期末复习：正弦定理与余弦定理的实际应用问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末复习：正弦定理与余弦定理的实际应用问题复习讲义 期末复习：正弦定理与余弦定理的实际应用问题复习讲义 知识点解析 一、正弦定理 1. 原理 在任意 中，角 对边为 为三角形外接圆半径。 适用核心：两角一边、两边一对角；实现边角互化；大边对大角，可判断解的个数。 解题步骤 1. 建模：把实际场景（高度、距离、方位角、坡度）抽象为三角形，标注已知边长、角度； 1. 匹配条件：两角一边/两边及其中一边对角，选用正弦定理； 1. 代入公式列式，求解边或角； 1. 多解检验：两边一对角题型，结合 、大边对大角舍去增根； 1. 还原实际物理量，写出最终实际答案。 二、余弦定理 1. 原理 变形求角： 适用核心：三边、两边一夹角；判断三角形锐角/钝角；无多解歧义。 解题步骤 1. 几何建模：提取实际距离、仰俯角、方位角，绘制 ，标注已知量； 1. 条件匹配：三边已知或两边夹一角，使用余弦定理； 1. 代入方程计算边长；需要角度则用余弦变形求余弦值再得角度； 1. 结合勾股、面积公式辅助验算； 1. 回归实际问题作答（高度、航程、宽度等）。 三、实际应用题通用前置规则 1. 角度翻译：方位角、仰角、俯角、坡角、方向角先转换成三角形内角； 1. 多个三角形时逐个拆解，先解条件充足的小三角形，所得边长作为相邻三角形已知量； 1. 面积辅助公式：，测量面积类题目常用； 1. 单位全程统一，结果按需保留小数/根式。 例题分析 例1．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，，在点测得，，．    (1)求的长； (2)求的值． 例2．（25-26高一下·天津蓟州·期中）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 例3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 (1)救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 例4．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． (1)求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； (2)求的值. 变式训练 变式1．（25-26高一下·四川成都·期中）某公园有一条笔直的观光道路，道路一侧有两个景观标志牌和（视为平面上的点）．经测量，标志牌到道路的垂直距离为5米，标志牌到道路的垂直距离为1米，且两标志牌在道路上的投影点之间的距离为4米（即若过、分别作道路的垂线，垂足为、，则米）．假设道路为一条直线，游客从道路上的点处观看两个标志牌，视线和的夹角为．所有点均在同一平面内，忽略高度影响． (1)以为原点，道路为轴（在原点，在x轴正半轴上），建立平面直角坐标系，画出示意图，写出、的坐标； (2)设的坐标为，试用表示，并化简； (3)在（2）的条件下，求的最大值及此时点的坐标． 变式2．（25-26高一下·上海·期中）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． (1)求的值； (2)求该船的行驶速度（海里/小时）； (3)在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 变式3．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行m到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内．    (1)求古塔的高度； (2)求三棱锥的体积； (3)若从观测点沿的延长线向后退行20m到达点，求三棱锥的外接球的体积. 变式4．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 实战演练 1．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得. (1)求的长度； (2)求，之间的距离. 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）某校数学兴趣小组计划测量本市双子塔塔顶之间的直线距离，设计了两套方案，具体如下： (1)方案一：无人机沿水平方向在两点观测塔顶，在同一个铅垂平面内（如示意图），若在处测得塔顶的俯角分别为，在处测得塔顶的俯角分别为，无人机飞行距离．利用上述数据能否计算出两塔塔顶之间直线距离？若能，求出（结果精确到）；若不能，请说明理由．（参考数据：） (2)方案二：在与两塔基底同一水平面内选取测量点，在点处分别测得塔顶的仰角为，测量点与两塔基底的夹角为． ①假设塔高，试用表示两塔塔顶间距离； ②为实施方案二，需要测量两塔的高度，不妨以测量塔顶距水平地面的高度为例．兴趣小组在水平地面内选取点，在点测得塔顶的仰角分别为．若点是线段的中点，，试用表示． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：正弦定理与余弦定理的实际应用问题复习讲义 期末复习：正弦定理与余弦定理的实际应用问题复习讲义 知识点解析 一、正弦定理 1. 原理 在任意 中，角 对边为 为三角形外接圆半径。 适用核心：两角一边、两边一对角；实现边角互化；大边对大角，可判断解的个数。 解题步骤 1. 建模：把实际场景（高度、距离、方位角、坡度）抽象为三角形，标注已知边长、角度； 1. 匹配条件：两角一边/两边及其中一边对角，选用正弦定理； 1. 代入公式列式，求解边或角； 1. 多解检验：两边一对角题型，结合 、大边对大角舍去增根； 1. 还原实际物理量，写出最终实际答案。 二、余弦定理 1. 原理 变形求角： 适用核心：三边、两边一夹角；判断三角形锐角/钝角；无多解歧义。 解题步骤 1. 几何建模：提取实际距离、仰俯角、方位角，绘制 ，标注已知量； 1. 条件匹配：三边已知或两边夹一角，使用余弦定理； 1. 代入方程计算边长；需要角度则用余弦变形求余弦值再得角度； 1. 结合勾股、面积公式辅助验算； 1. 回归实际问题作答（高度、航程、宽度等）。 三、实际应用题通用前置规则 1. 角度翻译：方位角、仰角、俯角、坡角、方向角先转换成三角形内角； 1. 多个三角形时逐个拆解，先解条件充足的小三角形，所得边长作为相邻三角形已知量； 1. 面积辅助公式：，测量面积类题目常用； 1. 单位全程统一，结果按需保留小数/根式。 例题分析 例1．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，，在点测得，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，在中，利用正弦定理，即可求解； （2）根据题意，得到为等腰三角形，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，在中，，，， 则， 在中，由正弦定理，可得， 则． （2）解：在中，， 所以为等腰三角形，所以． 在中，由余弦定理得， 即， 所以． 例2．（25-26高一下·天津蓟州·期中）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 【答案】(1)2km； (2). 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出第三个角，然后运用正弦定理解出所求边长； （2）先通过正弦定理求出另一条边的长度，再在包含目标线段的三角形中，使用余弦定理计算该线段的长. 【详解】（1）根据题意得，，， 所以， 在△PMG中，根据正弦定理， 得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为. （2）在中，， ，所以 由正弦定理得，解得， 在中，， 由余弦定理得 ，解得. 综上所述，两主峰M、N之间的距离为． 例3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 (1)救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 【答案】(1) (2)；能，理由见解析. 【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可. （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【详解】（1）在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为60海里； （2）在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在小时内赶到救援. 例4．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． (1)求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，分别为杆，为平行的光线，分别为杆的影子， 设光线与水平面所成角为，则，故， 则. （2）由（1），，， 在中，由正弦定理可得 即，故，则， 则， ， 故. 变式训练 变式1．（25-26高一下·四川成都·期中）某公园有一条笔直的观光道路，道路一侧有两个景观标志牌和（视为平面上的点）．经测量，标志牌到道路的垂直距离为5米，标志牌到道路的垂直距离为1米，且两标志牌在道路上的投影点之间的距离为4米（即若过、分别作道路的垂线，垂足为、，则米）．假设道路为一条直线，游客从道路上的点处观看两个标志牌，视线和的夹角为．所有点均在同一平面内，忽略高度影响． (1)以为原点，道路为轴（在原点，在x轴正半轴上），建立平面直角坐标系，画出示意图，写出、的坐标； (2)设的坐标为，试用表示，并化简； (3)在（2）的条件下，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，， (2)， (3)最大值为，点的坐标为 【分析】（1）结合题意作图求解即可. （2）根据三角函数的定义、诱导公式即两角和的正切公式化简求解即可. （3）根据代换法结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，在正上方，距离5米，故； 在正上方，距离1米，且在x轴正半轴上，，故， 从而，示意图如图． （2）点，其中． 设，，则在直角三角形与中， 由三角函数的定义，得，， 由于，所以 ． 因为，则，且， 所以，． （3）令，则，， 则， 等号当且仅当时，即（米）时成立， 故的最大值为，此时点的坐标为． 变式2．（25-26高一下·上海·期中）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． (1)求的值； (2)求该船的行驶速度（海里/小时）； (3)在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 【答案】(1) (2)海里/小时 (3)货船会进入警戒区域，货船可以在规定时间之内离开警戒区域，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合同角三角关系计算求解； （2）利用余弦定理计算求解； （3）利用余弦定理求出，进而求出，利用正弦定理求出，进而求出，进而结合题意得出结论． 【详解】（1）由题意：，，， ，，则，解得， ． （2）由余弦定理得： ， 即， 航行时间为20分钟，即小时， 该船的行驶速度为海里/小时． （3）在中，根据余弦定理得，则， 设延长线交于点，则，， 则， ， 在中，由正弦定理可得：， 解得海里， 过点作垂直于点， 在中，，，， 显然，，故货船会进入警戒区域； 则货船进入警戒区域的时间为小时， 而， 货船可以在规定时间之内离开警戒区域． 变式3．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行m到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内．    (1)求古塔的高度； (2)求三棱锥的体积； (3)若从观测点沿的延长线向后退行20m到达点，求三棱锥的外接球的体积. 【答案】(1)m (2) (3) 【分析】（1）根据几何关系及余弦定理求解即可. （2）根据三棱锥的体积公式求解即可. （3）将三棱锥补为以为棱的长方体，结合长方体的性质求出外接球半径，代入球的体积公式求解即可. 【详解】（1）设， 在中，因为，故，同理， 在中，，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或（负解舍去）. 所以古塔的高度为m. （2）由（1）知，在中，，，， 所以. 所以三棱锥的体积. （3）由于，故， 可以把三棱锥补形为以为棱的长方体，则三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，. 在中，，，所以， 所以长方体的外接球的半径， 故外接球体积为 变式4．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】(1)； (2)； (3)（单位：m/min）． 【分析】(1)在中，已知两角及其夹边，可求出第三个角通过正弦定理计算AB的长； (2)甲乙最短距离时所在位置可以与A构成三角形，根据速度，可以求得路程，即三角形边长，利用余弦定理解三角形即可； (3)通过路程除以速度计算时间，根据两人到达时间，列不等式，计算范围即可． 【详解】（1）在中，因为，， 所以，，从而： ， 由正弦定理，得． （2）设乙在D处时，与E处的甲距离最近： 假设乙出发后，甲、乙两游客距离为， 此时，甲行走了，乙走了， 所以由余弦定理得： ， 即， 因为乙还在缆车上，故，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理，得． 乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得， 即，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 实战演练 1．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得. (1)求的长度； (2)求，之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 在中，利用三角形内角和定理求出，再结合正弦定理即可求得的长度； （2） 在中，利用正弦定理求出的长度，进而得到的大小，最后在中利用余弦定理求得的距离. 【详解】（1）在中，由题意可知，， 所以． 由正弦定理得， 即． 故的长度为． （2）在中， 因为点测得的俯角为，所以， 则． 由正弦定理得， 即． 在中，， 由余弦定理得 ， 所以． 故之间的距离为． 2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）某校数学兴趣小组计划测量本市双子塔塔顶之间的直线距离，设计了两套方案，具体如下： (1)方案一：无人机沿水平方向在两点观测塔顶，在同一个铅垂平面内（如示意图），若在处测得塔顶的俯角分别为，在处测得塔顶的俯角分别为，无人机飞行距离．利用上述数据能否计算出两塔塔顶之间直线距离？若能，求出（结果精确到）；若不能，请说明理由．（参考数据：） (2)方案二：在与两塔基底同一水平面内选取测量点，在点处分别测得塔顶的仰角为，测量点与两塔基底的夹角为． ①假设塔高，试用表示两塔塔顶间距离； ②为实施方案二，需要测量两塔的高度，不妨以测量塔顶距水平地面的高度为例．兴趣小组在水平地面内选取点，在点测得塔顶的仰角分别为．若点是线段的中点，，试用表示． 【答案】(1)能， (2)① ；② 【分析】（1）在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求得，进而利用余弦定理求解； （2）①利用直角三角形边的关系求解， ；在中，由余弦定理求解即可； ②利用直角三角形边角关系得，在中由余弦定理求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由余弦定理得 ． （2） ①如图1，在中，∵，∴， 在中，∵，∴； 在中，由余弦定理得， ∴； ②如图2， ， 在中，，即， 由余弦定理，， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $