二次函数中的特殊三角形问题、二次函数中的特殊四边形问题专项训练 考点目录 二次函数中的特殊三角形问题 二次函数中的特殊四边形问题 考点一 二次函数中的特殊三角形问题 例1．（2026·江苏无锡·二模）已知二次函数（，均为常数）． (1)若函数图象经过原点，且对称轴是直线，求二次函数表达式； (2)若函数图象上有两点，，且，求的取值范围； (3)将二次函数的图象平移，使其顶点始终落在直线上，与该直线的另一个交点为，在轴上是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出；若不存在，说明理由． 例2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图，若二次函数的图象交x轴于点和点，与y轴交于点C，P为该函数图象上不与顶点重合的任意一点，且点P的横坐标为m． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P在第一象限内的图象上，且的面积，求点P的坐标； (3)若该二次函数图象的顶点为D，过点P作对称轴的垂线，垂足为E，设． ①求DE的长（用含n的式子表示）； ②定义：对于平面内两点M，N，若点Q满足，则称点Q为线段的中垂点．若点F是线段的中垂点，且为直角三角形，求直角的直角顶点不在二次函数图象内部的m的取值范围． 例3．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2026·青海海东·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．一次函数的图象过点、． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（2026·安徽宿州·三模）已知抛物线（a为常数），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． (1)当时，求抛物线的解析式及点A，B的坐标； (2)已知点在该抛物线上． （i）若，求a的值； （ii）当时，设抛物线的顶点为P，点Q在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点Q的坐标． 变式3．（2026·湖南·一模）我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线 的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（ ） 当时，；（ ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（ ） (2)若，是“同频”拋物线上的点，其中，且，求该抛物线的解析式； (3)“同频”抛物线（且）顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 考点二 二次函数中的特殊四边形问题 例1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线相交于点和点，过点作轴，交抛物线于点．分别以，长为邻边向上构造矩形．如图2，将矩形先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到矩形，点的对应点落在抛物线上． (1)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点的坐标（用含的代数式表示）； (3)直线交抛物线于点，交抛物线于点．当为线段的中点时，求的值； 例2．（2026·吉林通化·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中b、c是常数）经过点和，抛物线顶点为D．点P是抛物线上的一个动点，且点P在抛物线对称轴左侧．点P关于y轴的对称点为Q，点P关于x轴的对称点为M，以、为邻边构造矩形（如图①），设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求顶点D的坐标； (3)如图②，当顶点D在矩形的边上时，求的长； (4)当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 例3．（2026·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于和两点，在点左边，与轴交于点． (1)直接写出，，三点坐标； (2)如图，为中点，在抛物线上找一点，使，求出点坐标； (3)如图，将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位，为新抛物线对称轴右侧上一点，直线与新抛物线交于唯一公共点，与轴交于，是否存在以为对角线的菱形，使点在轴上，点在延长线上，若存在，求菱形的面积，若不存在，请说明理由． 变式1．（2026·山东济南·二模）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点是，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作于点G． (1)求二次函数的解析式； (2)当线段的长取得最小值时，求P点的坐标，并求线段的最小值？ (3)若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，当以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形时？请你直接写出点N的坐标． 变式2．（2026·安徽阜阳·三模）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 变式3．（2026·江苏常州·一模）如图，二次函数的图像经过点、，与轴交于点，该抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，经过点的直线与抛物线交于另外一点，若，请求出该直线的函数表达式： (3)如图2，点是抛物线上在第二象限的点，过点作直线轴，与抛物线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点，以、为邻边构造矩形，若矩形的边与直线有交点，且该交点是这条边的中点，请直接写出此时点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $