2026年中考数学三轮高频考点二次函数与特殊四边形的存在性问题

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊四边形存在性高频考点，以"基础求解—性质应用—综合探究"分层设计，强化数学抽象与推理能力，适配中考三轮冲刺知识整合需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数解析式求解|通过待定系数法考查概念理解，如第1(1)题求抛物线表达式| |能力提升|图形面积与几何性质应用|结合坐标与几何变换，如第2(2)题利用面积关系求参数| |综合拓展|特殊四边形存在性探究|需分类讨论平行四边形、矩形等判定，如第3(2)题平行四边形顶点坐标求解|

2026年中考数学三轮高频考点二次函数与特殊四边形的存在性问题 1．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的表达式； (2)P是抛物线在第一象限内的点，连接，若的面积是面积的，求点P的坐标； (3)M为直线上的动点，N为抛物线上的动点，当以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)平面内是否存在点M，使得以M、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，顶点的坐标是，过点作轴，交抛物线于点D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点为抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标． 6．如图①，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求线段的长度； (3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求点的坐标； (4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 7．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 9．如图1，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点，并且点的坐标为． (1)求的值； (2)当时，二次函数的最大值是3，求的值； (3)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上运动．过点作轴的垂线，与直线相交于点，与二次函数的图象相交于点，连接，将沿翻折，的对应点为．问在点的运动过程中，点能否落在轴上？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 10．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数解析式； (2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两交点分别是，，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的点，过P作于点E，交于点D，为射线上的点，连接，且，求的最大值，以及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线与y轴交于点Q，点为平移后抛物线对称轴上的点，N为平面内一点，直接写出所有使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形为菱形的点N的坐标． 12．如图，抛物线与x轴相交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点P的坐标； (3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点，，再将两个点的坐标代入可得答案； （2）由点的坐标得，，再设，然后根据得出方程，求出解即可； （3）先设，再分两种情况：当为平行四边形的边时，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N，可得，进而得出，再根据时四边形是平行四边形，即当，时，求出答案； 当为平行四边形的对角线时，先确定点，由得出方程，再求出解可得坐标． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∴点，， 将，代入中得： 解得：，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，得：，， 设， ∴， ∴， 得：， 解得：，（舍）， ∴； （3）解：设， ①当为平行四边形的边时，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N，如图， 则， 则， ∵， ∴当时，以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴，当时，即， 解得：，， 此时，； 当时，即， 则， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，如图， ∵，， ∴， 则，即， 解得：，， ∴或， ∴点M的坐标为或或或或． 2．(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据，求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，， 解得或（舍去）， 点的横坐标为2， ． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， 直线的解析式为， ， 设在直线上，根据勾股定理得：， ， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 3．(1)， (2)、、 (3)或 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点和点，即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式； （2）利用平行四边形对角线互相平分的性质，分三种对角线情况列方程求解点； （3）根据抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 将解析式配方得顶点式： ∴顶点D的坐标为； （2）存在， 令，则， ∴， 设点，根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论： 情况1：以为对角线 则中点与中点重合： 解得： 即． 情况2：以为对角线 则中点与中点重合： 解得： 即． 情况3：以为对角线 则中点与中点重合： 解得： 即． 综上，存在满足条件的点，坐标为、、； （3）存在，理由如下： 当时，，所以，， ∴是等腰直角三角形， 以点P、Q、E为顶点的三角形与相似， ∴是等腰直角三角形， 设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线， 设BC的解析式为，将，代入得， ， 解得，，故BC的解析式为， 把代入得，，则E点坐标为， 如图，当E为直角顶点时，， 解得，，（舍去）， 把代入得，，则P点坐标为， 当Q为直角顶点时，PQ=QE，即， 解得，（舍去）， 把代入得，，则P点坐标为； 当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即， 解得，（舍去），则P点坐标为； 综上，P点坐标为或． 4．(1) (2)取得最大值，此时点的坐标为 (3)存在，满足条件的的坐标为或 【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可； （3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 抛物线经过点，，， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 直线与轴交于点， ， ， 轴，即， ， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形． ①当是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形是矩形时， 由（2）可知，代入中，得到， 直线的解析式为，可得，， 由可得， , ， ， ． 根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点， ，即， b、如图2﹣2中，四边形是矩形时， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， ， 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ，即． ②当是对角线时，设， 则，，， 是直角顶点， ， ， 整理得，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的的坐标为或． 5．(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）先求出，设抛物线的解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）先求出，，作于点，则，求出，，最后由正切的定义计算即可得出结果； （3）先求出直线的解析式为，再结合梯形的性质，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， ∵抛物线顶点的坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵过点作轴， ∴当时，， 解得：，， ∴， 联立， 解得：或， ∴， 如图，作于点， 则， ∴，， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵以、、、为顶点的四边形是梯形， ∴当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，此时点的纵坐标为， 在中，令，则， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，正切的定义，二次函数综合—特殊四边形问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 6．(1)； (2)4； (3)点的坐标为或者； (4)或． 【分析】（1）先由直线解析式求出点、点坐标，再用待定系数法求抛物线解析式． （2）由知点与点纵坐标相同，代入抛物线求出点坐标，即可求长． （3）抛物线开口向下，顶点为，点，分点在点左侧和右侧两种情况讨论图象的最高点与最低点，根据纵坐标之差为列方程求解． （4）由矩形构造可知其四个顶点为、、、，直线经过点，分与讨论它与矩形边的交点位置，利用面积比为1:3列方程求． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，得， ，． 抛物线经过、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：在轴上，， 点与点的纵坐标相同，均为． 令，得， 即， 解得：，． ． ． （3）解：令，得， 即， ． ， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 点在轴下方， 或． ①当时，图象对应自变量取值范围是， 抛物线在上y随x增大而增大， 最高点为，最低点为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． ②当时，图象对应自变量取值范围是，包含顶点， 最高点为顶点，纵坐标为． 点在轴下方，点在轴上， 最低点为，纵坐标为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． 综上，点的坐标为或． （4）解：四边形为矩形，为对角线，且轴， ，． 矩形面积． 当时，直线与边交于点， ． 由，得， 解得：． 当时，直线与边交于点， ，， ． 由，得， 解得：． 当时，直线不经过矩形内部，不符合题意． 综上，的值为或． 7．(1) (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入，列方程组求解即可． （2）根据点P的位置（即t的取值范围）进行分类讨论，分别计算结果． （3）设点N的横坐标为n，用含m，n的式子分别表示出的长，再根据列方程求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得 解得 故抛物线的函数表达式为． （2）解：∵P为第一象限内抛物线上一动点， ∴，其中． ∵抛物线的函数表达式为， ∴． 令，解得，， ∵轴， ∴当时，点E与点C重合． ∴，． ①当时，如图1，点E在点C上方， 此时， ∴． 当时，，解得． ②当时，如图2，点E在点C下方， 此时， ∴． 当时，，解得，（舍去）． 综上可知，t的值为或． （3）解：∵轴，轴， ∴． 又轴， ∴四边形是矩形， ∴． 设点N的横坐标为n，则， ∴． ∵，， ∴设直线的函数表达式为，把，代入，得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴，， ∴①． 要使四边形为正方形，则要满足． 点N的位置有以下两种情况． ①当点N在点C左侧的抛物线上时，如图3，此时． 若，则，整理，得②， 把②代入①，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． ②当点N在点C右侧的抛物线上时，． 若，则，解得，此时点与点重合，不符合题意． 综上可知，点M的坐标为． 8．(1) (2)存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据对称轴，求出，把点代入函数解析式，求出，即可得到函数解析式； （2）令，得，求出，设直线的解析式为：，根据待定系数法，求出函数解析式，设，则，得到 ，，，分类讨论：①当为边时，，②当为对角线时，，求出，即可得到菱形的边长． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，即． ． 将代入，得， 解得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：存在． 令，得， ， 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的函数表达式为， 设，则， ，，， 当以，，，为顶点的四边形是菱形时，分为以下两种情况： ①当为边时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为， 综上所述，存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或． 9．(1) (2)或 (3)点的坐标为或时，点能否落在轴上． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分两种情况讨论即可求解； （3）利用折叠的性质、平行线的性质求得，推出，再利用勾股定理、分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点， ∴， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，二次函数的最大值是3，且， ∴该区间不包含对称轴， 分两种情况讨论： ①当区间在对称轴左侧时，即， 此时函数在区间上单调递增，最大值在处取得， ∴， 解得，， ∵， ∴； ②当区间在对称轴右侧时，即，解得， 此时函数在区间上单调递减，最大值在处取得， ∴， 解得，， ∵， ∴； 综上，或； （3）解：能，理由如下： 令，则， ∴， ∵点E的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m， ∴，， 若点Q落在y轴上， ∵点C在y轴上， ∴线段在y轴上， ∵轴，y轴轴， ∴轴，即， ∴(两直线平行，内错角相等)， 由翻折的性质可知，， ∴， ∴， ∴(等角对等边) ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ①当点N在点M上方时(即)： ∴， 由得：， 解得(舍去)，， ∵， ∴符合题意， 此时； ②当点M在点N上方时(即)： ∴， 由得：， 解得(舍去)，， ∵， ∴符合题意， 此时； 综上，点的坐标为或时，点能否落在轴上． 10．(1)抛物线的函数关系式为，直线AC的函数关系式为 (2)最大值为，此时点P的坐标为 (3)能，E的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点，设，则，求出，根据得到，据此可得答案； （3）先求出点B和点D的坐标，根据，得到以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，则；设，则，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为；     设直线的解析式为 将点代入，得， ∴ ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点． 设，则， ， ∴当时，的面积有最大值，最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：∵抛物线解析式为， ， 当时，， ， ∵， ∴以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，如图， ∴； 设，则， ∴， ∴或， 解方程得或（舍去）， 解方程得或， 当时，， 当时， 当时， 综上，满足条件的点的坐标为或或． 11．(1) (2)当时，的最大值为， (3)或或 【分析】（1）将，代入二次函数，求出的值即可； （2）先求出直线的解析式为：，设，则，过点作于点，则，，根据正弦函数的定义可得，由得，可得，则，利用二次函数的性质可求出最值； （3）先利用二次函数平移的规律得到新抛物线的解析式，然后设出点，分两种情况：①线段为菱形的对角线时；②线段为菱形的边时，利用菱形的性质求解． 【详解】（1）解：与x轴的两交点分别是，， ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 当时，， ， 设直线的解析式为：， 直线过点， ，解得， 直线的解析式为：， 设，则， ， ， 过点作于点， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为，此时； （3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位长度， 即将抛物线向左移动个单位，向上移动个单位， 平移后的抛物线的解析式为：， 平移后的抛物线的对称轴为直线，平移后的抛物线与轴的交点， 设， ①当线段为菱形的对角线时，， ， ， ， ，解得， ， ； ②当线段为菱形的边时， ， ， ， ， 当时，，即，无解； 当时，，即， 或， 或， 或， 综上，点的坐标为或或． 12．(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于M，如图1，设，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质求解； （3）如图2，分类讨论：当四边形为平行四边形，设，利用点平移的坐标规律得到，然后把代入中求出a即可得到Q点坐标；当四边形为平行四边形或四边形为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为，即； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 作轴交于M，如图1， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大，此时P点坐标为； （3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线， 当四边形为平行四边形，设，则， 把代入得，解得， ∴； 当四边形为平行四边形时，设，则， 把代入得，解得， ∴； 当四边形为平行四边形时，设，则， 把代入得，解得， ∴， 综上所述，满足条件的Q点坐标为或或． 13．(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式为，过点作轴交延长线于点，过，两点分别作，分别交于，两点，得出点坐标为，点坐标为，进而根据，解方程，即可求解； （3）依题意得出，根据点坐标为，进而得出根据，即可求解； （4）依题意，点坐标为，，分别表示出，分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数， ， 解得， ． （2）设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 过点作轴交延长线于点， 过，两点分别作，分别交于，两点， 点坐标为，点坐标为， ， ， 解得，， ∵点在轴左侧，， ． （3）解：，， ， ∵点坐标为， ，， ， ，． （4）解：依题意，点坐标为，， ，， 当时，矩形的周长， 当时，矩形的周长， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， ①当时，解得，（舍） ②当时，解得（舍） ③当时，解得（舍） ④当时，解得，（舍） 综上所述：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $