期末培优：利用导数证明不等式、利用导数研究恒成立求参数问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

期末培优：利用导数证明不等式、利用导数研究恒成立求参数问题复习讲义 期末培优：利用导数证明不等式、利用导数研究恒成立求参数问题复习讲义 考点目录 利用导数证明不等式 利用导数研究恒成立求参数问题 考点一 利用导数证明不等式 【知识点解析】 一、解题原理 构造辅助函数，借助导数判断函数最值；若区间内函数最小值 ，则 恒成立；最大值 ，则 恒成立，以此完成不等式证明。 1. 单变量不等式：移项构造 左边 右边； 1. 双变量不等式：换元统一变量、固定一变量构造函数、比值换元； 1. 常见等价逻辑： ；。 二、标准解题步骤 1. 移项变形，构造辅助函数 ，标注完整定义域； 1. 求导 ，化简、因式分解，分析导数零点与正负区间； 1. 判断 单调性，锁定极值点、最值点； 1. 求出 在定义域上的最小值或最大值； 1. 比较最值与 0 的大小关系，反向证出原不等式； 1. 复杂题型可二次求导、放缩、拆分区间分段证明。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 例2．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)证明：无零点. (3)若函数，证明：. 例3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，. (1)证明：； (2)设，证明在上单调递增； (3)求实数的最大值，使得对任意，都有. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，为的导函数 (1)求的单调增区间； (2)记，.当时，证明：. 变式2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，． (1)若，证明：； (2)讨论函数在上零点的个数； (3)求实数的最大值，使得对任意，都有． 变式3．（2026·江西·二模）已知函数，其中为实数，定义域为． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：对任意的正整数，都有． 考点二 利用导数研究恒成立求参数问题 【知识点解析】 一、解题原理 对区间内全部 ，不等式 （或 ）永久成立，转化为函数最值约束： 1. 恒成立 ； 1. 恒成立 ； 两大路径：① 分离参数法；② 不分离参数，含参讨论单调性求最值。 二、方法 1：分离参数法（优先选用） 原理 把参数 单独放一侧，化为 或 ，转化为求 最值： 恒成立 ； 恒成立 。 步骤 1. 不等式等价变形，把参数单独剥离； 1. 设不含参函数 ，写明定义域； 1. 求导研究 单调性，算出最大/最小值； 1. 写出参数取值范围。 三、方法 2：含参分类讨论法（无法分离参数时使用） 原理 直接对含参函数 求导，按参数分界讨论单调性，求出带参最值，再列不等式解参数。 步骤 1. 设原不等式整理后的含参函数 ； 1. 求导，依据最高次系数、判别式、零点大小划分参数区间； 1. 每一段参数范围下判定 单调区间，写出 的最小/最大值； 1. 代入最值满足的不等关系，解对应参数解集； 1. 合并所有有效参数区间。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，其导函数为，． (1)求n的值； (2)函数只有一个极值点，求实数m的取值范围； (3)若恒成立，求实数a的取值范围． 例2．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的值． 例3．（2026·北京·三模）设函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若对于任意，，都有，求m的取值范围． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数． (1)当时，讨论在上的极值点情况． (2)当时，在上恒成立，求的取值范围． (3)若，在上存在零点，求的取值范围． 变式2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)若，证明不等式在上恒成立； (3)若，且在上只有一个零点，求的取值范围． 变式3．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，都有，求m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：利用导数证明不等式、利用导数研究恒成立求参数问题复习讲义 期末培优：利用导数证明不等式、利用导数研究恒成立求参数问题复习讲义 考点目录 利用导数证明不等式 利用导数研究恒成立求参数问题 考点一 利用导数证明不等式 【知识点解析】 一、解题原理 构造辅助函数，借助导数判断函数最值；若区间内函数最小值 ，则 恒成立；最大值 ，则 恒成立，以此完成不等式证明。 1. 单变量不等式：移项构造 左边 右边； 1. 双变量不等式：换元统一变量、固定一变量构造函数、比值换元； 1. 常见等价逻辑： ；。 二、标准解题步骤 1. 移项变形，构造辅助函数 ，标注完整定义域； 1. 求导 ，化简、因式分解，分析导数零点与正负区间； 1. 判断 单调性，锁定极值点、最值点； 1. 求出 在定义域上的最小值或最大值； 1. 比较最值与 0 的大小关系，反向证出原不等式； 1. 复杂题型可二次求导、放缩、拆分区间分段证明。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 例2．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)证明：无零点. (3)若函数，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）根据给定条件，构造函数，再利用导数求出函数最大值即可. （3）求出函数，等价变形不等式，换元并构造函数，再利用导数求出最小值即可得证. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以所求的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，设，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即，则恒成立， 所以函数无零点. （3）依题意，函数的定义域为， 不等式 ，由（2）得，则， 令，则，令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 则，所以. 例3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，. (1)证明：； (2)设，证明在上单调递增； (3)求实数的最大值，使得对任意，都有. 【答案】(1)由得． 由基本不等式，，且当时等号不成立，所以． 所以函数是增函数. 又，因此对任意，． (2)设．则． 记，则， 设，则， 设，则． 当时， 因为是增函数，且， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，，所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）求导证明导函数大于0，结合在0处的极限为0，得； （2）多次构造辅助函数，利用导数判断相应函数的单调性，进而证明，在上单调递增； （3）分离参数转化为恒成立，由（2）的结论，结合洛必达法则可得；或构造函数，利用导数分析其最小值，即可求得实数的最大值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）法一：要使对任意，都有，等价于对任意成立， 即对任意成立．由（2）知，在上单调递增，因此． 用洛必达法则计算极限得．因此． 法二：令函数，则． 令，则． 令，则． 时，； 时，. 因为是增函数，且， 当，即时，恒成立， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 所以是增函数，且， 即使得对任意，都有. 当，即时，在上有解，记为， 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以，且在上存在使得. 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 即存在，使得，不合题意. 综上所述，，所以实数的最大值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知函数，为的导函数 (1)求的单调增区间； (2)记，.当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，由求解即可； （2）令，通过求导，确定最值即可证明. 【详解】（1）. 令，得， 得， 因此单调递增区间为. （2），记. 由题意知，则，     从而. 当时，，，则，     因此，在区间上单调递减，. 当时， . 变式2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，． (1)若，证明：； (2)讨论函数在上零点的个数； (3)求实数的最大值，使得对任意，都有． 【答案】(1)当时，． 记，则， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 所以（），则在上单调递增， 所以，因此时，． (2)当时无零点，当时有且仅有一个零点 (3)． 【分析】（1）利用导数求出的单调性以及最值即可证明结论； （2）设，，可得，将问题转化为与交点的个数，利用导数研究的单调性，结合零点存在定理判断即可； （3）将问题转化为对任意成立，结合（2）的结论即可求解. 【详解】（1）略 （2）设且，则， 所以等价于， 下面研究的单调性． ，整理得， 记，则，， 令，则（）， 所以在上单调递增，则， 所以，即（）， 所以在上单调递增，则， 所以（），即在上单调递增． 又，． 当时，方程无正根，即在上无零点． 当时，方程有且仅有一个正根，即在上有且仅有一个零点． （3）要使对任意，都有，等价于对任意成立． 因此． 由（2）知在上单调递增， 且． 因此实数的最大值为． 变式3．（2026·江西·二模）已知函数，其中为实数，定义域为． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：对任意的正整数，都有． 【答案】(1) (2) (3)由（2）知，当时，，有，即， 当且仅当时等号成立． 令，则有． 又 构造函数 在上单调递增，，故有在上恒成立． 令，得 故． ． 【分析】（1）分别求出，结合点斜式求解； （2）对得对任意的恒成立，构造新函数，对求导，利用导数探讨函数单调性得实数的取值范围； （3）数列不等式证明，利用（2）的结论，构造函数不等式，令，再对累加求和，又有在上恒成立，联立两式得证. 【详解】（1）当时，，则 ， 则曲线在点处的切线方程为： 整理得：. （2）因为，所以 令，则，故 ①当时，，而当时，， 由零点存在性定理可知，，使得． 当时，单调递减，故， 则在上单调递减，，与恒成立相矛盾，故舍去． ②当时，，有，，则 令，则， 故在上单调递增， 则在上单调递增，， 故在上单调递增，，符合题意． 综上，实数的取值范围是． （3）略 考点二 利用导数研究恒成立求参数问题 【知识点解析】 一、解题原理 对区间内全部 ，不等式 （或 ）永久成立，转化为函数最值约束： 1. 恒成立 ； 1. 恒成立 ； 两大路径：① 分离参数法；② 不分离参数，含参讨论单调性求最值。 二、方法 1：分离参数法（优先选用） 原理 把参数 单独放一侧，化为 或 ，转化为求 最值： 恒成立 ； 恒成立 。 步骤 1. 不等式等价变形，把参数单独剥离； 1. 设不含参函数 ，写明定义域； 1. 求导研究 单调性，算出最大/最小值； 1. 写出参数取值范围。 三、方法 2：含参分类讨论法（无法分离参数时使用） 原理 直接对含参函数 求导，按参数分界讨论单调性，求出带参最值，再列不等式解参数。 步骤 1. 设原不等式整理后的含参函数 ； 1. 求导，依据最高次系数、判别式、零点大小划分参数区间； 1. 每一段参数范围下判定 单调区间，写出 的最小/最大值； 1. 代入最值满足的不等关系，解对应参数解集； 1. 合并所有有效参数区间。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，其导函数为，． (1)求n的值； (2)函数只有一个极值点，求实数m的取值范围； (3)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，根据已知得、，化简整理即可求； （2）根据已知有，利用分类讨论及导数研究其极值点求参数范围； （3）问题化为研究恒成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得. 【详解】（1）由题设， ，， ，则， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）因为，所以， 则，， 当时，，则在上单调递增，所以函数不存在极值； 当时，令，即，得， 令，则恒成立，则在上单调递增， 又，所以存在唯一的，使得， 当时，，即，所以函数在上单调递减， 当时，，即，所以函数在上单调递增， 所以仅在处取到极小值，符合题意. 综上，函数只有一个极值点时，实数的取值范围为； （3）令，则， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，则，即， 由，则，即， 令，则， 因为，故，所以，即，故实数的取值范围为. 例2．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的值． 【答案】(1)当时，在上递减，在上递增； 当时，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】(1)求导后判断导函数的正负进行讨论； (2)根据零点存在性定理求出隐零点，将隐零点代入计算，构造关于的函数证明即可. 【详解】（1） 则， 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； （2）不等式，即为， 设，，则， 设，， 当时，，可得，则单调递增， 此时当而当时，，故不满足题意； 当时，由，单调递增， 当x无限趋近0时，无限趋近于负数a，当x无限趋近正无穷大时，无限趋近于正无穷大，故有唯一的零点， 即，则，， 当时，，可得，单调递减； 当时，，可得，单调递增， 所以 ， 因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 因为恒成立，即恒成立， 令，，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以，即 又由恒成立，则，所以. 例3．（2026·北京·三模）设函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若对于任意，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明：由可得 令，可知是该方程的一个根； 令，则恒成立； 故在上单调递增， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在处取得最小值，； 故，故恒成立； (3)． 【分析】（1）利用导数的几何意义，在一点处的导数值等于在这点处切线的斜率，由此写出切线方程即可； （2）利用导函数的正负判断原函数的单调性，通过单调性变化得到最值，从而证明结论即可； （3）根据第二问函数的单调性，化简，判断绝对值的最值，通过构造函数，利用新函数的单调性，通过不等式计算参数的取值范围． 【详解】（1）当时，，； ，； 故曲线在点处的切线方程为：； （2）略； （3）由（2）可知，对任意的，在上单调递减，在上单调递增； 故在处取最小值，，最大值为， 则成立的充要条件为，，； 令，则，， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 故， 令， 则，故单调递增，且， 故当时，，， 当时，，， 综上，需满足， 故，解得 综上，m的取值范围为． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设函数． (1)当时，讨论在上的极值点情况． (2)当时，在上恒成立，求的取值范围． (3)若，在上存在零点，求的取值范围． 【答案】(1)在区间内存在一个极小值点和一个极大值点 (2) (3) 【分析】（1）利用分类讨论思想，结合导数的正负，可判断函数单调性，从而可确定极值点的个数； （2）利用分类讨论思想，结合导数的正负，判断单调性，来证明不等式是否成立即可； （3）利用分离参变量法，构造函数求导研究最值，从而可确定参数范围. 【详解】（1）当时，，则， ①当时， 由指数函数在上单调递增，余弦函数在上单调递减， 可知在单调递增， 又，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增； ②当时，由，，则， 所以在单调递增， ③当时，设， 则 由指数函数在上单调递增，正弦函数在上单调递减， 所以在单调递增， 又，， 所以存在使得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，，， 所以必存在，使得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 综上所述，当，单调递增，当，单调递减， 当，单调递增， 所以在区间内存在一个极小值点和一个极大值点． （2）当时，，由在上恒成立， 可得在上恒成立， 令，则， 若时，则在上恒成立，则在上单调递增， 所以，符合题意； 若时，令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，，当时，， 则，使得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，不合题意； 综上所述，实数的取值范围是． （3）由，，令，得， 设，，则， 令，解得，， 当时，， 所以在上单调递减， 当，时，， 所以在，上单调递增， 当，时，取得极小值， 即当，，，…时，取得极小值， 又，， 所以，即， 当，时，取得极大值， 即当，，，…时，取得极大值， 又，， 所以，即 即当时，， 所以，又， 即时，在上存在零点， 故实数． 变式2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)若，证明不等式在上恒成立； (3)若，且在上只有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义求解出切线的斜率，再用点斜式方程求解； （2）将原不等式等价转化为证明，从而只要求出的最大值即可； （3）的零点个数转化为讨论在零点. 【详解】（1）当时，， ， ， 则在处的切线方程为， 即. （2）当时，，要证，即证， 也即证明在上恒成立， 令，， 令，，则 ， 故在上单调递减，所以，即 所以，故在上单调递减，， 故不等式在上恒成立. （3）若，则当时， ，且 ， 所以，不可能只有一个零点．故只需考虑． 设，则， ， 先讨论． 由 得， 设 ， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，并且， 并且当从右侧趋近于时，趋近于；当 时，． 由此可得：当时，在上无解； 当时，在上只有一个解； 当时，在上有两个解； 当时，在上只有一个解，且该解在内． 下面同时检查的零点． 当时，由知在上单调递增，且， 所以，此时无零点，不符合题意． 当时，， 设，，则， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则，则， 则，当且仅当时取等号． 又，所以在上恒为正． 因此在上只有一个零点，符合题意． 当时，在上已有两个解，所以至少有两个零点，不符合题意． 当时，在上有一个解． 另一方面，当从右侧趋近于时，有 ， 而 故由连续性可知，存在，使得 ．于是至少有两个零点，不符合题意． 综上，的取值范围为 变式3．（25-26高二下·河南郑州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义结合已知条件求出切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论，利用导数分析函数单调性，结合已知条件得出m的取值范围． 【详解】（1）函数求导得， 又，， 曲线在处的切线方程为：，即， 所求的切线方程为． （2）由，求导得， ①当时，由，得，，所以，则恒成立， 此时在上单调递增，故， 当时，对任意的，都有； ②当时，令，解得， 则有在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 则，不满足题意； 综上，的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $