期末培优：解三角形中的线段长或周长最值与范围问题、解三角形中的面积最值与范围问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末培优：解三角形中的线段长或周长最值与范围问题、解三角形中的面积最值与范围问题复习讲义 期末培优：解三角形中的线段长或周长最值与范围问题、解三角形中的面积最值与范围问题 复习讲义 考点目录 解三角形中的线段长或周长最值与范围问题 解三角形中的面积最值与范围问题 考点一 解三角形中的线段长或周长最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 边角互化根基：正弦定理 、余弦定理 ； 1. 角度约束： 中 ，内角均大于 0 小于 ； 1. 最值转化路径 ① 正弦换元：统一为单一三角函数，利用 、 值域 求范围； ② 余弦配均值不等式： 求边长、周长上限； ③ 二次函数模型：设单变量，转化二次函数看区间最值； 1. 周长 ，一条边固定时，只需求另外两边和的范围。 二、标准解题步骤 1. 梳理已知条件：固定角/固定边、外接圆半径； 1. 路线 1（正弦型） 1）正弦定理把三边全部用角表示； 2）利用 消元，只剩一个自变量角； 3）化简成 标准三角形式； 4）根据内角取值范围确定自变量区间，结合三角函数单调性求值域； 5）换算出边长或周长范围。 1. 路线 2（余弦 + 均值） 1）固定一边一角，余弦定理建立两边等式； 2）对 使用均值不等式 求最值； 3）结合三角形两边之和大于第三边约束取值边界； 1. 检验三角内角范围、三边不等关系，剔除不合理解。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若，求的取值范围. 例2．（25-26高一下·江苏·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为． (1)求； (2)若，求内切圆面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围． 例3．（2026·陕西渭南·三模）已知的内角所对的边分别为,且． (1)求； (2)若的外接圆半径为1，求周长的最大值． 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 变式2．（25-26高一下·四川泸州·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且， (1)若，，求； (2)若，求； (3)求的取值范围． 变式3．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 考点二 解三角形中的面积最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 面积核心公式：； 1. 转化逻辑 ① 角定边不定：正弦换元，面积化为三角函数求值域； ② 边定角不定：余弦定理结合均值不等式，锁定 最值，代入面积公式； 1. 在 上最大值为 1（），决定面积峰值；均值不等式可锁定乘积 最大/最小值。 二、标准解题步骤 1. 选定适配面积公式，匹配已知固定边/固定角； 1. 路线 1（已知角） 1）正弦定理把两条邻边用对角表示； 2）代入 化简为单三角函数； 3）由内角范围求 值域，得到面积区间； 1. 路线 2（已知一条对边） 1）余弦定理写出 ； 2）用 放缩求出 最大；结合角度范围求 下限； 3）将 最值代入 算出面积最值； 1. 多约束叠加：同时满足内角、三边大小、外接圆限制，取范围交集。 【例题分析】 例1．（2026·山西运城·模拟预测）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 例2．（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． (1)若△ABC为正三角形，求； (2)已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 例3．（25-26高一下·辽宁·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C (2)若c＝6．     （Ⅰ）求△ABC周长的取值范围； （Ⅱ）求△ABC面积的最大值． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 变式2．（2026·河南开封·三模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求角C的大小： (2)若边，求的面积S的取值范围． 变式3．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且． (1)求证：； (2)若 的面积为52，求； (3)若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：解三角形中的线段长或周长最值与范围问题、解三角形中的面积最值与范围问题复习讲义 期末培优：解三角形中的线段长或周长最值与范围问题、解三角形中的面积最值与范围问题 复习讲义 考点目录 解三角形中的线段长或周长最值与范围问题 解三角形中的面积最值与范围问题 考点一 解三角形中的线段长或周长最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 边角互化根基：正弦定理 、余弦定理 ； 1. 角度约束： 中 ，内角均大于 0 小于 ； 1. 最值转化路径 ① 正弦换元：统一为单一三角函数，利用 、 值域 求范围； ② 余弦配均值不等式： 求边长、周长上限； ③ 二次函数模型：设单变量，转化二次函数看区间最值； 1. 周长 ，一条边固定时，只需求另外两边和的范围。 二、标准解题步骤 1. 梳理已知条件：固定角/固定边、外接圆半径； 1. 路线 1（正弦型） 1）正弦定理把三边全部用角表示； 2）利用 消元，只剩一个自变量角； 3）化简成 标准三角形式； 4）根据内角取值范围确定自变量区间，结合三角函数单调性求值域； 5）换算出边长或周长范围。 1. 路线 2（余弦 + 均值） 1）固定一边一角，余弦定理建立两边等式； 2）对 使用均值不等式 求最值； 3）结合三角形两边之和大于第三边约束取值边界； 1. 检验三角内角范围、三边不等关系，剔除不合理解。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，由此求得. （2）利用正弦定理表示，利用三角恒等变换化简，结合三角函数值域的求法求得的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，， 所以，， 由于，所以. （2）∵， ∴ . ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的取值范围为. 例2．（25-26高一下·江苏·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的中点为． (1)求； (2)若，求内切圆面积的最大值； (3)若为锐角三角形，，求线段的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对已知条件进行化简，再根据角的范围，判断方程可能得解，求出结果； （2）根据余弦定理解三角形，判断的具体结果，再根据余弦定理和基本不等式求出三角形周长的范围，进而根据内切圆半径的性质求出半径的范围，进而求出面积的最大值； （3）根据三角形形状，判断角的范围，再根据正弦定理和三角形中线的向量性质，进而根据向量的数量积运算率，表示出模长的表达式，进而求出线段长度的范围. 【详解】（1）由题意可知，化简得， 可得，因为，所以， 可得或，解得或. （2）由题意可得，化简得， 所以，所以由（1）可知，可得， 可知，化简得，即，可得. 由基本不等式可知，即，当且仅当时取等号， 所以，由，解得. 设内切圆半径为，则， 可得，因为， 所以， 因为，所以， 当时，内切圆半径为取得最大值，此时内切圆面积的最大值为. （3）可知，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以， 可知，可得，所以， 因为，所以， 则， 化简得， 因为，由，可得，解得， 所以，可得，所以，即 所以线段的取值范围为. 例3．（2026·陕西渭南·三模）已知的内角所对的边分别为,且． (1)求； (2)若的外接圆半径为1，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理角化边，利用余弦定理求出角； （2）首先根据正弦定理求出，利用余弦定理列方程，结合均值不等式得，求出最值. 【详解】（1）因为，则， 即， ， ，. （2）由，得， 由余弦定理得， 化简为，即， 因为， 则，， 当且仅当时等号成立，故三角形周长最大值为. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 变式2．（25-26高一下·四川泸州·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且， (1)若，，求； (2)若，求； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方法一：根据向量的模的公式和向量的数量积公式计算即可；方法二：过点D作的平行线交于点H，在中，运用余弦定理计算即可；方法三：在中，运用余弦定理求出，结合勾股定理求出；方法四：利用等面积法计算即可. （2）方法一：根据与相似计算即可；方法二：在中以及在中，运用正弦定理计算即可； （3）根据向量的模公式得到，方法一：根据基本不等式的性质计算即可；方法二：令，则方程有正根，然后分情况讨论进而计算结果. 【详解】（1）法一：， 则 ． 法二：过点D作的平行线交于点H， 在中，，， 由余弦定理： 法三：在中，由余弦定理： 又，则， 则. 法四：因为，则平分角C， 由， 即. （2）法一：因为，则与相似， 则，即，所以， 则，，则． 法二：设，因为，则 在中，由正弦定理知① 在中，由正弦定理知② ，，则有 又，． （3），平方得． 即，又 令，则，. 法一： 令，则， ， ． 的取值范围为 法二：令，则方程有正根． ， ①若，方程没有正根，不符合题意； ②若，且，得：或（此时方程只有一个负根，故舍去） ③若，且，得：， ⅰ  若方程有一个根为0，此时，方程有正根，符合题意； ⅱ  若方程有两个正根，则，得或， ⅲ  若方程有1个正根，一个负根，，得， 综上：， 的取值范围为. 变式3．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，根据的范围求值； （2）由正弦定理得，，由，利用向量运算结合三角恒等变换可得，求出的范围结合三角函数性质得解. 【详解】（1）由，得， 又，所以， 所以，. （2）由，且可得， 又，为外接圆半径） 所以，又，所以， 在中，由正弦定理得， 所以，. 由的中点为M，得， 所以 . 因为为锐角三角形，所以，得， 则，所以，， 则， 故的取值范围是. 考点二 解三角形中的面积最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 面积核心公式：； 1. 转化逻辑 ① 角定边不定：正弦换元，面积化为三角函数求值域； ② 边定角不定：余弦定理结合均值不等式，锁定 最值，代入面积公式； 1. 在 上最大值为 1（），决定面积峰值；均值不等式可锁定乘积 最大/最小值。 二、标准解题步骤 1. 选定适配面积公式，匹配已知固定边/固定角； 1. 路线 1（已知角） 1）正弦定理把两条邻边用对角表示； 2）代入 化简为单三角函数； 3）由内角范围求 值域，得到面积区间； 1. 路线 2（已知一条对边） 1）余弦定理写出 ； 2）用 放缩求出 最大；结合角度范围求 下限； 3）将 最值代入 算出面积最值； 1. 多约束叠加：同时满足内角、三边大小、外接圆限制，取范围交集。 【例题分析】 例1．（2026·山西运城·模拟预测）已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、同角三角函数关系式、两角和的正弦公式及诱导公式化简所给等式，即可求得，从而求得； （2）利用正弦定理及三角恒等变换，求出的取值范围，再由面积公式求得面积的取值范围. 【详解】（1）因为，且为锐角，所以， 所以， 即. 由正弦定理，得， 所以， 所以， 所以. 因为是锐角，所以， 所以，. （2）因为，所以， ，得. 由正弦定理可得，， 因为，所以， 由，可知，所以，所以. 所以，所以， 即的面积的取值范围为. 例2．（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． (1)若△ABC为正三角形，求； (2)已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）在等边三角形中，利用正弦定理在两个小三角形中建立边与角的关系，由边相等推出角相等，解方程得到布洛卡角； （2）①通过正弦定理分别表示出两段线段，利用已知比例关系，结合正弦定理和边长关系，推导出边长平方的等式； ②将已知比例代入，利用余弦定理将余弦值表示为两边乘积的函数，进而得到面积平方关于该乘积的二次函数，结合三角形存在条件确定取值范围，由二次函数最值得出面积最大值. 【详解】（1）为等边三角形． 因为，所以， 所以， 在中， 由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为为等边三角形，，所以， 又，所以，故． （2）①证明：因为,所以，所以, ，即； 因为,所以，所以 在中，，即． 所以，由正弦定理得：． 因为，所以，即． ②由可得．在中，由余弦定理得，. 因为，所以，所以． 由三角形的面积公式可得：， 所以． 令，则，是关于x的方程的两个根， 所以且，解得． 因为且，所以，解得 又因为，所以． ， 对称轴，所以当时，， 所以．故最大值为. 例3．（25-26高一下·辽宁·期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C (2)若c＝6．     （Ⅰ）求△ABC周长的取值范围； （Ⅱ）求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）（12，18]；（Ⅱ）． 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，化简可求得，从而求得. （2）（Ⅰ）由正弦定理将的周长表示为的函数，利用正弦型函数的取值范围，可得周长的取值范围；（Ⅱ）根据余弦定理及基本不等式可得的最大值，从而求得面积的最大值． 【详解】（1）因为，， 所以由正弦定理得， ， 则，由，得，所以，则． （2）（Ⅰ）由正弦定理得，， 所以，. △ABC的周长， 由，得. 则， 所以的周长的取值范围为． （Ⅱ）由余弦定理得， 所以，当且仅当时等号成立. 所以， 所以面积的最大值为． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）应用周长结合余弦定理及之间的关系计算求解边长.（2）（ⅰ）利用三角形面积公式以及余弦定理求解出的值，由此可求的值；（ⅱ）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系. 【详解】（1）因为，且的周长等于6，所以， 因为，由余弦定理得， 将代入上式解得，所以， 则. （2）（ⅰ）因为，所以，所以， 又是锐角三角形，所以，所以， 所以，又，所以； （ⅱ）因为，所以， 又，所以， 所以. 由，解得，所以， 所以， 所以面积的取值范围是. 变式2．（2026·河南开封·三模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求角C的大小： (2)若边，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由正弦定理和三角形面积公式结合三角恒等变换可得，再利用为锐角三角形求得角的范围即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 所以，即， 因为为锐角三角形，所以，且， 所以，， 又，所以． （2）由正弦定理，得，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，，即， 由，得， 所以，，， 所以的面积S的取值范围为. 变式3．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且． (1)求证：； (2)若 的面积为52，求； (3)若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)证明：由及正弦定理，得， 所以． 因为，所以， 所以或，解得或（舍）． (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换证明； （2）先根据正弦定理和三角恒等变换求出 ，再根据三角形的面积公式求； （3）分别在与中运用正弦定理求出，再应用三角形的面积公式求最值． 【详解】（1）略 （2）因为， 所以 ， 又，所以，即． 因为，所以． 因为， 所以的面积 ，解得． （3）由，得，即， 又，所以． 不妨设在线段上，设，则． 在中， ，所以， 即． 在中， ， 所以， 即． 所以的面积． 令， 因为，所以， ， 所以当时，取到最大值， 所以， 即的面积的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $