精品解析：2026年内蒙古自治区北京一零一中呼和浩特分校初中学业水平考试全真模拟试卷（十四）数学学科

内蒙古2026年初中学业水平考试全真模拟试卷（十四） 数 学 学 科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（ ）． A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 5. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 每周三下午的社团课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“田径课”“思辨课”“书法课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过允许的最高值．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系： 时间天 3 5 6 9 … 硫化物的浓度 … 则下列说法错误的是（ ） A. 整改前该企业所排污水中硫化物的浓度为 B. 当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 C. 该企业所排污水中硫化物的浓度可在第13天降为 D. 该企业在15天以内能实现排污达标 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 分解因式：=______． 10. 关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是_________． 11. 中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 12. 如图，在中，，点D是的中点，，则的最大值为______． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算和化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 14. 为了检测甲、乙两所学校开设安全教育课程的效果，现从甲、乙两所学校各随机抽取100名学生进行测试，并将学生的测试成绩（满分100分，单位：分）分为5组（组：，组：，组：，组：，组：）对数据进行整理、分析，部分信息如下： ①甲学校学生测试成绩频数分布表 组别 分组 频数 17 25 18 7 ②乙学校学生测试成绩频数分布直方图 ③将乙学校在组的测试成绩按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：80，81，81，82，82，83，83，83，83，83． ④甲、乙两学校学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 80 79 80 乙 80 83 根据以上信息，解答下列问题： （1）_________，_________； （2）补全乙学校学生测试成绩频数分布直方图； （3）已知乙学校共有2500名学生，若测试成绩在80分及以上为优秀等级，请你估计乙学校有多少名学生的测试成绩优秀； （4）小明说：“从测试成绩上看，乙学校的安全教育效果比甲学校好．”你同意小明的说法吗？请至少从两个角度说明理由． 15. 为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？ 16. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 17. 无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面千米，保持高度不变，以千米/小时的速度水平飞行一定距离后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离千米处出现一障碍物，高度为千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． （1）若无人机水平飞行的时间为小时，求抛物线的表达式； （2）若无人机开启紧急避障模式后飞行轨迹不变，试求，无人机在原飞行路径上，最多可以水平飞行多长距离后开启紧急避障模式，才能保证顺利越过障碍物？ 18. 如图1，正方形，，点，分别是，的中点，连接．将绕点逆时针旋转，连接并延长，交的延长线于点． （1）如图2，求证：； （2）如图3，连接，交于点，连接，求证：； （3）如图4，当旋转至时，点经过的路线长度为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古2026年初中学业水平考试全真模拟试卷（十四） 数 学 学 科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 斗是古代重要的计量器具与容量单位，多用于称量粮食，形状多为上大下小的方台．如图是一个斗的几何示意图，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据立体图形的特点，其俯视图为， 故选：A ． 2. 如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题可知：， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意． 4. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解． 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 5. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 6. 每周三下午的社团课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“田径课”“思辨课”“书法课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，先确定所有等可能的选择结果数，再找出两人恰好选择同一种课程的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记三种课程分别为田径课，思辨课，书法课， 画树状图为： ∵共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为3， ∴两人恰好选择同一课程的概率． 7. 如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出正五边形的内角和与内角，而与正五边形的两边，相切于，两点，再在五边形中求出的度数． 【详解】解：正五边形的内角和， ∴， 又∵与正五边形的两边，相切于，两点， ∴， 而五边形的内角和， ∴ ． 8. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过允许的最高值．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系： 时间天 3 5 6 9 … 硫化物的浓度 … 则下列说法错误的是（ ） A. 整改前该企业所排污水中硫化物的浓度为 B. 当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 C. 该企业所排污水中硫化物的浓度可在第13天降为 D. 该企业在15天以内能实现排污达标 【答案】C 【解析】 【分析】运用待定系数法求出直线和反比例函数的解析式，再根据选项逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可得，整改前该企业所排污水中硫化物的浓度为，故A正确； 当时，设函数关系式为， 把，代入，得， 解得， 当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为，故B正确； 当时，由表格可知的值保持不变， 设其关系为，把代入，得， 当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为， 当时，， 该企业所排污水中硫化物的浓度可在第13天降为，故C错误； 当时，， 该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内实现不超过最高允许的的要求，故D正确． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 10. 关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，二次项系数不为0，且根的判别式大于等于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根 ∴该方程为一元二次方程，可得，且根的判别式 ∵ ∴， 解得 综上，的取值范围是且． 11. 中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】用大扇形面积减去小扇形面积即可得山水画所在纸面的面积． 【详解】解：，， ∴山水画所在纸面的面积为． 12. 如图，在中，，点D是的中点，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，，点D是的中点，得出，又，得出点A在以为弦，圆周角的圆上，如图，构造，其中，，如图，当点三点共线时，取得最大值，证明，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点，， ∴， 又， ∴点A在以为弦，圆周角的圆上， 如图，构造，其中，， 则，故圆心在的垂直平分线上， 如图，当点三点共线时，取得最大值， 此时，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了几何中的最值问题，定角对定边轨迹为圆，涉及勾股定理，等腰三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点，根据题意构造符合条件的圆，确定出点A的轨迹是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算和化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（）先通过算术平方根定义，负整数指数幂运算，化简绝对值分别计算，然后合并即可； （）先算括号内的异分母分式运算，然后算分式除法，化简后再把，代入求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当，时， 原式 ． 14. 为了检测甲、乙两所学校开设安全教育课程的效果，现从甲、乙两所学校各随机抽取100名学生进行测试，并将学生的测试成绩（满分100分，单位：分）分为5组（组：，组：，组：，组：，组：）对数据进行整理、分析，部分信息如下： ①甲学校学生测试成绩频数分布表 组别 分组 频数 17 25 18 7 ②乙学校学生测试成绩频数分布直方图 ③将乙学校在组的测试成绩按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：80，81，81，82，82，83，83，83，83，83． ④甲、乙两学校学生测试成绩的平均数、中位数、众数如下表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 80 79 80 乙 80 83 根据以上信息，解答下列问题： （1）_________，_________； （2）补全乙学校学生测试成绩频数分布直方图； （3）已知乙学校共有2500名学生，若测试成绩在80分及以上为优秀等级，请你估计乙学校有多少名学生的测试成绩优秀； （4）小明说：“从测试成绩上看，乙学校的安全教育效果比甲学校好．”你同意小明的说法吗？请至少从两个角度说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）估计乙学校有1375名学生的测试成绩优秀； （4）同意，理由：两个学校的测试成绩的平均数相同，而乙学校的测试成绩的中位数、众数均比甲学校高，则从测试成绩上看，乙学校的安全教育效果比甲学校好． 【解析】 【分析】（1）用100减去其他4组的人数得出a的值即可；根据中位数的定义求出b的值即可； （2）求出乙学校测试成绩在的人数，补全频数分布直方图即可； （3）用样本估计总体即可； （4）运用平均数、中位数与众数作决策即可得． 【小问1详解】 解：； ，组的测试成绩按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：80，81，81，82，82，83，83，83，83，83． 乙学校测试成绩第50个数为82，第51个数为83，因此中位数为：； 【小问2详解】 解：乙学校测试成绩在的人数为：（人）， 补全频数分布直方图略； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计乙学校有1375名学生的测试成绩优秀； 【小问4详解】 略 15. 为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？ 【答案】（1）《西游记》的单价是10元，《朝花夕拾》的单价是14元； （2）订购《朝花夕拾》30本，订购《西游记》70本时，最低总费用为1120元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，利用数量总价单价，结合用14000元订购的《朝花夕拾》的数量比用7000元订购的《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出《西游记》的订购单价，再将其代入中，即可求出《朝花夕拾》的订购单价； （2）设再次订购本《朝花夕拾》，则再次订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元． 答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元； 【小问2详解】 设再次订购本《朝花夕拾》，则再次订购本《西游记》， 根据题意得：， 解得：． 设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为（元，此时（本． 答：当再次订购30本《朝花夕拾》，70本《西游记》时，总费用最低，最低费用为1120元． 16. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 17. 无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面千米，保持高度不变，以千米/小时的速度水平飞行一定距离后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离千米处出现一障碍物，高度为千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． （1）若无人机水平飞行的时间为小时，求抛物线的表达式； （2）若无人机开启紧急避障模式后飞行轨迹不变，试求，无人机在原飞行路径上，最多可以水平飞行多长距离后开启紧急避障模式，才能保证顺利越过障碍物？ 【答案】（1） （2）最多可以水平飞行千米后开启紧急避障模式，才能保证顺利越过障碍物． 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，根据题意得出，求出点的坐标．将点代入，求出即可． （2）由题意知，点的坐标为，根据无人机开启紧急避障模式后飞行轨迹不变，求出表达式为，令，求出最晚开启紧急避障模式的水平距离，结合点A的坐标为，即可解答． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴点A的坐标为． ∵（千米）， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意知，点的坐标为， ∵无人机开启紧急避障模式后飞行轨迹不变， 将代入，则， 解得， ∴， 令， 解得或（舍去）， ∵点A的坐标为， （千米） 答：最多可以水平飞行千米后开启紧急避障模式，才能保证顺利越过障碍物． 18. 如图1，正方形，，点，分别是，的中点，连接．将绕点逆时针旋转，连接并延长，交的延长线于点． （1）如图2，求证：； （2）如图3，连接，交于点，连接，求证：； （3）如图4，当旋转至时，点经过的路线长度为_________． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 设与相交于点M，如图， ∵绕点逆时针旋转， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵四边形为正方形， ∴，O是中点， ∴， 由（1）知， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到、和，设与相交于点M，由旋转得 ，则有，即可利用证明，得和，结合对顶角得到； （2）根据正方形的性质得和，由（1）知，结合直角三角形的性质得到，即可得； （3）由（2）知，则点在以O为圆心，为半径上，作于点，得到和，进一步得到，则，求得和，再证明四边形是正方形，即当旋转角从变化到时，在上运动，利用勾股定理求得和，结合弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∴点在以O为圆心，为半径上， 作于点，如图， ∵，， ∴, ∴，， ∵，点恰好为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴点经过路线的长度为 ． 【点睛】本题主要考查正方形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理、弧长公式等知识点，解题的关键是找到对应点的路径和正方形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $