专题05 利用导数研究函数的零点与方程的根（含隐零点替换）5大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

专题05 利用导数研究函数的零点与方程的根 （含隐零点替换）5大题型（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 零点存在性及讨论零点个数 题型02 由零点个数求参数范围 题型03 方程的根 题型04 图象交点 题型05 隐零点替换设而不求 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 01：零点存在性及讨论零点个数 能利用导数研究函数的单调性、极值与最值，结合零点存在定理，判断函数在给定区间上零点的存在性及零点个数 压轴高频考点，常出现在解答题后两问，易错点在于忽略定义域、单调区间不连续或端点值符号判断错误 02：由零点个数求参数范围 能根据函数零点个数（如1个、2个、无零点等），通过分析函数图象趋势、极值与边界值，建立关于参数的不等式或方程，求出参数范围 导数综合压轴常见题型，考查数形结合与分类讨论，易错点在于漏掉临界情形或对参数讨论不完整 03：方程的根 能将方程根的问题转化为函数零点问题，利用导数分析函数单调性、极值与端点值，判断根的个数或根据根的情况求参数范围 与题型01、02本质相同，侧重方程表达形式，常结合代数变形，易错点在于转化过程中定义域的变化 04：图象交点 能利用导数分析两个函数图象的单调性、极值、渐近线及交点个数，或将交点问题转化为零点问题，求参数范围 常以小题或解答题形式出现，核心是数形结合，易错点在于忽略渐近线或特殊点处的函数值比较 05：隐零点替换设而不求 能在导数零点无法显式表达时，设出隐零点，利用零点满足的方程进行化简、代换，解决极值、最值或不等式证明问题 高端解题技巧，导数压轴题常用，考查代数整体代换与设而不求的思想，易错点在于隐零点范围确定及代换方向 知识点1. 核心思想：将方程根的问题转化为函数零点问题 原理：方程 的根 ⇔ 函数 的零点 ⇔ 函数 图像与 轴交点的横坐标。 一般步骤： 0. 构造函数 （通常将方程移项，令一边为0）。 0. 研究 的单调性、极值、最值、端点值/极限值。 0. 根据零点存在性定理及单调性，判断零点个数或位置。 知识点2. 零点存在性定理 内容：若 在 连续，且 ，则 内至少有一个零点。 注意：定理只保证存在，不保证唯一；唯一性需结合单调性。 知识点3. 利用导数确定零点个数的逻辑链 第1步：求导 ，确定 的单调区间。 第2步：计算每个单调区间端点的函数值（或极限值：， 间断点）。 第3步：对每个单调区间： 若区间两端点函数值异号 → 有且仅有一个零点。 若同号且非零 → 无零点。 若端点值为0 → 该端点为零点（注意边界是否包含）。 知识点4. 含参函数零点个数讨论（参数分离法 vs 直接讨论） 参数分离（优先考虑）： 将方程变形为 ，则原方程根的个数 ⇔ 水平线 与 图像交点个数。 研究 的单调性、极值、渐近线，画出草图。 直接讨论（参数不易分离时）： 对参数分类，分析 的极值符号及区间端点符号。 知识点5. 隐零点替换（设而不求） 适用场景：导数 是超越方程，无法显式解出零点 。 操作步骤： 0. 设隐零点 满足 。 0. 利用该关系式，将 、 等超越形式用代数式表示（如 或 等）。 0. 将 中的超越部分替换为代数式，从而判断 的符号。 核心技巧：整体代换，避免解出 的具体值。 知识点6. 常见隐零点模型与代换公式 导数方程形式 代换关系 用于化简 中的项 → 常用于证明不等式 两边指对互化，构造同构 如设 知识点7. 零点偏移与极值点偏移（高阶） 极值点偏移：若 ，且 ，则 （左偏或右偏）。 处理方法： 构造对称函数 ，研究其符号。 或利用对数平均不等式（指对混合型）。 与零点关系：极值点偏移问题本质是方程 的两个根的不等关系。 知识点8. 找“零点区间”的常用技巧 试探特殊点： 等，尤其当函数含 或 时。 放缩法：利用 ， 等放缩，证明端点值符号。 极限分析：， 时的行为（如 ， 等）。 题型一 零点存在性及讨论零点个数 解｜题｜技｜巧 先求函数定义域，再求导分析单调区间与极值。利用零点存在定理：若函数在区间端点异号且单调，则存在唯一零点。对于含参函数，需根据参数变化分类讨论极值点与区间端点函数值的符号，从而确定零点个数。常见思路：① 绘制导函数符号表，确定原函数图象走势；② 结合极限（如 、 或间断点附近）判断边界值；③ 极值点处函数值为零时可能为重根。 【典例1】（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数． (1)判断函数的零点个数； (2)若存在两个零点，证明：． 【典例2】（24-25高二下·广东茂名·期末）已知函数. (1)求的单调区间及最值； (2)设，讨论在区间上的零点个数. 【变式1】（25-26高二下·北京海淀·期中）设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 【变式2】（25-26高二下·安徽六安·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在上的最值； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【变式3】（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)设函数，当时，讨论零点的个数. 题型二 由零点个数求参数范围 解｜题｜技｜巧 将零点个数问题转化为函数图象与 轴交点个数问题。先研究函数不含参时的单调性与极值，再将参数视为影响函数上下平移或形状的因子。常用方法：① 分离参数，化为 ，则原函数零点个数等于直线 与曲线 的交点个数，通过分析 的值域与单调区间确定参数范围；② 直接构造函数，利用导数分析极值符号，通过极值等于零或与零比较列出不等式组。 【典例1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)在区间上有两个零点，求m的范围. 【典例2】（2026·重庆·三模）设函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，求的范围． 【变式1】（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 【变式2】（24-25高二下·甘肃天水·阶段检测）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程有三个零点，求实数m的范围. 题型三 方程的根 解｜题｜技｜巧 方程 的根即函数 的零点。方法同题型01，但有时可将方程变形为 ，转化为两个函数图象的交点。注意根的个数、重根、以及根的范围估计。对于高次、指对混合方程，常需借助导数研究单调性，再结合特殊点函数值符号判断。 【典例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 【典例2】（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 【变式2】（24-25高二下·江苏·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 题型四 图象交点 解｜题｜技｜巧 两函数 与 的交点个数等价于 的零点个数。常用技巧：① 作差后按零点问题处理；② 若两函数易于分离，分别作图，利用平移、旋转等几何直观，临界状态通常为相切（导数相等且函数值相等）。求参数范围时，可通过联立方程组消元后转化为一元方程根的分布。 【典例1】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知函数，. (1)若的图象在点处的切线方程为，求的值； (2)若在其定义域上不具有单调性，求实数的取值范围； (3)若与的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【变式1】（25-26高二下·山东淄博·阶段检测）已知是函数的一个极值点． (1)求实数a的值； (2)若直线与函数的图象有3个交点，求实数b的取值范围． 【变式2】（24-25高三上·北京通州·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：当，曲线的切线不经过点； (3)当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围. 题型五 隐零点替换设而不求 解｜题｜技｜巧 当导函数零点无法用初等形式显式解出时，设该零点为 ，满足 。利用该等式进行代换（例如将 或 表示为其他形式），从而简化原函数表达式（如 ）。常用于证明与极值点有关的不等式或求参数的取值范围。操作步骤：① 求导，设隐零点 ；② 由 得到代换关系；③ 将目标式用 表示，并利用代换消去超越项，得到关于 的简单函数；④ 根据 的范围（通过零点存在定理确定大致区间）求值域或证明不等式。 【典例1】（24-25高二下·湖北襄阳·期末）已知函数，， (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 【典例2】（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，求曲线过点的切线方程； (3)若存在三个不同的零点，且，证明：. 【变式1】（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【变式2】（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若存在唯一的极值且为极小值，求的取值范围； (3)设，若存在使得对恒成立，求的最大值． 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是函数的一个极值点. (1)求函数的单调区间； (2)若直线与函数的图象有3个交点，求实数的取值范围. 2．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 3．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知函数. (1)讨论单调性 (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点； 期末综合拓展练（测试时间：50分钟） 4．（2026·山东济南·三模）已知函数． (1)设函数，求的最小值； (2)对任意，都有，求k的取值范围； (3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围． 5．（2026·云南·模拟预测）设函数（）． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求证：； (3)关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论． 6．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知函数 (1)当时，求证:； (2)若在处取得极大值，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程 有两个不同实根，写出实数的取值范围 7．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数． (1)求证：； (2)设函数． ①若时，函数单调递增，求的取值范围； ②若函数无零点，求的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 利用导数研究函数的零点与方程的根 （含隐零点替换）5大题型（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 零点存在性及讨论零点个数 题型02 由零点个数求参数范围 题型03 方程的根 题型04 图象交点 题型05 隐零点替换设而不求 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 01：零点存在性及讨论零点个数 能利用导数研究函数的单调性、极值与最值，结合零点存在定理，判断函数在给定区间上零点的存在性及零点个数 压轴高频考点，常出现在解答题后两问，易错点在于忽略定义域、单调区间不连续或端点值符号判断错误 02：由零点个数求参数范围 能根据函数零点个数（如1个、2个、无零点等），通过分析函数图象趋势、极值与边界值，建立关于参数的不等式或方程，求出参数范围 导数综合压轴常见题型，考查数形结合与分类讨论，易错点在于漏掉临界情形或对参数讨论不完整 03：方程的根 能将方程根的问题转化为函数零点问题，利用导数分析函数单调性、极值与端点值，判断根的个数或根据根的情况求参数范围 与题型01、02本质相同，侧重方程表达形式，常结合代数变形，易错点在于转化过程中定义域的变化 04：图象交点 能利用导数分析两个函数图象的单调性、极值、渐近线及交点个数，或将交点问题转化为零点问题，求参数范围 常以小题或解答题形式出现，核心是数形结合，易错点在于忽略渐近线或特殊点处的函数值比较 05：隐零点替换设而不求 能在导数零点无法显式表达时，设出隐零点，利用零点满足的方程进行化简、代换，解决极值、最值或不等式证明问题 高端解题技巧，导数压轴题常用，考查代数整体代换与设而不求的思想，易错点在于隐零点范围确定及代换方向 知识点1. 核心思想：将方程根的问题转化为函数零点问题 原理：方程 的根 ⇔ 函数 的零点 ⇔ 函数 图像与 轴交点的横坐标。 一般步骤： 0. 构造函数 （通常将方程移项，令一边为0）。 0. 研究 的单调性、极值、最值、端点值/极限值。 0. 根据零点存在性定理及单调性，判断零点个数或位置。 知识点2. 零点存在性定理 内容：若 在 连续，且 ，则 内至少有一个零点。 注意：定理只保证存在，不保证唯一；唯一性需结合单调性。 知识点3. 利用导数确定零点个数的逻辑链 第1步：求导 ，确定 的单调区间。 第2步：计算每个单调区间端点的函数值（或极限值：， 间断点）。 第3步：对每个单调区间： 若区间两端点函数值异号 → 有且仅有一个零点。 若同号且非零 → 无零点。 若端点值为0 → 该端点为零点（注意边界是否包含）。 知识点4. 含参函数零点个数讨论（参数分离法 vs 直接讨论） 参数分离（优先考虑）： 将方程变形为 ，则原方程根的个数 ⇔ 水平线 与 图像交点个数。 研究 的单调性、极值、渐近线，画出草图。 直接讨论（参数不易分离时）： 对参数分类，分析 的极值符号及区间端点符号。 知识点5. 隐零点替换（设而不求） 适用场景：导数 是超越方程，无法显式解出零点 。 操作步骤： 0. 设隐零点 满足 。 0. 利用该关系式，将 、 等超越形式用代数式表示（如 或 等）。 0. 将 中的超越部分替换为代数式，从而判断 的符号。 核心技巧：整体代换，避免解出 的具体值。 知识点6. 常见隐零点模型与代换公式 导数方程形式 代换关系 用于化简 中的项 → 常用于证明不等式 两边指对互化，构造同构 如设 知识点7. 零点偏移与极值点偏移（高阶） 极值点偏移：若 ，且 ，则 （左偏或右偏）。 处理方法： 构造对称函数 ，研究其符号。 或利用对数平均不等式（指对混合型）。 与零点关系：极值点偏移问题本质是方程 的两个根的不等关系。 知识点8. 找“零点区间”的常用技巧 试探特殊点： 等，尤其当函数含 或 时。 放缩法：利用 ， 等放缩，证明端点值符号。 极限分析：， 时的行为（如 ， 等）。 题型一 零点存在性及讨论零点个数 解｜题｜技｜巧 先求函数定义域，再求导分析单调区间与极值。利用零点存在定理：若函数在区间端点异号且单调，则存在唯一零点。对于含参函数，需根据参数变化分类讨论极值点与区间端点函数值的符号，从而确定零点个数。常见思路：① 绘制导函数符号表，确定原函数图象走势；② 结合极限（如 、 或间断点附近）判断边界值；③ 极值点处函数值为零时可能为重根。 【典例1】（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数． (1)判断函数的零点个数； (2)若存在两个零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】求出导数，利用，得到极值点，分析判断出极值从而得到零点个数； 借助（1）的条件，得到的范围，证明，再变形为，借助，转为证明，进而构造即可，用导数求出单调性即可 【详解】（1）函数的定义域为，则，因为， 所以，故当，当，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 故函数的极大值， 而， 所以当时，，函数的零点个数为0个； 当时，，函数的零点个数为1个； 当时，，函数的零点个数为2个． （2）当时，由（1）知，存在两个零点，且． 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又因为：，，，所以，故． 设， 则，所以函数在区间上单调递增， 又，所以，即， 因为，则， 又，所以，而， 又在上单调递增，故：，所以． 综上，． 【典例2】（24-25高二下·广东茂名·期末）已知函数. (1)求的单调区间及最值； (2)设，讨论在区间上的零点个数. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，的最小值为，没有最大值. (2)答案见解析 【分析】（1）求导，判断的单调性求出最值； （2）由（1），可知在上递增，且，根据k的不同取值，分情况讨论，得解. 【详解】（1），令，解得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，取最小值为，没有最大值. 所以单调递减区间为，单调递增区间为，且的最小值为，没有最大值. （2），由（1），可知在上递增，而，. 根据k的不同取值，分情况讨论： ①当时，对于，由于，则恒成立，故没有零点. ②当时，由的单调性，可知存在唯一，使，故有唯一零点. ③当时，由，即恒成立，故没有零点. 综上，当时，在上没有零点. 当时，在上有1个零点. 【变式1】（25-26高二下·北京海淀·期中）设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 【答案】(1) (2)当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. (3)2个零点. 【分析】（1）求出导数，代入切点坐标，求出对应切点斜率，利用点斜式即可求出切线方程； （2）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间； （3）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数. 【详解】（1）若，则，则， 因为，所以曲线在处的切线方程为； （2），令，解得， 因为， 所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（2）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则， 所以， 因为，且 ，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点. 【变式2】（25-26高二下·安徽六安·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在上的最值； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； (3)证明见解析 【分析】（1）当时，可得的解析式，令，利用导数求出的单调性和边界值，可得，即在上恒成立，即可得的单调性，代入数据，即可得答案. （2）令，可得，令，则原题等价于讨论与的图象交点的个数，利用导数求出的单调性和极值，作出图象，数形结合，分析即可得答案. （3）分别分析和两种情况，利用导数求出函数的单调性和最值，综合分析，即可得证. 【详解】（1）当时，， 则 ， 令，则， 令，解得， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 又， ， 所以，即在上恒成立， 故在上单调递减， 则 ， . （2）因为，令，得，解得. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，，当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，在取得极大值也是最大值， 作出与的图象，如图所示： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为2. （3）证明：①当时，， 令 ，则， 因为，所以，而，即， 则，即，故在区间上单调递增， 则，即， 所以在区间上单调递增． 所以； ②当时，令，则， 所以单调递增，所以，即. 又因为， 令 ，则， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以．所以，即． 综上可得，． 【变式3】（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)设函数，当时，讨论零点的个数. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)当时，只有一个零点；当时，有两个零点. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）令，利用导数求得即可； （3）利用导数求得，令，利用导数求得，分、分别判断函数的零点即可. 【详解】（1）因为，所以切点为， 又因为， 所以， 所以在点处的切线方程：， 即； （2）令， 则， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 即， 所以； （3）， 所以， 令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 令， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以当时，， 此时只有一个零点； 当时，， 且趋于、时，趋于， 此时有两个零点； 综上，当时，只有一个零点；当时，有两个零点. 题型二 由零点个数求参数范围 解｜题｜技｜巧 将零点个数问题转化为函数图象与 轴交点个数问题。先研究函数不含参时的单调性与极值，再将参数视为影响函数上下平移或形状的因子。常用方法：① 分离参数，化为 ，则原函数零点个数等于直线 与曲线 的交点个数，通过分析 的值域与单调区间确定参数范围；② 直接构造函数，利用导数分析极值符号，通过极值等于零或与零比较列出不等式组。 【典例1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)在区间上有两个零点，求m的范围. 【答案】(1) (2)单调递增区间，，单调递减区间. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以. 所以在处的切线方程为：即. （2）因为. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在区间上有两个零点，即在上有两个解， 可得. 即的取值范围为： 【典例2】（2026·重庆·三模）设函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用导数求斜率，再结合切点坐标写出方程即可； （2）先通过导数分析单调性与极值，再结合函数两端趋势，通过极值与0的大小关系判断零点个数，最后结合零点存在的条件，确定参数的取值范围即可. 【详解】（1）当 时，函数为：， 所以， 所以曲线在点 处的切线斜率为： ， 所以，整理得切线方程：. （2）函数 的定义域为 ，， 当时，因为 ，所以 在   上恒成立， 故 在   上单调递增，此时 至多有1个零点，不符合题意； 当时，令 ，解得：， 当 时，，故 ， 单调递减， 当 时，，故 ， 单调递增， 因此， 在 处取得极小值（也是最小值）： 又，， 因此有两个零点当且仅当极小值小于零， 即，所以 ，所以. 综上，的取值范围是 【变式1】（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，转化问题为在上有解，进而求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由, 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. （2）由，， 则， 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，，令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 【变式2】（24-25高二下·甘肃天水·阶段检测）已知函数 (1)求的单调增区间； (2)方程有三个零点，求实数m的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，令导数大于0即可得到增区间； （2）问题转化为直线与的图象有三个交点，因此画出的图象，数形结合即可得到答案. 【详解】（1）的定义域为R， ， 当时，当时，； 故单调增区间为； （2）由（1）知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 的大致图象如图所示， 方程有三个零点等价于直线与的图象有三个交点， 由图可知时满足题意.    题型三 方程的根 解｜题｜技｜巧 方程 的根即函数 的零点。方法同题型01，但有时可将方程变形为 ，转化为两个函数图象的交点。注意根的个数、重根、以及根的范围估计。对于高次、指对混合方程，常需借助导数研究单调性，再结合特殊点函数值符号判断。 【典例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是； (2). 【分析】（1）对函数求导，利用导数的区间符号研究函数的单调区间； （2）问题化为与在上有交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【详解】（1）依题意，，， 由，得；由，得， 故函数的单调增区间是，单调减区间是； （2）原方程可化为，即，亦即， 若原方程在有实根，则与在上有交点， 因为，所以在上单调递增，又， 且时，且速度远远快于x，所以，所以， 所以要使与在上有交点，则， 综上，当时，关于x的方程在区间内有实根. 【典例2】（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)偶函数 (2) (3) 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数的运算性质可得； （2）由基本不等式可得； （3）求导后分析单调性，结合方程根的个数讨论分析可得. 【详解】（1）显然的定义域为，， ，为偶函数. （2），当且仅当时，取等号， ，所以的最小值为. （3），当时，，则在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 若仅一个实数根，则，                                  方程仅有两个不同的实数根，不合题意.                        所以应有两个不同的实数根， 即：方程和共有四个不同的实数根， 每个方程各有2个不同的实数根，所以，， 则，且，所以. 故的取值范围为. 【变式1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2) (3)． 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （2）求导，得到的单调性和最小值，得到，求出； （3）同构得到，设函数，则上式为，由单调性得到，令，，由（1）知函数的单调性和极值情况，从而得到，求出答案. 【详解】（1），，则， 当时，；当时，； 故在上递增，在上递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由有意义可得， 因为，令得，令得， 故在递减，在上递增， 故对于恒成立， 则； （3）由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则， 即， 设函数，则上式为， 因为在上单调递增，所以，即， 令，， 由（1）可知在上递增，在上递减， 的最大值为， 又因为，，，， 所以要想有两个根，只需要， 解得，所以的取值范围为． 【变式2】（24-25高二下·江苏·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) 在 和 上单调递增. (2)实数 的取值范围为 . 【分析】（1）利用导数进行研究即可； （2）分离参数后，构造函数，利用导数研究单调性和极限值进而即得. 【详解】（1）因为，该函数在 处未定义，因此定义域为 . 设 ，则 ，故 . . 分母（当 )，分子中 恒正. 令 ，则，当 时 ，当 时 ； ，且 ( ). 因此，分子 （ )，故 （ ). 从而 （). 综上， 在 和 上均单调递增. （2）由可得, 因 （)，两边除以 ：, 整理为：，即. 设，则方程为 ，需求 在 时有两个不同的根. 求导：，分母 （). 分子中：（当 )；当 ， ，当 ， . 所以，当，；当，；当，. 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取极小值，. 又， ； ， . 综上， 的值域为 ，且在 上由 递减至 ，在 上由 递增至 . 要使 有两个不同的实根，需 ，此时，在 和 上各有一根，且两根不同. 当 时，仅一根 ；当 时，无实根. 故实数 的取值范围为 . 题型四 图象交点 解｜题｜技｜巧 两函数 与 的交点个数等价于 的零点个数。常用技巧：① 作差后按零点问题处理；② 若两函数易于分离，分别作图，利用平移、旋转等几何直观，临界状态通常为相切（导数相等且函数值相等）。求参数范围时，可通过联立方程组消元后转化为一元方程根的分布。 【典例1】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知函数，. (1)若的图象在点处的切线方程为，求的值； (2)若在其定义域上不具有单调性，求实数的取值范围； (3)若与的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由导数的几何意义得出，将切点坐标代入函数解析式以及切线方程，即可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值； （2）求得，令，可知函数在上有异号零点，利用导数分析函数在上的单调性，计算得出，只需，由此可得出实数的取值范围，再结合函数极值点的定义验证即可； （3）令，则原方程可化为，结合函数单调性可知方程恰有个不同的实根，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1），，，则. ，，，. （2）由题可知的定义域为，. 令，其中，则函数在上有异号零点， 则对任意的恒成立，故函数在上单调递减， 因为，故只需即可， 即，由零点存在定理可知，存在，使得，即， 当时，，，即函数在上单调递增， 当时，，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点， 故当在其定义域上不具有单调性，的取值范围是. （3）若与的图象恰有两个不同的交点，则关于的方程恰有个不同的实根. ， 关于的方程即方程恰有个不同的实根. 设，方程恰有个不同的实根. 对任意的恒成立，是增函数， 方程，即恰有个不同的实根. 设，则的图象与直线恰有个交点，， 令，可得， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，， 又，当时，，当趋向于时，趋向于，如下图所示： 当时，的图象与直线恰有2个交点， 即实数的取值范围为. 【变式1】（25-26高二下·山东淄博·阶段检测）已知是函数的一个极值点． (1)求实数a的值； (2)若直线与函数的图象有3个交点，求实数b的取值范围． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）求导，根据极值点性质得，求得，并代回检验； （2）由（1）知的单调性，求出极值，由题意可得，介于极小值和极大值之间. 【详解】（1），因为是函数的一个极值点， 所以，即，解得， 当时，，， 则， 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的一个极值点，符合题意，所以. （2）由（1），在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 当时，，当时，， 若直线与函数的图象有3个交点，则， 所以实数的取值范围为. 【变式2】（24-25高三上·北京通州·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：当，曲线的切线不经过点； (3)当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求导，利用导数研究单调性即可； （2）将，利用导数求出切线方程，利用反证法证明即可； （3）将问题转化为在区间上有两个不同的解，即在区间上有两个不同的解，设，利用导数求解即可. 【详解】（1）当时，，的定义域为. ， 令，解得. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，，. 设曲线的切点为， 则切线方程为， 假设切线过原点，则有， 整理得：. 令，则. 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意，， 所以方程无解. 综上可知，曲线在点的切线不过原点. （3）曲线与直线在区间上有两个不同的交点， 等价于在区间上有两个不同的解， 即，在区间上有两个不同的解， 设，则， 令，解得， 又因为，所以， 当，，所以单调递增； 当，，所以单调递减； 所以， 当时，， 当时，， 要使在区间上有两个不同的解， 只需使即可. 所以实数a的取值范围是. 题型五 隐零点替换设而不求 解｜题｜技｜巧 当导函数零点无法用初等形式显式解出时，设该零点为 ，满足 。利用该等式进行代换（例如将 或 表示为其他形式），从而简化原函数表达式（如 ）。常用于证明与极值点有关的不等式或求参数的取值范围。操作步骤：① 求导，设隐零点 ；② 由 得到代换关系；③ 将目标式用 表示，并利用代换消去超越项，得到关于 的简单函数；④ 根据 的范围（通过零点存在定理确定大致区间）求值域或证明不等式。 【典例1】（24-25高二下·湖北襄阳·期末）已知函数，， (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得对应的单调性； （2）由题意恒成立，构造函数，只需利用导数求导的最小值即可得解. 【详解】（1）由已知， 当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增； 当时，由，得或， 当即时，在上单调递增， 当时，时，在上单调递减， 和时，在单调递增； 当时，时，在上单调递减， 和时，在上单调递增. 综上可得：①时，在单调递减，在上单调递增； ②时，在上单调递增； ③时，在上单调递减，在上单调递增； ④时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，若恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一的，使得， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则. 又因 设，则，易知在上单调递增， 所以，得故， 因此，故b的取值范围为. 【典例2】（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，求曲线过点的切线方程； (3)若存在三个不同的零点，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)或. (3)证明见解析 【分析】（1）分类讨论计算导数正负得出函数单调性； （2）先求出导函数，计算得出函数的切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （3）法一：设及零点再化简计算证明等式；法二：设零点得出，再化简证明；法三：设零点得出，再化简证明； 【详解】（1）， ①当时，， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）当，时，，则， 设切点为， 则切线的斜率， 所以切线方程为 又因为经过点， 所以， 即，整理得， 解得或， 所以过点的切线方程为或. （3）法一：若存在三个不同的零点， 则可设， 整理得， 所以. 因为，所以， 所以，可得. 法二：若存在三个不同的零点， 因为，可设，，， 则，，， 化简可得，， 两式相减可得， 所以， 所以，可得. 法三：若存在三个不同的零点， 则，，， 两两相减可得，， 因为，所以，， 两式相减可得， 所以， 因为，所以. 所以，可得. 【变式1】（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间即可. （2）通过导数及零点存在定理判断函数在上单调递减，在上单调递增，且，等式两边取对数并使用基本不等式证明即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 令 因为， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，注意到， 所以当时，； 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：， 即， 的定义域为， 且． 在上单调递增， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增， 又，当趋近于0时，， 根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点， 设该零点为．当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值． ，即， 两边同时取对数得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故当时，， 即． 【变式2】（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若存在唯一的极值且为极小值，求的取值范围； (3)设，若存在使得对恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，根据导数符号判断即可. （2）当时，分区间利用二阶导数讨论；当时，利用导数证明函数在内有极大值；综合（1）可得的取值范围. （3）解法一：利用隐零点方程消去，然后参变分离，构造函数，，利用导数求最小值可解； 解法二：构造函数，利用导数，分类讨论的最小值即可得解. 【详解】（1）当时，由，得， 又，则，，所以，即在单调递增， 故的单调增区间为，无单调减区间. （2）由（1）可知， 根据题意得：. （ⅰ）若， ①时，，，此时，故在无极值点． ②当时，令，得． 由，，，则，从而在单调递增． 又，， 由零点存在性定理可知，存在，使得． 从而当，，当，． 在单调递减，在单调递增， 所以是在上唯一的极值且为极小值，故符合题意． （ⅱ）若，， 令，，， 则． 令， 则，故在单调递增， 所以，即，所以在单调递增．    因为，时，，所以的值域为． 故当时，有唯一解， 且当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 此时在有唯一极大值点，不合题意，故舍去． 综上，． （3）解法一：由（2）可知，有且仅有一个极小值点， 故． 因为，所以， 由题意知，，可得， 即， 化简得，， 设，． 又 ． 因为，所以， 当时，，； 当时，，； 故在上单调递增，在上单调递减． 所以，此时，依题意，， 故的最大值是． 解法二：由得． 令， 则． 因为， 由（2）知，有且仅有一个极小值点，且． ①当时，．因为，所以． 又在上单调递减，在上单调递减．所以． 所以． ②当时，因为，所以． 又在上单调递减，所以． 此时． ③当时，因为，所以． 又在上单调递增．所以． 此时． 综上，当时，取得最大值， 依题意的最大值为． 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是函数的一个极值点. (1)求函数的单调区间； (2)若直线与函数的图象有3个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调增区间是，，单调减区间是 (2) 【分析】（1）由题意可得，可得，再利用导数分析函数的单调性； （2）结合函数的单调性及极值分析求解即可. 【详解】（1）由，， 则，所以，因此， 则， 则，. 当时，，当时，， 所以的单调增区间是，，的单调减区间是； （2）由（1）知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增， 且当或时，， 所以的极大值为，极小值为. 因为时，，时，，， 所以要使直线与函数的图象有3个交点， 则在的三个单调区间，，内， 直线与的图象各有一个交点，当且仅当， 因此，的取值范围为. 2．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为，的极大值为，的极小值为 (2). 【分析】（1）对进行求导，然后利用导数去求的单调区间和极值. （2）根据（1）大致作出的图象，由图象确定的取值范围. 【详解】（1），. 令，解得或. 递增 极大值 递减 极小值 递增 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. （2）由（1）可知的极大值为，的极小值为. 当，，作出的大致图象如下： 要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点， 由图象可得的取值范围为. 3．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知函数. (1)讨论单调性 (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点； 【答案】(1)时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导并因式分解得，以、、、分四类，比较极值点与的大小，逐一确定每种情况下函数的单调增减区间. （2）再分别对、、三种正数情形，代入特殊点函数值、化简极值表达式、分析时函数趋势，结合单调性判断零点数量，最终归纳得到时函数有且仅有一个零点. 【详解】（1）函数的定义域为. 求导得. 令，得或，分情况讨论： 当即时，恒成立. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当且即且时，方程的解为. ①若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. ②若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当即时，，恒成立，在上单调递增. 综上所述：时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. （2）①当时，，由， 及函数单调递增，可得函数有且仅有一个零点. ②当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由，可得.当时，，可得函数有且仅有一个零点. ③当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由 又由，当时，，可得函数有且仅有一个零点， 综上所述，当时，函数有且仅有一个零点. 期末综合拓展练（测试时间：50分钟） 4．（2026·山东济南·三模）已知函数． (1)设函数，求的最小值； (2)对任意，都有，求k的取值范围； (3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可知，，求导，利用导数分析单调性和最值； （2）参变分离可得，，令，，利用导数分析的单调性和最值，即可得结果； （3）参变分离可得对任意，与在内有且仅有1个交点，可知在内单调递增，求导，结合（1）中结论分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，，则， 可知在内单调递增，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为. （2）若，，可得， 原题意等价于在内恒成立， 令，，则， 令，，则， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，可知在内单调递增， 则，可得，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数k的取值范围为. （3）令，，则， 原题意等价于对任意，与在内有且仅有1个交点， 则在内的值域为，且为单调函数， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知在内单调递增， 则在内恒成立， 可得，即在内恒成立， 因为， 由（1）可知：当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 可得，即， 所以实数m的取值范围为. 5．（2026·云南·模拟预测）设函数（）． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求证：； (3)关于的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)不可能有三个不同的实根，证明见解析 【分析】（1）对函数求导，根据已知切线方程列方程求参数值； （2）问题化为证明，构造函数并应用导数证明不等式即可； （3）问题化为证明在上至多有一个实根，导数研究在上的零点个数即可. 【详解】（1）由题设，且， 又点在切线上，所以，则， 又切线斜率为2，所以，故； （2）要证， 即证， 即证时，， 即证， 令，则， 故在上单调递增，， 故； （3）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令，． 如果有三个不同的实根， 则至少要有三个单调区间， 则至少有两个不等实根， 只要证明在上至多有一个实根即可． ， 令，则， 当时，，， ， 在上单调递增， 在上至多有一个实根； 当时，由（2）得， ∵当时，， ， 在上没有实根． 综上所述，在上至多有一个实根， 所以不可能有三个不同的实根得证. 6．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知函数 (1)当时，求证:； (2)若在处取得极大值，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程 有两个不同实根，写出实数的取值范围 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用导数分析函数单调性，进而求解证明最值； （2）求导，对参数进行分类讨论，进而结合函数单调性和极值确定的取值范围； （3）将方程解的问题转化为函数零点问题，构造函数，结合导数和零点存在定理求解. 【详解】（1）证明：当时，，求导得：， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此的最大值为，故，得证. （2）对求导并因式分解得：， 若：恒成立，时，时， 处取极大值，符合要求； 若：，时，时， 处取极大值，符合要求； 若：，单调递增，无极值，不符合； 若：，时，时， 处取极小值，不符合. 综上，的取值范围为： （3）整理方程，代入化简得：. 设，则有两个不同零点，， 若：，单调递增，最多1个零点，不符合； 若：令得，在递增，递减， 最大值为. 要存在两个零点，需最大值大于，即，得， 即，且和时，故有两个零点， 综上，的取值范围为：. 7．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知函数． (1)求证：； (2)设函数． ①若时，函数单调递增，求的取值范围； ②若函数无零点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而求得的最大值，证得； （2）①根据当时，函数单调递增，可得在上恒成立，分离参数，得在上恒成立；构造函数， 利用导数分析函数的最值，可得的取值范围；②分三种情况讨论，函数的取值情况，求出无零点时对应的的取值范围，综合各种情况可得函数无零点时，的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以； （2）函数的定义域为， . ①若时，函数单调递增，则在上恒成立， 因为，所以，即在上恒成立. 令，则恒成立， 所以是增函数，所以. 所以的取值范围是； ②当时，，所以在定义域上无零点； 当时，， 若，则，； 若，则，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 若函数无零点，则，所以. 当时，由，得； 又，所以恒成立，无零点. 综上所述，的取值范围是. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $