期末培优：利用三角函数、基本不等式求解三角形中的最值与范围问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末培优：利用三角函数、基本不等式求解三角形中的最值与范围问题复习讲义 期末培优：利用三角函数、基本不等式求解三角形中的最值与范围问题复习讲义 考点目录 利用三角函数求解三角形中的最值与范围问题 利用基本不等式求解三角形中的最值与范围问题 考点一 利用三角函数求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 依托正弦定理实现边全部转化为角，统一变量为内角； 1. 内角约束：，，可消元只剩单一自变量； 1. 三角恒等变形化为 标准型，借助正弦函数值域与区间单调性求最值范围； 1. 周长、边长、面积均可全部转化为三角函数表达式。 二、解题步骤 1. 梳理已知条件（定边/定角/定外接圆半径 ）； 1. 由正弦定理 ，把边长替换为正弦形式； 1. 利用 消去多余角，只保留一个自变量角； 1. 和差、二倍角、辅助角公式化简成单一正弦型函数； 1. 根据三角形内角限制，写出自变量精确取值区间； 1. 根据三角函数在区间内的单调性求出最大、最小值，得到边长/周长/面积范围。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图，已知中，，，，，为线段上两点，且.    (1)若，求的值； (2)设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值； (3)若，求的值. 例2．（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 例3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，. (1)求角B； (2)若的面积为，求的值； (3)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 变式2．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）记三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为S． 已知． (1)求； (2)若，点是线段的中点，求线段的最大值． 变式3．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 依托余弦定理建立两边乘积、平方和等式：； 1. 核心均值不等式：，当且仅当 （等腰）取等； 1. 周长、面积公式 ，通过约束 的最值间接求出整体最值； 1. 适用于已知一条边及其对角的题型，快速求乘积 上限。 二、解题步骤 1. 锁定固定边 与对角 ，写出余弦定理等式； 1. 代入 对式子放缩，解出 的最大值； 1. 求面积最值：把 最值代入 ； 1. 求周长最值：周长 ，先求 范围；利用 结合不等式放缩求 上限； 1. 验证取等条件 符合三角形内角要求； 1. 下限依靠三角形三边关系、内角范围约束得到。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏泰州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 例2．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 例3．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 【变式训练】 变式1．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 变式2．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 变式3．（25-26高一下·陕西商洛·期中）已知的三个内角所对的边分别为． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的值； (3)若恒成立，求实数的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：利用三角函数、基本不等式求解三角形中的最值与范围问题复习讲义 期末培优：利用三角函数、基本不等式求解三角形中的最值与范围问题复习讲义 考点目录 利用三角函数求解三角形中的最值与范围问题 利用基本不等式求解三角形中的最值与范围问题 考点一 利用三角函数求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 依托正弦定理实现边全部转化为角，统一变量为内角； 1. 内角约束：，，可消元只剩单一自变量； 1. 三角恒等变形化为 标准型，借助正弦函数值域与区间单调性求最值范围； 1. 周长、边长、面积均可全部转化为三角函数表达式。 二、解题步骤 1. 梳理已知条件（定边/定角/定外接圆半径 ）； 1. 由正弦定理 ，把边长替换为正弦形式； 1. 利用 消去多余角，只保留一个自变量角； 1. 和差、二倍角、辅助角公式化简成单一正弦型函数； 1. 根据三角形内角限制，写出自变量精确取值区间； 1. 根据三角函数在区间内的单调性求出最大、最小值，得到边长/周长/面积范围。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图，已知中，，，，，为线段上两点，且.    (1)若，求的值； (2)设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，，，结合数量积的定义运算求解； （2）由正弦定理可得，，根据面积公式结合三角恒等变换可得，进而分析最值； （3）由正弦定理可得，，代入运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，，， 若，则，，可得， 所以. （2）若，则，，， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 则， 可得的面积 ， 因为，则， 当，即时，取到最大值. （3）设，由（2）可得：，，， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，由正弦定理可得， 则， 若，则， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的值为. 例2．（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，再利用三角函数的性质求出的范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 例3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，. (1)求角B； (2)若的面积为，求的值； (3)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理把边化角求解； （2）由余弦定理和三角形面积公式求解； （3）把三角形的面积转化为角A表示的函数，再三角函数的值域. 【详解】（1）由正弦定理得， 由及，得， 即， 因为， 所以， 所以，因为,， 所以，所以， 因为，所以； （2）由余弦定理得，即，所以. 又的面积为，所以. 所以，所以； （3）由（1）知，，则， 所以，，所以 由，得， 所以，所以，所以， 所以面积的取值范围是. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换求得. （2）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得周长的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. （2）由，，，得. ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 变式2．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）记三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为S． 已知． (1)求； (2)若，点是线段的中点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理，推得，结合内角范围，即可求得角； （2）由余弦定理可得，由平方结合向量数量积运算，得，利用正弦定理结合三角恒等变换求得的范围，进而求得答案. 【详解】（1）由，则， 化简得，又，故. （2）由余弦定理可得，即， 又， 所以 ， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，则，所以， 所以，所以，所以线段最大值为. 变式3．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和差的正切公式展开化简即可求解； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到，再结合正弦定理边化角，辅助角公式，转换成三角函数求值域即可. 【详解】（1） 且， ，整理得 即． 或． ，， ．，． （2） 由余弦定理可得， 即． ，即． ， 由正弦定理可得， 则 ， ，． 考点二 利用基本不等式求解三角形中的最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 依托余弦定理建立两边乘积、平方和等式：； 1. 核心均值不等式：，当且仅当 （等腰）取等； 1. 周长、面积公式 ，通过约束 的最值间接求出整体最值； 1. 适用于已知一条边及其对角的题型，快速求乘积 上限。 二、解题步骤 1. 锁定固定边 与对角 ，写出余弦定理等式； 1. 代入 对式子放缩，解出 的最大值； 1. 求面积最值：把 最值代入 ； 1. 求周长最值：周长 ，先求 范围；利用 结合不等式放缩求 上限； 1. 验证取等条件 符合三角形内角要求； 1. 下限依靠三角形三边关系、内角范围约束得到。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏泰州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量共线的坐标运算可得，再根据正弦定理化简即可得出答案； （2）应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）在中，， ∵与共线，∴， 由正弦定理可得 ∴， ∴， ∵，∴，又，所以； （2）由（1）知，又，由余弦定理， 得， 即，因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，则， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，， 所以，设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形， 所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 例2．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的坐标运算及三角恒等变换公式可得，进而可得最小正周期； （2）先由条件可得，再由余弦定理及基本不等式可得，再由三角形面积公式可得面积的最大值. 【详解】（1）因为向量，， 所以 所以函数的最小正周期． （2）由得：，． 因为，所以，因此，解得． 由余弦定理得：， 因为，所以，即（当且仅当时等号成立）． 将代入得：. 所以的面积：， 当且仅当时，面积的最大值为． 例3．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解； （3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解. 【详解】（1），由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. （2）由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． （3）由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 【变式训练】 变式1．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1)解析式为；最小正周期为 (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标形式，二倍角公式，及辅助角公式即可得到的解析式，进而得到最小正周期； （2）结合（1）及题意得到的值，再根据余弦定理，均值不等式得到取值范围，进而得到周长的最大值． 【详解】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 变式2．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得,再由基本不等式可得最大值. 【详解】（1）因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. （2）因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 变式3．（25-26高一下·陕西商洛·期中）已知的三个内角所对的边分别为． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的值； (3)若恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求解即可； （2）由余弦定理结合三角形面积公式求解即可； （3）分离参数，转变为，利用均值不等式求出最值，即可求出实数的最小值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得． 在中，， 所以，可得， 因为，所以， 又，可得． （2）由，解得， 由余弦定理得， 所以，故． （3）由恒成立，即， 由， 原不等式可化为， 由，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 要使恒成立，则即可， 从而实数的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $