第08讲 立体几何范围与最值问题全解（6题型）（讲义）-2025-2026学年高一下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（人教A版）

第08讲 立体几何范围与最值问题全解 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一：核心解题3大方法 3 1、几何法（优先用，最快） 3 2、函数解析式法（最通用） 3 3、均值不等式（多面体体积、表面积） 3 03 重难点题型 4 题型一：空间几何体截面分析 4 题型二：平面截面周长与面积计算 4 题型三：多面体、旋转体体积求解 5 题型四：空间线段长度求值 6 题型五：折线段之和最值问题 7 题型六：空间各类夹角计算 8 04 过关检测 11 知识点一：核心解题3大方法 1、几何法（优先用，最快） 利用空间几何特征：垂线段最短、球面距离、翻折定点定轨迹、圆锥母线、截面极限位置． 点到直线／平面：垂线段最小； 异面直线距离：公垂线段最短； 动点在球面：定点到球面距离（定点到球心，球半径）． 2、函数解析式法（最通用） 设变量，把所求量写成一元／二元函数，转化函数值域． 常见变量：线面夹角、棱长、旋转角． 3、均值不等式（多面体体积、表面积） ，定值求最值。 题型一：空间几何体截面分析 例1．如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（    ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，为定值 D．不为定值，不为定值 例2．（2026·高一·浙江·期中）已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 例3．（2026·高一·浙江温州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 题型二：平面截面周长与面积计算 例4．（2026·高一·福建泉州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（   ） A． B．5 C． D．10 例5．（2026·高一·福建龙岩·期中）已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q分别是侧棱，的中点，经过P，Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 例6．（2026·高一·辽宁·期末）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型三：多面体、旋转体体积求解 例7．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 例8．（2026·高三·江西赣州·期末）已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面当该球的体积最小时，四面体 ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 例9．（2026·高二·湖南长沙·开学考试）已知三棱锥的底面是以为斜边的直角三角形，平面且，设三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球体积与之比的最小值是_____. 题型四：空间线段长度求值 例10．（多选题）（2026·高一·安徽宿州·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形边界及内部一动点，且满足平面，则（     ） A．动点的轨迹长度为2 B．三棱锥的外接球表面积为 C．直线与直线所成角余弦值的最小值为 D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 例11．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在三棱柱中，，点在平面的射影为点，若点在平面上运动，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 例12．（2026·高二·安徽安庆·期中）在三棱锥中，已知，平面，，点是棱上的动点，点是平面内的动点，，点为中点，则点到平面距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·高一·山东临沂·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，外接球的球心为，若点S是正四棱锥的表面上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 变式4．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（    ） A．勒洛四面体最大的截面是正三角形 B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为 C．勒洛四面体的体积是 D．勒洛四面体内切球的半径是 题型五：折线段之和最值问题 例13．（2026·广东广州·一模）在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 例14．（2026·高一·北京·期中）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例15．（2026·高一·重庆渝北·期中）直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 变式5．（2026·高一·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高一·河北保定·期中）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（    ） A． B． C． D． 题型六：空间各类夹角计算 例16．（2026·高一·吉林白山·期末）在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 例17．（2026·四川内江·三模）如图，在四棱柱中，底面为正方形，底面，，､分别是棱､上的动点，且，则下列结论中正确的是（    ） A．直线与直线可能异面 B．三棱锥的体积保持不变 C．直线与直线所成角的大小与点的位置有关 D．直线与直线所成角的最大值为 例18．（2026·高一·广东广州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中， ①平面EFG ②平面平面 ③所有点P在直线上 ④BP与所成的角为，则的最小值是 正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式7．如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（ ） A．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C．直线SD与AB所成角的最小值为30° D．直线SD与AB所成角的最大值为60° 变式8．（2026·高二·浙江嘉兴·阶段检测）已知在边长为的正方体中，分别为上的动点，且.当的体积取最大值时，平面与平面的夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 1．（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 2．（2026·高一·山东枣庄·期中）已知圆锥的底面半径为4，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．1 B．12 C． D．48 3．（2026·高一·浙江宁波·期中）如图，AB、CD是圆台的两条母线，若圆台的高为，上底面半径为3，下底面半径为6，则截面ABDC面积的最大值为（   ） A． B． C．18 D．24 4．（2026·高三·黑龙江大庆·阶段检测）已知直四棱柱的底面为矩形，，且该棱柱外接球的表面积为，为线段上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·河南·期中）如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（    ） A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为 C．为定值 D．不确定，与，的位置有关 6．（2026·高一·福建泉州·期中）已知直三棱柱，为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为2的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·北京昌平·二模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏·二模）已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·浙江·期中）如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的表面积为 B．圆锥的外接球体积是 C．圆锥的内切球半径为 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 10．（多选题）（2026·高一·河北石家庄·期中）如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（   ） A．正三棱柱的外接球表面积为 B．周长的最小值为 C．棱上总存在点，使得直线平面 D．为的中点，平面将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为，，则 11．（多选题）（2026·高一·山东济宁·期中）如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体，则（    ） A．为线段上的动点，则最小值为 B．该正八面体的表面积是 C．该正八面体的体积是 D．平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 12．在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 13．（2026·高一·湖南衡阳·期末）已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为______. 14．（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）若正四棱锥的体积，则正四棱锥的表面积的最小值为_______. 15．（2026·高二·上海·期末）如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为_____． 16．（2026·山东菏泽·二模）一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为和，高为9，削成一个球，则所得球的体积最大值为______． 17．（2026·陕西榆林·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是___________． 18．（2026·高一·山东临沂·期中）已知一个圆锥的表面积为，则它的体积最大值为_______. 19．（2026·高一·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____. 20．（2026·高一·重庆·期中）如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 21．（2026·高一·福建三明·期中）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥．下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．    (1)若求该几何体的体积． (2)若正四棱锥的侧棱长为6， ①求正四棱锥的侧面积． ②若是线段上的动点，求的最小值． 22．（2026·高一·安徽蚌埠·期中）如图，现有一几何体由上､下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，. (1)若，求该几何体的体积与表面积； (2)若，正四棱锥的侧棱长为6，且分别是线段上的动点，求的最小值. 23．（2026·高一·浙江·期中）如图，正三棱柱中，是棱的中点． (1)设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值； (2)求三棱锥的体积； (3)求该正三棱柱的外接球的表面积． 24．（2026·高一·四川成都·期中）如图，在直三棱柱中，，． (1)设，求该三棱柱体积的最大值； (2)设，且三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，求该球的体积； (3)设，点P在上运动，求的最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 立体几何范围与最值问题全解 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点一：核心解题3大方法 3 1、几何法（优先用，最快） 3 2、函数解析式法（最通用） 3 3、均值不等式（多面体体积、表面积） 3 03 重难点题型 4 题型一：空间几何体截面分析 4 题型二：平面截面周长与面积计算 7 题型三：多面体、旋转体体积求解 11 题型四：空间线段长度求值 14 题型五：折线段之和最值问题 19 题型六：空间各类夹角计算 22 04 过关检测 29 知识点一：核心解题3大方法 1、几何法（优先用，最快） 利用空间几何特征：垂线段最短、球面距离、翻折定点定轨迹、圆锥母线、截面极限位置． 点到直线／平面：垂线段最小； 异面直线距离：公垂线段最短； 动点在球面：定点到球面距离（定点到球心，球半径）． 2、函数解析式法（最通用） 设变量，把所求量写成一元／二元函数，转化函数值域． 常见变量：线面夹角、棱长、旋转角． 3、均值不等式（多面体体积、表面积） ，定值求最值。 题型一：空间几何体截面分析 例1．如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（    ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，为定值 D．不为定值，不为定值 【答案】C 【解析】如图所示， 连接，，，易知平面与对角线垂直， 又平面与对角线垂直，所以平面平面； 同理连接，，，易知平面与对角线垂直， 又平面与对角线垂直，所以平面平面； 又平面平面，平面平面 从而可得，同理可得，又，所以， 同理可得，， 将截面各边展开如图： 由平行关系知，的周长等于为定值； 由平行关系知，的形状为六边形，各边夹角为，且相邻两边之和为， 设，则，则的面积， 从而可知是关于的二次函数，不为定值. 例2．（2026·高一·浙江·期中）已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图示，，令正四面体的棱长为，则底面半径， 所以， 所以，则， 所以，则，可得， 要使截面圆半径最小，只需垂直于截面圆，而， 所以截面圆半径为. 故选：D 例3．（2026·高一·浙江温州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【解析】 平面截正方体，设与交于，如左图； 平面截正方体，设与交于，如右图． 根据对称性，，． 设，则，． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． ， 当，取最小值为． 题型二：平面截面周长与面积计算 例4．（2026·高一·福建泉州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【解析】由题意，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将相邻两四边形展开， 当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值为10. 例5．（2026·高一·福建龙岩·期中）已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q分别是侧棱，的中点，经过P，Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，设下底面中心为，上底面中心为， 则，又因为下底面是边长为6的正方形， 所以到下底面各顶点的距离为， 同理到上底面各顶点距离为， 设外接球球心为，它在直线上， 设到的距离为，则外接球半径满足： ，， 所以，解得：， 所以球心与下底面中心重合，半径， 因为，是侧棱和的中点， 所以过侧棱中点的截面平行于底面，为正方形， 边长等于上下底面边长的平均值，所以， 因为侧棱长， 又， 所以，同理， 在等腰中，，， 作于，则为中点，， 所以， 即球心到直线的距离为2， 过直线作球的截面，截面圆半径为， 其中为球心到截面的距离，当截面圆面积最小时，最大， 且最大值为到直线的距离2，此时， ，所以截面面积的最小值为. 例6．（2026·高一·辽宁·期末）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，取的中点，连接， 因为，所以，即为外接球的球心， 可得球的半径为， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面， 设，则，所以， 所以三棱锥的体积为： ， 当时，取得最大值， 因为， 在中，由余弦定理得， 根据球的性质得，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积的最小值为. 故选：B. 变式1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方体棱长为，则正方体对角线长就是球的直径， 球心O是正方体对角线中点， 由正方体对角线公式，解得． 因为点是棱的中点，当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小． 因为，，勾股定理，解得， 设截面圆半径为，则， 所以截面面积， 故选：C． 变式2．（2026·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故球心在正方形的中心，则球的半径为． 过作球的截面，当所得截面圆面积最小时， 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 方法二：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故两点在球上，所以最小截面圆为以为直径的圆． 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 故选：B. 题型三：多面体、旋转体体积求解 例7．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设球的半径为， 则有，解得， 又因为球心在棱上， 所以为直径且， 所以为直角三角形，且, 要使棱锥的体积最大， 则的面积最大，且点到平面的距离也要最大， 当平面时，最大，此时, 又, 当且仅当时，等号成立； 设三棱锥的体积为， 所以， 所以. 例8．（2026·高三·江西赣州·期末）已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面当该球的体积最小时，四面体 ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平面平面BCD，所以点A在平面BCD的射影E落在BD上， 当点E为BD的中点时，AE最大，此时四面体ABCD的体积取最大， 如图所示： 在中，设其外接圆的圆心为O，取BC的中点F，连接DF，则点O在DF的直线上， 由余弦定理得，， 且，则， 设外接圆的半径为r，则，得， 当四面体ABCD的外接球的体积最小时，此时球心应为点O， 则，且， 得，， 此时四面体ABCD体积的最大值为： 故选：B. 例9．（2026·高二·湖南长沙·开学考试）已知三棱锥的底面是以为斜边的直角三角形，平面且，设三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球体积与之比的最小值是_____. 【答案】 【解析】取的中点分别为，连接， 由于平面，平面，则， 又，所以平面，平面，故， 故均为直角三角形，设，故，故是三棱锥的外接球的球心，且半径为， 故，当且仅当时等号成立，故体积之比的最小值为 故答案为： 题型四：空间线段长度求值 例10．（多选题）（2026·高一·安徽宿州·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形边界及内部一动点，且满足平面，则（     ） A．动点的轨迹长度为2 B．三棱锥的外接球表面积为 C．直线与直线所成角余弦值的最小值为 D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】BCD 【解析】A选项：如图分别取，的中点H，G，连接，，，． 由正方体的性质可得，且平面，平面， 所以//平面，同理可得：//平面， 且，平面，所以平面平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH， 其长度为，故A错误； B选项：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 可知正方体的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，故B正确； C选项：由A选项分析可知，点的轨迹为线段， 根据正方体的性质可知，，所以是直线与直线所成角， 要使取得最小值，则取得最大值， 当与重合时，最大， 此时，, ，C选项正确. D选项：如图，设平面与平面交于AN，N在上， 因为截面平面，平面平面，所以， 同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点， 在四棱锥中，侧棱最长，且， 设棱锥的高为h， 因为，所以四边形为菱形， 所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又， 则，， 所以，解得. 综上，可知长度的取值范围是，故D正确. 例11．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在三棱柱中，，点在平面的射影为点，若点在平面上运动，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】依题意，的最小值即为点到平面的距离h， 因为平面，平面，故， 因为，，； 由余弦定理，， 故，所以； 因为平面，平面，所以， 则，， 又，故为等边三角形，则， 故， 而，故． 故选：B. 例12．（2026·高二·安徽安庆·期中）在三棱锥中，已知，平面，，点是棱上的动点，点是平面内的动点，，点为中点，则点到平面距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，连接和， 因为平面，且平面，所以， 在直角，点为的中点，且，所以， 所以点的轨迹是以点为球心，半径为的球面， 设点到平面的距离为， 因为，平面，且， 由，可得， 即，解得， 所以到平面的最短距离为. 故选：C. 变式3．（2026·高一·山东临沂·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，外接球的球心为，若点S是正四棱锥的表面上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】设，连接，则平面， 依题意可得，， 所以，且球心在直线上， 连接，设外接球的半径为，则，解得， 因为，故球心在线段上， 又S是正四棱锥的表面上的一点，的最小值即球心到平面的距离， 且. 故选：B 变式4．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（    ） A．勒洛四面体最大的截面是正三角形 B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为 C．勒洛四面体的体积是 D．勒洛四面体内切球的半径是 【答案】D 【解析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，故A不正确； 根据勒洛四面体的性质，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触， 所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值即为内接正四面体的边长， 所以勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为，故B错误； 如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径. 如图3, 在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质可知在上. 因为, 所以，则. 因为， 即，解得， 则正四面体外接球的体积是， 而勒洛四面体的体积小于其外接球的体积，C错误； 因为，所以 , 所以，勒洛四面体内切球的半径是，则 D正确. 故选：D. 题型五：折线段之和最值问题 例13．（2026·广东广州·一模）在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 当D不在直线AC上时，过点作于H，连接AH，在正三棱柱中，平面ABC，则，所以平面，， 所以,所以当取最小值时，D在AC上， 如图所示，将在平面中绕点向下旋转得直线，作， 则，则的最小值等价于的最小值， 过作于，可知， 可知，，所以，， 则， 所以， 所以的最小值为. 例14．（2026·高一·北京·期中）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为， 则其对角线的长为的最小值， 即最小值为. 例15．（2026·高一·重庆渝北·期中）直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】 将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图 在左图中，由于，，得是等边三角形，故． 在右图中，． 两点之间线段最短，连接，最小为． 变式5．（2026·高一·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 因为在正方体中，， 所以 ， 所以， 即的最小值是 变式6．（2026·高一·河北保定·期中）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，将沿着翻折，使其与共面， 可知当三点共线时，取得最小值. 过作，因为，侧面是正方形， 所以， 因为在直三棱柱中，，，，所以平面， 又平面，所以，翻折之后两者的垂直关系不变， 则为的中点，则， 则的边上的高为， 则的面积为. 题型六：空间各类夹角计算 例16．（2026·高一·吉林白山·期末）在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】M是线段BC上一动点，连接PM．因为PA，PB，PC互相垂直，所以是直线AM与平面PBC所成的角．当PM最短，即时，直线AM与平面PBC所成角的正切值最大，此时，． 在中，，则，解得． 将三棱锥扩充为长方体，则长方体的体对角线长为． 故三棱锥外接球的半径，三棱锥外接球的体积为．所以D正确； 故选：D. 例17．（2026·四川内江·三模）如图，在四棱柱中，底面为正方形，底面，，､分别是棱､上的动点，且，则下列结论中正确的是（    ） A．直线与直线可能异面 B．三棱锥的体积保持不变 C．直线与直线所成角的大小与点的位置有关 D．直线与直线所成角的最大值为 【答案】B 【解析】连接NC，MC，因为四棱柱中， ，底面为正方形，底面 显然四边形为平行四边形， 所以直线与直线一定相交，A错误； 连接，取的中点O，连接NO，MO， 因为，，由三线合一可知：，， 因为，所以平面MON， ， 设四边形的面积为S，则为定值， 故为定值， 三棱锥的体积保持不变，B正确； 连接BD，， 因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD， 又底面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为，所以AC⊥， 因为MN平面， 所以AC⊥MN， 直线与直线所成角的大小与点的位置无关，C错误； 过点N作NH∥AD交于点H，连接HM， 则为直线与直线的夹角，且， 其中，其中为定值， 故要想直线与直线所成角的最大，只需HM最大， 设正方形边长为a，则HN=a， 显然当N与点重合，M与B重合时，HM最大，最大值为， 此时，故D错误. 故选：B 例18．（2026·高一·广东广州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中， ①平面EFG ②平面平面 ③所有点P在直线上 ④BP与所成的角为，则的最小值是 正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①，因为直线BP与平面EFG无公共点，所以平面EFG，所以①正确， 对于②，连接，因为点E，F，G分别是棱BC，，的中点， 所以∥，∥， 因为∥，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面平面，所以②正确， 对于③，由①②知平面，平面EFG，所以平面， 因为平面平面，点P为底面上任意一点， 所以所有点P在上，所以③错误， 对于④，因为∥，所以为BP与所成的角， 因为平面，平面，所以， 所以， 由③可知点P在上，所以当为的中点时，最小为， 所以的最小值为，即的最小值是，所以④正确. 故选：C 变式7．如图，圆锥SO的底面圆直径为AB，，，D为底面圆上的动点，则（ ） A．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为30° B．当直线SD与AB所成角为60°时，直线SD与OC所成角为60° C．直线SD与AB所成角的最小值为30° D．直线SD与AB所成角的最大值为60° 【答案】B 【解析】过作直线分别平行于，交分别为，连接，如图， 则为直线与所成的角，即，且为直线所成的角， 设，则， 在中，，，A错误，B正确； 对于CD，直线与所成角的最小值即为直线与底面所成角， 同时直线与所成角的最大值为直线与所成角，CD错误. 故选：B 变式8．（2026·高二·浙江嘉兴·阶段检测）已知在边长为的正方体中，分别为上的动点，且.当的体积取最大值时，平面与平面的夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 又，且，所以当时，的体积取最大值， 即为的中点时，的体积取最大值， 取中点，连接，因为，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面，则为二面角的平面角， 在中，，所以， 则，所以平面与平面的夹角的正切值为， 故选：D. 1．（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【解析】对于A，圆锥的体积为，故A错误； 对于B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故B错误； 对于C，设圆锥轴截面顶角为，则， 而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误； 对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为 而，故当，，故D正确. 2．（2026·高一·山东枣庄·期中）已知圆锥的底面半径为4，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．1 B．12 C． D．48 【答案】C 【解析】设圆锥母线长为，则侧面积为，解得， 则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，设顶角为， 可得，所以； 可知过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面是以为腰的等腰三角形， 设顶角为，则三角形面积. 当时，截面面积取得最大值为. 3．（2026·高一·浙江宁波·期中）如图，AB、CD是圆台的两条母线，若圆台的高为，上底面半径为3，下底面半径为6，则截面ABDC面积的最大值为（   ） A． B． C．18 D．24 【答案】C 【解析】因为上下底面半径之比为，所以， 所以设，，为母线长，高为， 设上底面圆的圆心为点，下底面圆心为点，所以，，， 所以， 四边形为等腰梯形，，， 则梯形的高为， 所以截面的面积， 当时，即时等号成立. 4．（2026·高三·黑龙江大庆·阶段检测）已知直四棱柱的底面为矩形，，且该棱柱外接球的表面积为，为线段上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设外接球O的半径为R，则球O的表面积，所以， 设矩形的长和宽分别为x和y， 则，所以， ，当且仅当时取等号， 即底面为边长为2的正方形时，四棱柱的体积最大. 则有， 将平面沿展开，与处于同一平面， 则， 即平面图形中三点共线时，有最小值. 故选：D 5．（2026·高一·河南·期中）如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（    ） A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为 C．为定值 D．不确定，与，的位置有关 【答案】C 【解析】如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值. 平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，. 故选：C. 6．（2026·高一·福建泉州·期中）已知直三棱柱，为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为2的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得， 取值最小时，在平面内，球在平面的交线为如图所示的圆弧. 故取值最小时，三点共线， 过点作于，则， 又，故， 所以，解得，从而， 因此. 7．（2026·北京昌平·二模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，取中点，中点，连接，， ，，， 因为点分别是棱的中点，所以，因为为中点， 所以，，，所以平面平面， 点在平面上运动，又因为点在正方体的表面上运动，所以点在直线，， ，上运动，且为等腰三角形， 求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值，点到边距离最小， 设点到边的垂足为，则为的中点，所以，所以线段的最小值为. 8．（2026·江苏·二模）已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过作，垂足为，于，连接，如图， 则，平面， 所以平面，平面，所以, 所以为二面角的平面角，故， 由最小角定理知，当为与所成线面角时，最小， 此时，重合，取得最小值， 设，则，又，则， 所以，即的最小值为. 9．（多选题）（2026·高一·浙江·期中）如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的表面积为 B．圆锥的外接球体积是 C．圆锥的内切球半径为 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】根据题意可得底面半径和母线的长分别为， 所以侧面积为，底面积为， 所以圆锥的表面积为，故A对； 设外接球的半径为，球心到圆锥底面的距离为。 由于圆锥的高，底面半径， 所以，代入得 ， 所以，故B正确； 圆锥的体积，， ，故C错误； 由，E为线段上的动点，得， 又，所以为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 所以为等边三角形，则， 则, 因为, , 则，故D正确 10．（多选题）（2026·高一·河北石家庄·期中）如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（   ） A．正三棱柱的外接球表面积为 B．周长的最小值为 C．棱上总存在点，使得直线平面 D．为的中点，平面将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为，，则 【答案】ACD 【解析】对于A：正三棱柱外接球的球心为上下底面正三角形中心连线的中点， 底面正三角形边长为4，其外接圆半径； 正三棱柱高，球心到底面距离，因此外接球半径满足：， 外接球表面积，A正确； 对于B： 中，为定值，周长最小时最小， 将侧面与侧面翻折到同一平面内，连接，则的最小值为， ，因此周长最小值为 ，B错误； 对于C：在侧面内，过作，交于， 在侧面内，过作交于，， 所以平面平面，平面，所以平面 ，C正确； 对于D：正三棱柱总体积 ，是中点，取中点， 连接，则是边长为的等边三角形，取中点，则， 又由平面可知，，所以平面， 较小体积 ， 因此：， D正确. 11．（多选题）（2026·高一·山东济宁·期中）如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体，则（    ） A．为线段上的动点，则最小值为 B．该正八面体的表面积是 C．该正八面体的体积是 D．平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】将沿翻折到，使得与共面， 则，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 此时，， ， 所以，故最小值为，A正确. 因为正八面体由八个全等的正三角形组成，且棱长为2， 由三角形面积公式可得八面体的表面积为，故B正确. 连接，，交点设为，连接， 因为四边形为正方形，所以对角线长度的一半， 由勾股定理可得， 所以八面体的体积为，故C错误. 取的中点，连接，，在中，， 因为，所以正八面体外接球的球心为O，半径为， 作于，则， 平面截该正八面体的外接球的截面是圆，与平面所截得的面积相等， 其半径， 所以截面圆的面积为，故D正确. 12．在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】如图所示，取的中点，连接， 因为，所以，即为外接球的球心， 可得球的半径为， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面 设，则，所以， 所以三棱锥的体积为： ， 当时，取得最大值， 因为， 在中，由余弦定理得， 根据球的性质得，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积的最小值为. 13．（2026·高一·湖南衡阳·期末）已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为______. 【答案】 【解析】设，由于，故； 结合长方体性质可知四面体的外接球即为长方体的外接球， 则外接球半径为， 则外接球的表面积为 ，当且仅当时取等号， 即的最小值为， 故答案为： 14．（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）若正四棱锥的体积，则正四棱锥的表面积的最小值为_______. 【答案】4 【解析】正四棱锥的底面中心为，线段的中点为，连接， 设，则，， 由正四棱锥的体积，得，则， 因此正四棱锥的表面积， 则 ，当且仅当，即时取等号， 解得，所以正四棱锥的表面积的最小值为4. 故答案为：4 15．（2026·高二·上海·期末）如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为_____． 【答案】/ 【解析】在直四棱柱中，平面，平面， 则，在菱形中，，而平面， 则平面，又菱形边长为1，，则， 点在线段上，在线段上，则， 因此三棱锥的体积最小，当且仅当的面积最小，而是定值， 则当且仅点到直线的距离最小，又的延长线与延长线相交于点， 于是点与点重合时，点到直线的距离取最小值，如图， 显然四边形为正方形，连接，令，由， 得，， 点到直线的距离，又， 则面积为，三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积最小值为. 故答案为： 16．（2026·山东菏泽·二模）一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为和，高为9，削成一个球，则所得球的体积最大值为______． 【答案】 【解析】把正四棱台还原成正四棱锥，过该正四棱锥底面一组对边中点及顶点的平面 截该棱锥及棱台分别得等腰和等腰梯形，过作于，如图， 则等于正四棱台的高9，， 于是，是正三角形，其内切圆半径， 因此正四棱台还原成正四棱锥的内切球半径为4，该球是与正四棱台侧面及下底面都相切的球， 即为正四棱台型的木块削成的最大球，所以所求最大体积为. 故答案为： 17．（2026·陕西榆林·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是___________． 【答案】 【解析】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得，所以， 所以该球的体积的最大值是． 故答案为： 18．（2026·高一·山东临沂·期中）已知一个圆锥的表面积为，则它的体积最大值为_______. 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则， 因为圆锥的表面积为，所以 从而，且， 所以圆锥的体积为， 因此当时，体积取到最大值． 故答案为：. 19．（2026·高一·山东泰安·期中）三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为_____. 【答案】 【解析】由余弦定理可知：， 即，又，解得. 因为，故，所在小圆的圆心为中点，小圆半径； 记球心到小圆圆心的距离为，球半径为，三棱锥的高为， 则有， 当三棱锥的体积最大时，与在球心两侧，此时有 ， 再由，可知， 故，解得，此时， 故答案为：. 20．（2026·高一·重庆·期中）如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 【解析】（1）由题意可知，下底边长 ，上底边长， 上下底面均为正方形，故，， 上下底面中心与同底面各顶点的距离差为： ， 设棱台高为，由勾股定理：，得， 由棱台体积公式可得： . （2）由，,可得， 因为且，故得，则， 如图，若在边上取点，满足，连接, 则因且,故得，则, 故,又因不在平面内，平面,故得平面. 即在边上存在点满足，使得平面. （3）如图将平面沿展开，使平面与平面共面， 因为棱上的动点，的最小值即图中的线段之长. 因，，可得， 则，由余弦定理， 即，故的最小值为. 21．（2026·高一·福建三明·期中）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥．下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．    (1)若求该几何体的体积． (2)若正四棱锥的侧棱长为6， ①求正四棱锥的侧面积． ②若是线段上的动点，求的最小值． 【解析】（1）由条件可知，正四棱柱的高 所以正四棱柱的体积为， 正四棱锥的体积为 所以该几何体的体积为. （2）①，所以， 正四棱锥侧面的高为 所以正四棱锥的侧面积为 ②将正方形展开在一个平面， ， 当三点共线时，最短， 所以. 所以的最小值为. 22．（2026·高一·安徽蚌埠·期中）如图，现有一几何体由上､下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，. (1)若，求该几何体的体积与表面积； (2)若，正四棱锥的侧棱长为6，且分别是线段上的动点，求的最小值. 【解析】（1）由题意得，正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以该几何体的体积为. 过点作，垂足为，则， 则正四棱锥的侧面积， 正四棱柱的侧面积， 正四棱柱的下底面的面积， 所以该几何体的表面积为. （2）如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值， 即展开图中点到线段的距离. 由题可知. 连接，则， 所以. 过点作于，则. 记， 则， ， 所以 ， 所以为锐角， 因为，故，故为锐角，所以为锐角， 故在上的投影在之间， 又， 所以. 即的最小值为. 23．（2026·高一·浙江·期中）如图，正三棱柱中，是棱的中点． (1)设E为棱的中点，为棱上一点，求的最小值； (2)求三棱锥的体积； (3)求该正三棱柱的外接球的表面积． 【解析】（1）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当A，F，E三点共线时，取得最小值， 且最小值为． （2）法一：因为为等边三角形，， 所以的面积，又， 所以， ， ， 所以． 法二：因为的面积，， 所以． （3）设正三棱柱两底面中心分别为，的中点为． 正三棱柱的外接球半径， 外接球表面积． 24．（2026·高一·四川成都·期中）如图，在直三棱柱中，，． (1)设，求该三棱柱体积的最大值； (2)设，且三棱柱的所有顶点都在同一个球面上，求该球的体积； (3)设，点P在上运动，求的最小值． 【解析】（1）直三棱柱中，侧棱底面，高，. 三棱柱体积. 在中，由余弦定理， 即. 由基本不等式，得，当且仅当时取等号. 因此，所以，即三棱柱体积的最大值是. （2）直三棱柱外接球直径满足，其中是底面的外接圆半径， 由正弦定理，代入，，得，即， 因此，得， 球体积. （3）将平面沿展开，与平面共面，的最小值为展开后线段的长度： 由，得，中； 由，得，又，故是等边三角形，； 展开后，故， 即的最小值是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $