第02讲 平面向量取值范围及最值求解问题（6大重难点题型）期末讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

第02讲 平面向量取值范围及最值求解问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、平面向量范围与最值问题常用方法 3 03 重难点题型 5 题型一：利用定义求解 5 题型二：建立坐标求解 7 题型三：选取基底求解 11 题型四：结合几何意义求解 15 题型五：极化恒等式法 18 题型六：等和线法 20 04 过关检测 25 知识点一、平面向量范围与最值问题常用方法 1、定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2、坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 4、几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 5、极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 6、等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 题型一：利用定义求解 例1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知，都是单位向量，则的最大值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】设，的夹角为， 则， 因，则当且仅当，即时，取得最大值9， 故的最大值为3. 例2．（25-26高一下·山西晋中·期中）已知平面向量，，，且，，若向量与向量所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】因为，，向量与向量所成的角为， 所以， 即， 所以， 当且仅当与共线方向相反时等号成立. 例3．（多选题）（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对于A，由正八边形的结构特征可知：， 则，所以， 所以，故A正确； 对于B，由正八边形的结构特征可知，当点在边上时（不包含两点）， 的夹角为锐角，此时； 当点在上时，设，则， 则， 当时，取得最小值， 综上所述，的最小值为，故B正确； 对于C，由题意可知，当点在边上时，在方向上的投影最大， 最大值为， 根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误； 对于D，设，则，因， 所以 ， 所以， 于是，故D正确. 变式1．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）设是单位向量，且，则的范围为_______ 【答案】 【解析】由可得，， 即， 从而， 又是单位向量，所以， 设，， 则 ， 当与同向时，取得最小值， 当与反向时，取得最大值， 故答案为：. 题型二：建立坐标求解 例4．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，，点在所在平面内且满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为，所以点为外接圆的圆心， 设，如图， 则，得，所以， ， 以的中点为原点，建立如图平面直角坐标系， 则，设， 由，得，所以， 所以，所以，且， 则， 所以，又在圆上， 设为参数），则， 所以，得， 即的最大值为2. 故选：C 例5．（25-26高一下·四川资阳·期中）边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________. 【答案】 【解析】如图，分别以,为建立平面直角坐标系，则， 设，则，， 当在边或边上时，， 所以， 当在边上时，，， 当在边上时，，， 所以的取值范围为， 例6．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，，点在所在平面内且满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为，所以点为外接圆的圆心， 设，如图， 则，得，所以， ， 以的中点为原点，建立如图平面直角坐标系， 则，设， 由，得，所以， 所以，所以，且， 则， 所以，又在圆上， 设为参数），则， 所以，得， 即的最大值为2. 故选：C 变式2．（25-26高一下·浙江台州·期中）如图，在梯形中，，点分别在线段上运动且，求的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，设，如图： 则，， 所以，， ， 当时， 变式3．（多选题）（25-26高一下·江西南昌·期中）四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D），则（    ） A． B．当时，为CD中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】以为原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如下图所示 因为四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D）， 所以，设， 选项A：，所以； 选项B：， 当时，可得，解得，即为CD中点； 选项C：，则， 所以，当时，的最小值为2； 选项D：当或1时，的最大值为. 题型三：选取基底求解 例7．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则_____________（用，表示）；已知，，，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】第一空： 是中点，故， 是中点，故， 是中点，故， 将、代入可得： ， ， ， ， . 第二空： 由，得：， ， ， 又，， 在中由余弦定理： ， 即， 即，即， 又， 将与， ， 又， 解得 ，当且仅当时取等号， 则， 故. 例8．（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：, , 当且仅当时，. 例9．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】如图，连结接并延长交于点， 由可知，点是的重心，则点是的中点， ， 因为点三点共线，所以，即， 则， 当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 变式4．（25-26高一下·浙江·期中）平面向量，，满足与的夹角为，，.当最大时，的最大值是______. 【答案】 【解析】设，，因为 ， 所以两式子相除可得， 而， 由基本不等式得， 则，解得，， 当且仅当，时，取到最大值2. 由题意得， 若最大化，当且仅当同号时， 最大，且变为， 由向量数量积的性质得， 又，当且仅当时，等号取得， 此时， 则，故取最大值. 题型四：结合几何意义求解 例10．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图，是以为直径的圆上的动点，已知，则的最大值是__________. 【答案】2 【解析】如图，先将视为定点，设，则， 连接，则， 过作的平行线交圆于，交于，且为垂足， 又知当在同侧时，取最大值， 设在的投影为， 当确定时，为定点，则当落在处时，最大， 由向量的几何意义可知，=，最大时为， 又,， ∴最大为 ,当且仅当时等号成立，即， ∴的最大值为2. 例11．（多选题）（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【答案】AC 【解析】 因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误； 当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确； 若，则，与矛盾，所以，故D错误； 故选：AC. 例12．（多选题）（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点，是外接圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B． C． D．当取最大值时，、、三点共线 【答案】ABC 【解析】对于A，因为的边长为，外接圆的半径，所以的最大值为，故A正确； 对于B，由题意知，所以 ，故B正确； 对于C，等边三角形的外接圆圆心也是重心，所以， 所以，故C正确； 对于D，当取最大值时，点是圆的最右边的点， 即过点O的水平线与圆在右侧的交点，此时在上的投影向量的模最大， 显然不满足、、三点共线，故D错误. 变式5．（25-26高一下·江西南昌·期中）在中，，点在所在平面内，对任意，都有恒成立，且，则的最大值为___________． 【答案】/ 【解析】 对任意，都有恒成立，如图可设， 则， 即表示点到直线上任意一点的距离最小值就是, 可得,再设，取中点为， 因为，所以可得，即， 又因为，所以， 由于同时满足，，则的最大值就只有一种情形， 即点在的下方，如图： 此时，, 不妨设， 则 显然当时，， 故的最大值. 题型五：极化恒等式法 例13．（25-26高一下·广东江门·期中）如下图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则的最小值为（     ） A．24 B． C．30 D．20 【答案】A 【解析】设中点为，连接， 因为， 所以， 所以， 所以的轨迹是以为圆心，1为半径的一段圆弧， 连接， 则, 所以， 所以 因为, 所以. 例14．（23-24高一下·湖南长沙·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为______． 【答案】 【解析】取中点为， 则 ， 其中易得，故． 故答案为：. 例15．（23-24高一下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点为，连接，显然， 所以 . 故选：A 题型六：等和线法 例16．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是__________. 【答案】 【解析】如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：， 又因为，，则点为中点， 又是的中点，所以，则点在上， 由图形看出，当与重合时：，此时取最小值， 当与重合时：，此时取最大值， 所以的范围是 故答案为： 例17．（多选题）（25-26高一下·海南海口·期中）已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（    ） A．当位于点时，的值最大 B．当位于点时，的值最小 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】BCD 【解析】我们通过建立平面直角坐标系求将放在原点，在轴上， 则，设， 由解得：， 因此， 选项A，的最大值为，在，在弧中点时取得最大值， A错误； 选项B，的最小值为，在即在点和即在点都取得，因此位于点时，确实取最小值， B正确； 选项C，， 因为，所以， C正确； 选项D，， 最大值为，因此最大值为， D正确. 例18．（多选题）（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A，当是线段的中点时， ， 所以，故A正确， 对于B，当时，如图1，取线段，的中点，分别记为， 则平行于， 延长与直线交于点，则， 所以，则， 又点在平行四边形内(含边界)，所以点的轨迹为线段， 当点与重合时，， 当点与重合时，， 所以．故B不正确， 对于C，当为定值2时，， 令，可得三点共线， 分别取线段的中点，如图2，记为， 所以，即， 连接交于点，因为，且，则， 所以点的轨迹是线段，故C正确． 对于D，由于平行四边形所在区域在的左上方，且三点共线， 所以，则，所以， 即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确． 变式6．（多选题）（25-26高一下·重庆·期中）如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上（包含点）的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为2 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A：因为是的中点，所以即所以A正确； 对于B：因为是边长为2的等边三角形，所以， 因为为的中点，所以，， ，所以B错误； 对于 C：因为所以 而点在以为直径所在圆的右半圆弧上运动， 所以的最大值为故C正确； 对于 D：因为，， 所以， 因为， 所以 ， ，所以， 又因为, 所以，解得， 所以的最大值为故D正确. 1．（24-25高一下·广东佛山·期中）折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为______. 【答案】 【解析】以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， ， 因此 ， 而，则，， 所以的范围为. 故答案为： 2．（25-26高一下·北京·期中）如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 【答案】 3 / 【解析】 如图所示，取中点，连接， 因为四边形是菱形，，， 所以，所以可得是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理可得 ， 所以，所以； 如图所示，取中点，连接，交半圆于点， 则，. 所以 ， 因为，所以当，即点与点重合时， 取到最大值1，此时取到最大值. 3．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】连接，取的中点，连接，由题意知，所以， 则． 易知当点与点重合时，取得最大值，且， 故由正方形的性质知， 所以的最大值为． 4．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知向量，满足，且，则的最大值是________． 【答案】4 【解析】因为，所以，即，① 又，即，② 所以，③ 又由①②可得，解得，代入③可得， 所以的最大值是4. 5．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为_________. 【答案】 【解析】以为原点，以、为轴、轴建立平面直角坐标系， 则，，，，. 设，则，. 所以. 所以当在五边形上移动纵坐标最大时，取最大值. 易知，当点与点重合时，点纵坐标最大，此时， 因此的最大值为. 6．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知点均位于单位圆上，弦长，点为弦的中点，当点在圆上运动时，则向量的最大值为__________． 【答案】 【解析】 已知点均位于单位圆上，则， ， 由可得，， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立坐标系， 则，设点， 已知点为弦的中点，则， ，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为． 7．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量，平面向量满足，的最大值和最小值分别为，则的值是______ 【答案】2 【解析】 如图所示，设， 由，则点在以为圆心，以为半径的圆周上， 因为，且，可知 即，所以点在的垂直平分线上， 可知，所以，即， 所以点在以为直径的圆上，所以. 8．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在中，∠BAC＝，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是______ 【答案】/ 【解析】由，可得， 所以． 由，可得． 因为P为CD上一点，所以设，， 则， 因为，所以，解得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 9．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，点P，Q分别是矩形的边，上的两点，，. (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； 【解析】（1）由，，故，， 则， ， 由，故； （2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 设，， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为. 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)若在仿射坐标系下，设，若对恒成立，求的范围及的最大值． 【解析】（1）因为，则，又， 则． （2）不正确，理由如下， 因为，则，又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的． （3）因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又，所以，解得， 因为，所以满足题意， 所以， 又，所以，则的最大值为． 11．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”．设，分别为正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”． (1)若向量的“完美坐标”为，求； (2)已知向量，的“完美坐标”分别为，． ①若，，求出，的完美坐标； ②若，求的范围． 【解析】（1）因为向量的“完美坐标”为，所以， 所以 ； （2）①向量，的“完美坐标”分别为，． 所以，， 若，则存在实数，使， 即， 所以，所以， 又，所以，所以 所以，， 所以的坐标为，的坐标为； ② ， 因为，所以，所以时，取最大值， 当时，取最小值，所以的范围为． 12．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图示，矩形中，点，分别是边，上的两点，，． (1)设，，，求的范围； (2)若，求的最小值； (3)若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由，，且，， 故，， 所以 由，故 （2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 设，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为. （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，即 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为0，此时不可能最大，故 则 当且仅当，即时，等号成立， 即存在一点，使得最大，且此时. 13．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． 【解析】（1）由，可得，所以， 可得， 所以； （2）， 又， 所以； （3）设边的中点为，连接， ， 由余弦定理可得， 到的距离为，所以， 所以. 14．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知 (1)若，求实数的值. (2)已知向量的夹角为钝角，求实数的范围. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以，解得； （2）根据题意，向量与的夹角为钝角，则有. 解得：且， 即的取值范围为且. 15．（23-24高一下·山东青岛·月考）在中，为的中点，在边上，交于，且，设． (1)用表示； (2)，求； (3)若在上，且设，若，求的范围． 【解析】（1）因P,R,C共线，则存在使， 则，整理得. 由共线，则存在使， 则，整理得. 根据平面向量基本定理，有， 则. （2）由（1），，， 则，，. 则， 所以. （3）由（1）知，则. 由共线，设. 又. 则 . 因，则，则， 所以. 16．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，，，为中点，设，. (1)当，时，若，求边的长； (2)当，时，与相交于点，设，求实数的值； (3)若，且，求的最大值. 【解析】（1）当，时，，， 因为为中点，所以， 所以， ， 因为，且，， 所以 ， 即，解得，即； （2）当，时，由（1）知，， 所以， 因为，，三点共线，所以，解得； （3）因为， ， 由知： ， 化简整理得：， 因为，所以， 解得，即， 当且仅当时取等号，此时，符合题意， 所以的最大值为. 17．（25-26高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. (1)分别根据下列已知条件求； ①，； ②，； (2)记，，，且满足，，，求的最大值. 【解析】（1）①因为，，则； ②由，，即共线，所以. （2）设，由，得或， 当时， ， 当时，取得最大值； 当时， ， 当，即时，取得最大值， 所以取得最大值. 18．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上且，点是内（含边界）的动点，设. (1)当在边上运动，若时会使，求的值. (2)若在线段上运动时，求证：. (3)求的最大值. 【解析】（1）由题意，，，. 当在边上运动，由， 所以，. 由， 所以 即. （2）由， 即， 因为点在线段上运动，所以，且， 所以，即. （3）由（2）得，当点在线段上运动时，； 当点在线段上运动时，，其中，，所以； 当点在线段上运动时，因为三点共线， 可设，. 所以，，所以； 当点与点重合时，，此时. 所以的最大值为. 19．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 【解析】（1）因为，所以，所以， 又，且与不共线，由平面向量基本定理得，. （2）①因为，，三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. 因为与不共线，所以，解得，. ②由①可知，，且，， 所以， 因为，，三点共线，所以，且，， 所以 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 20．（25-26高一下·上海·期中）如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 【解析】（1）因为，且，所以， 则. （2）因为，所以， 又因为，，三点共线，所以，解得. （3）因为，，，所以，，， 设， 则， ， 所以 ， 因为，所以当时，的最小值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平面向量取值范围及最值求解问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一、平面向量范围与最值问题常用方法 3 03 重难点题型 5 题型一：利用定义求解 5 题型二：建立坐标求解 5 题型三：选取基底求解 6 题型四：结合几何意义求解 7 题型五：极化恒等式法 7 题型六：等和线法 8 04 过关检测 11 知识点一、平面向量范围与最值问题常用方法 1、定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2、坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 4、几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 5、极化恒等式 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 6、等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 题型一：利用定义求解 例1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知，都是单位向量，则的最大值为（   ） A．1 B． C．3 D． 例2．（25-26高一下·山西晋中·期中）已知平面向量，，，且，，若向量与向量所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 例3．（多选题）（25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 变式1．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）设是单位向量，且，则的范围为_______ 题型二：建立坐标求解 例4．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，，点在所在平面内且满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 例5．（25-26高一下·四川资阳·期中）边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________. 例6．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，，点在所在平面内且满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 变式2．（25-26高一下·浙江台州·期中）如图，在梯形中，，点分别在线段上运动且，求的最大值（    ） A． B． C． D． 变式3．（多选题）（25-26高一下·江西南昌·期中）四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D），则（    ） A． B．当时，为CD中点 C．的最小值为 D．的最大值为 题型三：选取基底求解 例7．（25-26高一下·重庆·期中）如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则_____________（用，表示）；已知，，，则的最大值为_________． 例8．（25-26高一下·浙江·期中）已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例9．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 变式4．（25-26高一下·浙江·期中）平面向量，，满足与的夹角为，，.当最大时，的最大值是______. 题型四：结合几何意义求解 例10．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图，是以为直径的圆上的动点，已知，则的最大值是__________. 例11．（多选题）（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 例12．（多选题）（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点，是外接圆上一点，则（   ） A．的最大值为4 B． C． D．当取最大值时，、、三点共线 变式5．（25-26高一下·江西南昌·期中）在中，，点在所在平面内，对任意，都有恒成立，且，则的最大值为___________． 题型五：极化恒等式法 例13．（25-26高一下·广东江门·期中）如下图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则的最小值为（     ） A．24 B． C．30 D．20 例14．（23-24高一下·湖南长沙·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知为弧（含端点）上的一点，则的范围为______． 例15．（23-24高一下·山东日照·期末）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 题型六：等和线法 例16．（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是__________. 例17．（多选题）（25-26高一下·海南海口·期中）已知扇形的半径为，点在弧上运动，，下列说法正确的有（    ） A．当位于点时，的值最大 B．当位于点时，的值最小 C．的取值范围为 D．的最大值为 例18．（多选题）（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 变式6．（多选题）（25-26高一下·重庆·期中）如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上（包含点）的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为2 D．若，则的最大值为 1．（24-25高一下·广东佛山·期中）折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为______. 2．（25-26高一下·北京·期中）如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 3．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 4．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知向量，满足，且，则的最大值是________． 5．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，是等边三角形，为五边形边上的动点（含端点），则的最大值为_________. 6．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知点均位于单位圆上，弦长，点为弦的中点，当点在圆上运动时，则向量的最大值为__________． 7．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量，平面向量满足，的最大值和最小值分别为，则的值是______ 8．（25-26高一下·山东青岛·期中）如图，在中，∠BAC＝，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是______ 9．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，点P，Q分别是矩形的边，上的两点，，. (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)若在仿射坐标系下，设，若对恒成立，求的范围及的最大值． 11．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”．设，分别为正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”． (1)若向量的“完美坐标”为，求； (2)已知向量，的“完美坐标”分别为，． ①若，，求出，的完美坐标； ②若，求的范围． 12．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图示，矩形中，点，分别是边，上的两点，，． (1)设，，，求的范围； (2)若，求的最小值； (3)若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由． 13．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． 14．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知 (1)若，求实数的值. (2)已知向量的夹角为钝角，求实数的范围. 15．（23-24高一下·山东青岛·月考）在中，为的中点，在边上，交于，且，设． (1)用表示； (2)，求； (3)若在上，且设，若，求的范围． 16．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，，，为中点，设，. (1)当，时，若，求边的长； (2)当，时，与相交于点，设，求实数的值； (3)若，且，求的最大值. 17．（25-26高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. (1)分别根据下列已知条件求； ①，； ②，； (2)记，，，且满足，，，求的最大值. 18．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上且，点是内（含边界）的动点，设. (1)当在边上运动，若时会使，求的值. (2)若在线段上运动时，求证：. (3)求的最大值. 19．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. (1)若，求实数，的值； (2)若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 20．（25-26高一下·上海·期中）如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $