广东佛山市2025-2026学年下学期高二数学期末冲刺自编模拟卷

**基本信息** 广东省佛山市高二数学期末模拟卷，聚焦函数、数列、统计概率等核心知识，通过居民锻炼调查、转盘活动等真实情境，设计基础题与创新题（如“中值点”定义），考查数学抽象、数据观念与建模能力，梯度合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|函数求导、数列、正态分布、排列组合|8题定义“中值点”，考查创新意识| |填空题|3题15分|随机变量、二项式定理、函数零点|13题结合整除问题，体现数学思维| |解答题|5题77分|函数单调性、数列证明、独立性检验、概率期望|17题居民锻炼统计分析，19题转盘活动建模，考查数据观念与应用意识|

广东省佛山市2025-2026学年下学期高二数学期末冲刺模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 2．为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（    ） A．16 B．17 C．15 D．14 3．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（   ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 5．学校要安排五一青春歌会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求不相邻，2个曲艺节目也不相邻，则安排方法有（    ） A．1152 B．1278 C．960 D．962 6．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（    ） A．160 B．120 C．80 D．20 7．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ） A．32 B．48 C．64 D．82 8．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．若，则 11．设函数，则（   ） A．当时， B．若，则 C．曲线在处的切线与的图象有两个交点 D．若两个不等的正数，满足，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量X，Y满足，且，，则______． 13．设．若n是大于3的偶数，则除以1225的余数是__________． 14．设，，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间： (3)求函数在上的最大值和最小值． 16．（15分） 已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，数列的前项和为，求证：． 17．（15分） 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄次数 每周0∼2次 33 22 22 23 每周3∼4次 12 17 25 22 每周5次及以上 3 3 12 6 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低， 不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分） 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 19．（17分） 某商场为吸引顾客，推出“幸运大转盘”活动．转盘分为三个区域：红色、黄色、蓝色，指针指向各区域的概率分别为、、．活动规则为：顾客每转动一次转盘，记录颜色后再次转动转盘，直到三种颜色均至少出现过一次为止，活动结束，根据转动次数，顾客可获得相应等级的奖品．设表示活动结束时顾客转动转盘的次数． (1)求的概率； (2)求且的概率表达式： (3)设表示出现两种不同颜色之后到出现第三种颜色所需的转动次数（包括第三种颜色出现的那一次），求的数学期望． 参考公式：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市2025-2026学年下学期高二数学期末冲刺模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数， 则. 2．为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（    ） A．16 B．17 C．15 D．14 【答案】A 【分析】利用等差数列前n项和公式、等差数列项的性质化简已知等式，进而求解k的值. 【详解】设数列公差为，由题设可得. 即，结合,可得 3．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 4．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（   ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【分析】利用正态分布关于对称的性质，结合已知概率推导所求区间的概率. 【详解】因为随机变量，因此正态曲线的对称轴为， 由对称性可知，， 已知，可得， 对称性知， 所以. 5．学校要安排五一青春歌会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求不相邻，2个曲艺节目也不相邻，则安排方法有（    ） A．1152 B．1278 C．960 D．962 【答案】A 【分析】总共分三步：第一步，4个音乐节目在第的位置，第二步，为保证3个舞蹈节目不相邻，从空位中选1个，从中选1个，再加上空位共三个位置安排舞蹈节目，第三步，2个曲艺节目在剩余位置，根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】第1个节目和最后1个节目已确定，只需安排其余9个位置： 第一步，4个音乐节目在第的位置，安排方法有种； 第二步，3个舞蹈节目，空余位置为，从空位中选1个，从中选1个，再加上空位， 安排方法有种； 第三步，此时剩余的2个位置必然不相邻，满足2个曲艺节目不相邻，安排方法有种. 由分步乘法计数原理知，总安排方法为种. 6．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（    ） A．160 B．120 C．80 D．20 【答案】A 【分析】首先写出二项式展开式通项，再由二项式系数的性质确定最大系数对应项，即可求项的系数. 【详解】展开式的通项为， 由于二项式共有7项，故第四项的二项式系数最大，即， 所以二项式系数最大的项的系数为. 7．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ） A．32 B．48 C．64 D．82 【答案】D 【分析】分①②③④四边同色、①②③④只有三边同色另一边不同色和①②③④每两个同色三种情况分别求解即可. 【详解】如图所示：    当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 8．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】A 【分析】由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于两点所在直线的斜率，然后每个序号求导，分别代入求中值点即可判断． 【详解】由题意知，即存在一点， 使得此点处的切线斜率等于点与点连线的斜率，即方程解的个数就是中值点个数. ①由得，而，显然成立，故有无数个“中值点”，符合题意． ②由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ③由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ④由得，而， 故有两个“中值点”，符合题意． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于B，令，则，故B正确； 对于C，，，所以，C正确； 对于D，， 令，则，D错误. 10．已知是各项均为正数的等比数列，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据等比数列的通项公式即可判断选项A；结合基本不等式即可判断选项B；利用作差法即可判断选项C；结合条件得到，再利用作差法即可判断选项D． 【详解】由是各项均为正数的等比数列，设的公比为，则，， 对于A，由，，所以，故A正确； 对于B，由，当时，等号成立，所以不恒成立，故B错误； 对于C，由， 又，，，，则，故C正确； 对于D，由，，若，则，即， 所以，即，故D正确． 11．设函数，则（   ） A．当时， B．若，则 C．曲线在处的切线与的图象有两个交点 D．若两个不等的正数，满足，则 【答案】AD 【分析】选项A：求导判定在上的单调性，结合自变量与的大小关系比较函数值.选项B：通过导数得到的单调区间与特殊点函数值，将函数不等式转化为自变量范围求解.选项C：利用导数求出切线方程，联立切线与函数解析式，因式分解后判断交点个数.选项D：依据在的单调性，构造，通过代数变形推导的取值范围. 【详解】由题意得，， 对于A，当时，，所以在上单调递增， 又，所以，故A正确； 对于B，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 因为，所以，所以， 所以解集为，且，故B错误； 对于C，易得曲线在处的切线方程为， 联立与可得，即，得， 故切线与的图象只有一个交点，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，且， 不妨设，则， 则， 又，且在上单调递增， 所以，所以，即，故D正确. 综上，选AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量X，Y满足，且，，则______． 【答案】8 【分析】根据二项分布的概率公式可得，进而可得，结合方差的性质运算求解即可. 【详解】因为，则， 即，且，解得， 则，可得， 又因为，所以． 13．设．若n是大于3的偶数，则除以1225的余数是__________． 【答案】 【分析】利用二项式定理化简，再将偶数换元为并展开，可证是1225的倍数，即可求得. 【详解】因为， 所以， 若是大于3的偶数，令， 则 ， 因为对，， 所以能被1225整除，故余数为0，即余数是. 14．设，，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】引入函数，，函数的图象是过的直线，由导数确定的单调性、极值，过作的切线，求出切点的横坐标，确定满足题意的的可能取值，列出不等式组求解． 【详解】设，， 则由题意可知，存在唯一的整数，满足． ∵， ∴当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ∴的最小值为， 又函数的是过定点的直线， 过曲线的切线，切点为， 则，解得或， ， 因此存在唯一的整数，满足，则或， ∴，或， 即或， 解得或， 故实数的取值范围为．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间： (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的递减区间为，递增区间为， (3)最大值为、最小值为 【分析】（1）根据导数的运算法则，结合代入法进行求解即可； （2）根据导数的性质进行求解即可； （3）根据函数最值的性质，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）， 所以由题意可得； （2）由上可知：， 令，解得，所以函数的递减区间为， 令，解得，或， 所以函数的递增区间为，； 综上所述：函数的递减区间为，递增区间为，； （3）由（2）可知：的递减区间为，递增区间为， 所以当时，在上递减，在，上递增， 因为， 所以， 因此函数在上的最大值为、最小值为. 16．（15分） 已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）依次将代入递推关系式中计算即可； （2）由得到，再根据等比数列的定义证明即可； （3）由（2）得到的解析式，进而得到及的解析式，再根据裂项相消法求出数列的前项和为，即可得证. 【详解】（1）在数列中，已知， 则，； （2）由可得， 则，又因为， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列； （3）由（2）可得，解得， 则 ， 所以． 17．（15分） 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄次数 每周0∼2次 33 22 22 23 每周3∼4次 12 17 25 22 每周5次及以上 3 3 12 6 (1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低， 不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； (2)从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为体育锻炼频率的高低与年龄有关； (2)分布列为： 0 1 2 P 【详解】（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关. 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 55 45 100 体育锻炼频率高 35 65 100 合计 90 110 200 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． （2）由表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列： 0 1 2 P 所以的数学期望为. 18．（17分） 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 19．（17分） 某商场为吸引顾客，推出“幸运大转盘”活动．转盘分为三个区域：红色、黄色、蓝色，指针指向各区域的概率分别为、、．活动规则为：顾客每转动一次转盘，记录颜色后再次转动转盘，直到三种颜色均至少出现过一次为止，活动结束，根据转动次数，顾客可获得相应等级的奖品．设表示活动结束时顾客转动转盘的次数． (1)求的概率； (2)求且的概率表达式： (3)设表示出现两种不同颜色之后到出现第三种颜色所需的转动次数（包括第三种颜色出现的那一次），求的数学期望． 参考公式：． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】（1）分析可知，则前次转盘中，指针在三色区域中各出现一次，利用排列计数原理结合独立事件的概率公式可求得的值； （2）若，则前次中有且只出现两种颜色，对前次出现的颜色进行分类讨论，结合对立事件和独立事件的概率公式可得出的表达式； （3）先求“最先出现的两种颜色”分别为红黄、红蓝、黄蓝的概率，再在每种情况下求等待第三种颜色的转动次数分布，最后用全概率公式和所给求和公式计算数学期望． 【详解】（1）若，则前次转盘中，指针在三色区域中各出现一次， 所以. （2）若，则前次中有且只出现两种颜色， ①若前次只出现黄蓝，其概率为， 第次出现红色，其概率为； ②若前次只出现红蓝，其概率为， 第次出现黄色，其概率为， ③若前次只出现红黄，其概率为， 第次出现蓝色，其概率为. 综上所述，. （3）先求最先出现的两种不同颜色的组合． 记事件，，分别表示最先出现的两种颜色为红黄、红蓝、黄蓝． 若发生，则可能先出现红色，也可能先出现黄色． 第一次出现红色后，下一次出现不同颜色时，黄色和蓝色的可能性相同，所以第二种不同颜色为黄色的条件概率为； 第一次出现黄色后，下一次出现不同颜色时，红色与蓝色的概率之比为， 所以第二种不同颜色为红色的条件概率为． 因此． 同理，，． 当最先出现的两种颜色为红、黄时，第三种颜色为蓝色，每次转到蓝色的概率为，所以． 当最先出现的两种颜色为红、蓝时，同理有． 当最先出现的两种颜色为黄、蓝时，第三种颜色为红色，每次转到红色的概率为，所以． 由全概率公式，． 化简得． 因此， ． . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $