2026年内蒙古自治区北京一零一中呼和浩特分校初中学业水平考试考前质量监测数学学科

**基本信息** 内蒙古2026初三数学三模卷以月洞门、人工智能、神舟十四号等为情境，通过函数建模、几何推理、统计分析考查数学眼光、思维与语言，适配中考冲刺综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称图形、科学记数法、光学反射、圆的弧长|博物馆标志考图形性质，AI参数考科学记数法| |填空题|4/12|反比例函数、弧长计算、烷烃化学式规律、四边形面积|神舟十四号运行考弧长，烷烃化学式考代数规律| |解答题|6/64|统计分析、碗叠放函数建模、圆切线证明、二次函数应用|碗叠放问题考模型意识，三问几何探究考推理能力|

内蒙古2026年初中学业水平考试第三次质量监测 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( 帛。 【答案】C 【解析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转 后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的定义和图案 特点即可解答。 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意： C、是中心对称图形，故选项正确，符合题意： D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意， 故选：C 2.V81的算术平方根是( A.±9 B.士3 C.9 D.3 【答案】D 第1页，共17页 【解析】解：√81=9， 又（士3）2=9， 9的平方根是±3， ∴9的算术平方根是3. 即V8I的算术平方根是3. 故选：D 首先根据算术平方根的定义求出√81的值，然后即可求出其算术平方根， 此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道√⑧I的值，实际上这个题是求9的算术平方根 是3注意这里的双重概念 3.ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智 能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模 CHATGPT 型、大数据、大算力，其技术底座有着多达1750亿个模型参数， ⑤OpenAI 数据1750亿用科学记数法表示为( A.1.75×103 B.1.75×1011 C.1750×108 D.1.75×1012 【答案】B 【解析】【分析】 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤a<10,n为整 数，表示时关键要正确确定ā的值以及n的值. 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤a<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变 成a时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解答即可. 【解答】 解：1750亿=175000000000=1.75×1011 4.如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB/OA,∠CBO=122°， ∠BON=90°，则入射角∠AON的度数为( A.22° B.32° C.35 D.122° 【答案】B 第2页，共17页 【解析】解：~CB/IOA ·∠CB0=∠B0A=122°， B0N=90°， LA0N=122。-90°=32°， 故选：B 根据平行线的性质得出∠CB0=∠BOA=122°，结合图形即可求解. 本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键， 5.月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采 用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功 能（如图1），图2是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为1，点0是 圆心，点A,B均在格点上.若OB=AB,优弧AB所对的圆心角为∠1，则优弧AB的长为() 图1 图2 A号 B警 c D晋 【答案】B 【解析】证明△AOB为等边三角形，可得OA=AB=2,∠AOB=60°，从而得到∠1=360°- ∠AOB=300°，再由弧长公式解答即可. 【详解】解：根据题意得：AB=2, .OB=AB,OA=OB, ·△AOB为等边三角形， ∴0A=AB=2,∠AOB=60°， ∴.∠1=360°-∠A0B=300°， 优弧AB的长为30rOA=300x2=10m 180 1803 第3页，共17页 6.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm,当重物上升6mcm时滑轮的一条半径OA绕轴心 0按逆时针方向旋转的角度约为( A.36° B.54° C.72° D.108° 【答案】D 【解析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键， 重物上升6πcm,即弧长是6πcm,利用弧长公式即可求解. 【详解】解：设旋转角度为n°，由题意得， n10=6T, 180 解得n=108°. 故选D. 7为比较A,B两个保温杯的保温性能，物理实验小组的同学在两个保温杯中分别倒入相同毫升、相 同温度的热水，用温度计测量其初始温度为yo℃，示数如图甲所示，绘制水温y(C)随时间x)的变 化图象如图乙所示.下列说法中错误的是( (C) o 80 65 50- 30 B -70 6 24 x 甲 A.y0=80 B.A保温杯的保温性能更好 C.当时间从6h增加到24h时，B保温杯的水温变化比A保温杯大15C D.当0≤x≤6时，水温随时间的增大而降低 【答案】C 【解析】解：对于选项A:由温度计的读数可知，yo=80,故A正确； 第4页，共17页 对于选项B:由图象可知，24h内A保温杯的曲线高于B保温杯的曲线，因此A保温杯的保温性能更 好，故B正确： 对于选项C:从增加到24h时，A保温杯温度变化为65-24=41（°C),B保温杯温度变化为50- 24=26(C), 41-26=15(C), ∴B保温杯的水温变化比A保温杯小15C,故C错误： 对于选项D:由图可知，当0≤x≤6时，水温随时间的增大而降低，故D正确. 8.在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若 其中一条抛物线的表达式为y=x2-4x+m,则m的值为( A.2或-6 B.-2或6 C.2或6 D.-2或-6 【答案】C 【解析】一条抛物线的函数表达式为y=x2-4x+m, 这条抛物线的顶点坐标为(2，m-4), 关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(-2，m-4), 它们的顶点与原点的连线互相垂直， ÷2×[22+(m-4)]=42,整理得m2-8m+12=0, 解得m=2或m=6, ∴m的值是2或6. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,y1),B(2,y)在反比例函数y=k≠0)的图象上，且y1>y2, 请你写出一个符合要求的k的值 【答案】-1（答案不唯一） 【解析】解：点A(-1,y1),B(2,y)在反比例函数y=k≠0)的图象上，且y1>y2: ∴点A(-1,y1)在第二象限，点B(2,y2)在第四象限， 反比例函数y=k≠O)的图象在第二、四象限， k<0, ÷k的值可以为-1. 第5页，共17页 故答案为：-1（答案不唯一）. 根据点的坐标特点得出反比例函数y=k≠0)的图象在第二、四象限，根据反比例函数的性质得出 k<0. 此题考查的是反比例函数的性质及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，熟知反比例函数的性质 是解题的关键。 10.“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以 来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务.如图，当“神舟”十四号 运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，己知 P℉=km,∠P0Q=20,c0s20°≈0.9，则圆心角∠P0Q所对的弧长约为一km(结果保留m. 【答案】元 【解析】解：设OP=OQ=rkm. 由题意，FQ是⊙O的切线， ..FQ L OQ, “co☑FoQ-g器 099 .r=6400, ÷P0的长=20Xx640=6400L 180 9 故答案为：π 设OP=OQ=rkm.由FQ是⊙O的切线，可得cos∠FOQ=,由此构建方程求出r,再利用弧长公式 OF 求解 本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解。 第6页，共17页 11.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷，乙烷，丙 烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷）.甲烷的化学式为CL,乙烷 的化学式为CH6,丙烷的化学式为CHg,其分子结构模型如图所示，按照此规律，十三烷的化学式 为 @ @① ①①@ ①①① ①@ ①(c@ @-(C(C①①-(C(C(C① ①-C)(C(CC·C(C① @ ①① ①①① ①①血 ①① 甲烷 乙烷 丙烷 【答案】C1H8 【解析】本题考查图形类的变化类.根据图形，可以写出C和H的个数，然后即可发现C和H的变 化特点，从而可以写出十三烷的化学式， 【详解】解：由图可得， 甲烷的化学式中的C有1个，H有2+2×1=4（个）， 乙烷的化学式中的C有2个，H有2+2×2=6（个） 丙烷的化学式中的C有3个，H有2+23=8（个）， ·十三烷的化学式中的C有13个，H有2+2×13=28（个）， 即十三烷的化学式为C1H28: 故答案为：C13H28 12.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,AC为对角线，点E,F,G分别为AD,AC,CD上的 点.若AE=EF,∠DEF+∠DGF=180°，则四边形DEFG面积的最大值为 E G B 【答案】12 【解析】根据矩形性质及勾股定理求出AC的长及∠DAC的三角函数值，由四边形内角和及已知条件 证得∠EFG=90°，利用等腰三角形性质及互余关系证得△CFG为等腰三角形，设AE=x,分别表示 出4AEF和△CFG的面积，构建关于x的二次函数，利用二次函数性质求最值即可. 【详解】解：四边形ABCD是矩形， .CD=AB=6,∠D=90°， 第7页，共17页 在Rt4ADC中，AC=√AD2+CD=V82+6=10, 设☑DAC=a,则com=是-专sa=器-号ma=需- ∠DEF+∠DGF=180°，∠D=90°，四边形DEFG的内角和为360°， ·∠EFG=360°-(LD+∠DEF+∠DGF)=90°， AE=EF, ∠EFA=LEAF=a, ∴.∠CFG=180°-∠EFA-∠EFG=90°-a, 又FCG=∠ACD=90°-∠DAC=90°-a, ·LCFG=FCG, ..FG=CG, 过点G作GH 1 AC于点H, B .CH=-CF, 在RECGH中，cG=cH-E-CR, Cos_FCG sina 6 设AE=x,则EF=x,过点E作EM1 AC于点M,则AM=AE:cosa=x AF=2AM=x,CF=AC-AF=10-x, CH=CF=5-x, S.A即=ApEM=×xxx=号x2,S.cra=C:G=×(10-x)×(得-普x)=10- 刘 ÷S四边形DEFG=S.ADC-SAEF-S.CpG x8×6-号-0别 1 第8页，共17页 =24- 层e+(o-x+答* =24-（ 32,100 3X+3 4 3228 =-3x+3x-3 =-8-4)2+12, ”0, 当x=4时，S四边形DE心取得最大值，最大值为12。 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分)计算与化简： ()'+s-W2- (2)x-y)2-x(x-2y). 【答案】(1)解：原式=-3+2-√2+1 3分 =-√2 5分 (2)解：原式=x2-2y+y2-x2+2xy 3分 =y2. 2分 14.(本小题7分) 联合国新闻部将每年4月20日中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖” 仓颉造字的贡献，某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行 了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生 的竞赛成绩（用x表示，百分制）分成四组：A.80≤x≤85；B.85<x≤90：C.90<x≤95： D.95<×≤100，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据 七年级20名学生的竞赛成绩是：81,86,99,95,89,99,98,82,88,99,80,86,97,94， 88,99,99,83,88,100: 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94,94,91,93,95,91： 整理数据 第9页，共17页 七年级20名学生竞赛成绩八年级20名学生竞赛 频数分布直方图 成绩扇形统计图 频数/人 10% 6 A\B 206a 2 40% 80859095100成绩/分 ① ② 分析数据 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91.5 91.5 99 八年级 92 100 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，填空：Q=一，m=一： (2)若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动，试估计参加此次竞赛活动学生获 得成绩的平均分： (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并 说明理由（写出一条即可） 【答案】(1)解：七年级D组的人数为：20-4-6-2=8（人）， 补全条形统计图如下： 七年级20名学生竞赛成绩 频数分布直方图 频数/人 8 6 4 2 0 80859095100成绩/分 .1分 a=360×品=108 2分 20×(20%+106=6(人)， 将八年级20人的竞赛成绩从第到高排列，则八年级的中位数位于C组的第4位和5位的平均数： m=444=94: 3分 (2)解：00x915+40x92=91.7(分) 600+400 4分 第10页，共17页 答：参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为91.7分： 5分 (3)解：八年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多. 6分 理由：八年级所抽学生的平均成绩大于七年级的平均成绩.（从中位数或者从众数的角度分析均 可.）7分 【解析】 1.先算出七年级D组的人数，即可补全条形统计图；利用八年级C组的人数的占比乘以360即可求 出a:根据中位数的定义求解m: 2.根据加权平均数的定义求解即可： 3.利用平均数作决策即可. 15.(本小题10分) 小华家有15个相同的碗，阅读以下信息，完成任务 信息一：图1是6个碗整齐叠放的示意图信息二：图2是6个碗叠放的总高度y(c)和碗的数量 (个)的函数图象 y(cm) cm 4.5 0123456(个) 图1 图2 根据以上信息，完成以下任务： (I)任务一：写出碗叠放的总高度y(cm)和碗的数量x(个)的函数表达式： (2)任务二：碗柜某隔层的内部净高为20c,底面足够大，能否将15个碗分成两摞叠放，并放入该隔 层？并说明理由， 【答案】(1y=2X+4.54分 (2)解：将15个碗分成两摞叠放，一摞7个碗，另一摞8个碗， 6分 当x=7时，y=2×7+4.5=18.5<20, .7分 当X=8时，y=2X8+4.5=20.5>20,9分 ∴.将15个碗分成两摞叠放，不能全部放入该隔层. ….10分 【解析】 1.由图1知：增加一个碗，总高度增加8÷4=2cm,由图2知：当x=0时，y=4.5,且y与x是一 次函数，据此求解即可： 第11页，共17页 解：由图1知：增加4个碗，总高度增加8cm, 每增加一个碗，总高度增加8÷4=2cm, 由图2知：当x=0时，y=4.5,且y与x是一次函数， y=2x+4.5: 2.把x=7,x=8分别代入(1)所求函数解析式，即可判断. 16.(本小题12分) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E,连接DB,AC,过点C作DB的垂线，交DB的延 长线于点F,且∠ABD=2∠BDC. D ○ B (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为V5,tanBDC=号，求线段OE的长. 【答案】(1)证明：连接OC,则∠BOC=2∠BDC, D ∠ABD=2LBDC, ·∠BOC=∠ABD, ∴.OC/DB, 2分 CF 1 DB. ∠F=90°， ∠0C℉=180°-∠F=90°， .4分 OC是⊙O的半径，且CF1OC, 六CF是⊙0的切线.6分 第12页，共17页 (2)解：AB是⊙O的直径，⊙0的半径为V5, ∠ACB=90°，OC=OB=√5，AB=2V5, LA=∠BDC, 一器=mA=m∠BDc= 8分 ∴AC=2BC, ∴AB=VAC+BC=√(2BC)P+BC=V5BC=2W5, ∴.BC=2, ∠FCB+LOCB=90°，∠A+∠ABC=90°，且LOCB=∠ABC, ·∠FCB=∠A=∠BDC, 器=m2RcB=am4BDC-器-，一10分 .CF =2BF, ∴BC=√CF2+BF=√(2BFy+BF2=V5BF=2, BF-5 ÷DF=2Cp=4BF=4x2=8 5 BD=DF-BF=8V3_2V5=V3 .OC//DB, ∴aOCE△BDE, B配D 5 .OE= B=xV厅- 5+6 11 ,线段OE的长是二 12分 11 【解析】 1.此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定 与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键 连接OC,由∠BOC=2LBDC,LABD=2LBDC,得LBOC=∠ABD,则OC/DB,所以LOCF= 180°-∠F=90°，即可证明CF是⊙0的切线： 第13页，共17页 2由AB是O0的直径，0C=OB=V5,得∠ACB=9,AB=2V5,=tanA=tn∠BDC= 得AC=2BC,则AB=VBC=2V,求得BC=2,器=-tm/FCB=am∠BDC=器-得CF= 2BF,则BC=V5BF=2,求得BF=S,则DF=,BD=S再证明0CE·BDE,得 器-求得0- 11 17.(本小题12分) 用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物 线的运动路径.如图1，小辰站在河边的安全位置用一石头打水漂，石头在空中飞行的高度y(m)与水 平距离x()之间的关系如图2所示.石头第1次与水面接触的点为A,运动路径近似为抛物线C1, 且C1:y=-x2+x+1,石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为B,运动路径近似为抛物线 C2,若点B的坐标为(7,0)，C2的最高点距离水面0.8m.(小辰所站地面、水面在同一水平面，且石头近 似看作点) Ay/m 9 C2 x/m 图1 图2 (1)求抛物线C,的函数表达式： (2)若横坐标为4m的位置处有一只水鸭，水鸭的身体高出水面0.3m,判断该石头能否飞越水鸭. 【答案】)解：Cy=-x2+x+1, 当y=-x2+x+1=0时，解得x=-1,x,=3, 3分 ∴.A(3,0), B(7,0) ∴抛物线C,的对称轴为直线x=7=5, .抛物线C2的顶点坐标为(5,0.8)，… .6分 .设C2:y=a(x-5)2+0.8, 把B(7,0)代入，得a(7-5)2+0.8=0,解得a=-0.2, 第14页，共17页 .C2:y=-0.2(x-5)2+0.8: 8分 (2)解：由(1)知：y=-0.2(x-5)2+0.8, 9分 ∴.当x=4时，y=-0.2×(4-5)2+0.8=0.6, 10分 0.6>0.3, ,该石头能飞越水鸭. 12分 【解析】 1.先求出A点坐标，进而求出C,的顶点坐标，待定系数法求出函数解析式即可： 2.求出x=4时的函数值，进行判断即可. 18.(本小题13分) (1)用数学的眼光观察 如图①，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点. 求证：∠PMN=∠PNM. (2)用数学的思维思考 如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点F求证： LAEM=∠F. (3)用数学的语言表达 如图③，在△ABC中，AC<AB,点D在AC上，AD=BC,M是AB的中点，N是DC的中点，连 接MN并延长，与BC的延长线交于点G,连接GD.若∠ANM=60°，试判断△CGD的形状，并进行 证明. M M 图① 图② 图③ 【答案】(I)证明：~P是BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点， PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线， ..PN=BC,PM=AD, 2分 AD=BC, 第15页，共17页 ..PM=PN, ∠PMN=∠PNM; 4分 (2)证明：由(I)知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线， ·PN/BC,PM//AD, ∴.∠PNIM=∠F,∠PMN=∠AEM, .6分 ∠PNM=∠PN, ∴∠AEM=LF: 8分 (3)解：△CGD是直角三角形， 9分 理由如下： 如图③，连接BD,取BD的中点P,连接PM、PN, 图③ :N是CD的中点，M是AB的中点， ∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线， .10分 .PN//BC,PN=BC,PM//AD,PM=AD, .AD=BC .PM=PN, ·∠PNM=∠PMN, 11分 PM∥AD, ∴∠PMN=∠ANM=60°， ∴∠PNM=∠PMN=60°， .PN//BC, .∠CGN=∠PNM=60°， 又∠CNG=∠ANM=60°， △CGN是等边三角形. 12分 第16页，共17页 ∴.CN=GN, 又CN=DN, ..DN GN, ∴LNDG=∠NGD=号LCNG=30°， ∴∠CGD=∠CGN+∠NGD=90°， △CGD是直角三角形.… .13分 【解析】(I)证PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，则PN=,BC,PM=,AD,再证 PM=PN,即可得出结论： (2)由三角形中位线定理得PN/BC,PM//AD,再由平行线的性质得∠PNM=∠F,∠PMN=∠AEM, 然后由(I)可知∠PNM=PMN,即可得出结论： (3)连接BD,取BD的中点P,连接PM、PN,由三角形中位线定理得PN/BC,PN=BC,PMW AD,PM=AD,再证△CGN是等边三角形.得CN=GN,则DN=GN,然后由等腰三角形的性质 得∠NDG=∠NGD=30°，则LCGD=∠CGN+∠NGD=90°，即可得出结论. 本题是四边形综合题目，考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形 的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的判定与性质是解题 的关键，属于中考常考题型. 第17页，共17页 内蒙古2026年初中学业水平考试第三次质量监测 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1、 选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是(     ) A. B. C. D. 2.的算术平方根是(     ) A. B. C. D. 3.是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达亿个模型参数，数据亿用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 4.如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为(     ) A. B. C. D. 5.月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功能如图，图是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为，点是圆心，点，均在格点上．若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为(     ) A. B. C. D. 6.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为(     ) A. B. C. D. 7.为比较，两个保温杯的保温性能，物理实验小组的同学在两个保温杯中分别倒入相同毫升、相同温度的热水，用温度计测量其初始温度为示数如图甲所示，绘制水温随时间的变化图象如图乙所示．下列说法中错误的是(     ) A. B. 保温杯的保温性能更好 C. 当时间从增加到时，保温杯的水温变化比保温杯大 D. 当时，水温随时间的增大而降低 8.在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为，则的值为(     ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的的值             ． 10.“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务如图，当“神舟”十四号运行到地球表面点的正上方的点处时，从点能直接看到的地球表面最远的点记为点，已知，，，则圆心角所对的弧长约为          结果保留． 11.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷，乙烷，丙烷当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十三烷的化学式为           ． 12.如图，在矩形中，，，为对角线，点，，分别为，，上的点．若，，则四边形面积的最大值为           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算与化简： ． 14.本小7分 联合国新闻部将每年月日中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献，某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩用表示，百分制分成四组：．；．；．；．，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据 七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，； 整理数据 分析数据 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： 补全频数分布直方图，填空：          ，          ； 若该中学七年级有人，八年级有人参加了此次竞赛活动，试估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分； 根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由写出一条即可． 15.本小10分 小华家有个相同的碗，阅读以下信息，完成任务 信息一：图是个碗整齐叠放的示意图信息二：图是个碗叠放的总高度和碗的数量个的函数图象    根据以上信息，完成以下任务： 任务一：写出碗叠放的总高度和碗的数量的函数表达式：          ． 任务二：碗柜某隔层的内部净高为，底面足够大，能否将个碗分成两摞叠放，并放入该隔层？并说明理由． 16.本小题分 如图，是的直径，弦与交于点，连接，，过点作的垂线，交的延长线于点，且． 求证：是的切线； 若的半径为，，求线段的长． 17.本小题分 用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图，小辰站在河边的安全位置用一石头打水漂，石头在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．石头第次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且，石头在水面上弹起后第次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，若点的坐标为，的最高点距离水面小辰所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点 求抛物线的函数表达式； 若横坐标为的位置处有一只水鸭，水鸭的身体高出水面，判断该石头能否飞越水鸭． 18.本小题分 用数学的眼光观察 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点求证：． 用数学的思维思考 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点求证：． 用数学的语言表达 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接若，试判断的形状，并进行证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $内蒙古2026年初中学业水平考试第三次质量监测 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题， 每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( 2.√81的算术平方根是( A.±9 B.±3 C.9 D.3 3.ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具， ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达1750亿个模型参数，数据 1750亿用科学记数法表示为( ) A.1.75×103 B.1.75×1011 C.1750×108 D.1.75×1012 CHATGPT OpenAI 第1页，共9页 4.如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB/OA,∠CB0=122°， ∠BON=90°，则入射角∠AON的度数为() A.22° B.32° C.35。 D.122° 5.月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采 用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功 能（如图1），图2是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为1，点O是 圆心，点A,B均在格点上.若OB=AB,优弧AB所对的圆心角为∠1，则优弧AB的长为 06 B 图1 图2 A号 B. C.5n 6 D号 6.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm,当重物上升6πcm时滑轮的一条半径OA绕轴 心O按逆时针方向旋转的角度约为( LUIUUUUUU OL A.36° B.54° C.72 D.108 第2页，共9页 7为比较A,B两个保温杯的保温性能，物理实验小组的同学在两个保温杯中分别倒入相同毫升、相 同温度的热水，用温度计测量其初始温度为y℃，示数如图甲所示，绘制水温y(C)随时间x)的变 化图象如图乙所示.下列说法中错误的是( A(C) 65 80 50 B 30 70 6 24 x(h) 甲 乙 A.yo=80 B.A保温杯的保温性能更好 C.当时间从6h增加到24h时，B保温杯的水温变化比A保温杯大15°C D.当0≤x≤6时，水温随时间的增大而降低 8.在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若 其中一条抛物线的表达式为y=x2-4x+m,则m的值为( A.2或-6 B.-2或6 C.2或6 D.-2或-6 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,y),B(2,y)在反比例函数y-k≠0)的图象上，且y1>y2, 请你写出一个符合要求的k的值 10.“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以 来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务如图，当“神舟”十四号 运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知 P℉=6km,∠F0Q=20°，c0s20°≈0.9，则圆心角∠P0Q所对的弧长约为 km(结果保留 ). 第3页，共9页 11烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷，乙烷，丙 烷.（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷）.甲烷的化学式为CL,乙烷 的化学式为C,H,丙烷的化学式为C3H3,其分子结构模型如图所示，按照此规律，十三烷的化学式 为 @ @① ①①① ①①① @① ①-⊙@①-©⊙@ @(C(⊙(C@ @-©©©©.©©@ ⑧ ①@ ①面① ①①① @@ 甲烷 乙烷 丙烷 12.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,AC为对角线，点E,F,G分别为AD,AC,CD上的 点.若AE=EF,∠DEF+∠DGF=180°，则四边形DEFG面积的最大值为 D G B 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分)计算与化简： (-)+s-W2- (2)(x-y)2-x(x-2y). 第4页，共9页 14.(本小7分) 联合国新闻部将每年4月20日中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖” 仓颉造字的贡献，某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行 了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生 的竞赛成绩（用x表示，百分制）分成四组：A.80≤x≤85；B.85<x≤90：C.90<x≤95； D.95<x≤100，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据 七年级20名学生的竞赛成绩是：81,86,99,95,89,99,98,82,88,99,80,86,97,94， 88,99,99,83,88,100: 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94,94,91,93,95,91： 整理数据 七年级20名学生竞赛成绩 八年级20名学生竞赛 频数分布直方图 成绩扇形统计图 频数/人 10% A\B 6 C 20%V D 0/ 40% 80859095100成绩/分 ① ② 分析数据 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91.5 91.5 99 八年级 92 m 100 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，填空：ā= ,m= (2)若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动，试估计参加此次竞赛活动学生获 得成绩的平均分： 第5页，共9页 (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并 说明理由（写出一条即可）. 15.(本小10分) 小华家有15个相同的碗，阅读以下信息，完成任务 信息一：图1是6个碗整齐叠放的示意图信息二：图2是6个碗叠放的总高度y(c)和碗的数量 k(个)的函数图象 y(cm) 8cm 4.5 0123456x(个) 图1 图2 根据以上信息，完成以下任务： (1)任务一：写出碗叠放的总高度y(c)和碗的数量x(个)的函数表达式：_ (2)任务二：碗柜某隔层的内部净高为20cm,底面足够大，能否将15个碗分成两摞叠放，并放入该隔 层？并说明理由、 第6页，共9页 16.(本小题12分) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E,连接DB,AC,过点C作DB的垂线，交DB的延 长线于点F,且∠ABD=2∠BDC. D B ◇F (1)求证：CF是⊙O的切线： (2)若⊙0的半径为√5，tam∠BDC=, 求线段OE的长. 第7页，共9页 17.(本小题12分) 用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物 线的运动路径.如图1，小辰站在河边的安全位置用一石头打水漂，石头在空中飞行的高度y()与水 平距离x(m)之间的关系如图2所示.石头第1次与水面接触的点为A,运动路径近似为抛物线C1, 且C1:y=-x2+x+1,石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为B,运动路径近似为抛物线 C2,若点B的坐标为(7,0)，C,的最高点距离水面0.8m.(小辰所站地面、水面在同一水平面，且石头近 似看作点) Ay/m C2 A x/m 图1 图2 (1)求抛物线C,的函数表达式： (2)若横坐标为4m的位置处有一只水鸭，水鸭的身体高出水面0.3m,判断该石头能否飞越水鸭. 第8页，共9页 18.(本小题13分) (1)用数学的眼光观察 如图①，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点. 求证：∠PMN=∠PNM, (2)用数学的思维思考 如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点F求证： ∠AEM=∠F (3)用数学的语言表达 如图③，在△ABC中，AC<AB,点D在AC上，AD=BC,M是AB的中点，N是DC的中点，连 接MN并延长，与BC的延长线交于点G,连接GD.若∠ANM=60°，试判断△CGD的形状，并进行 证明. D 0 D M M 图① 图② 图③ 第9页，共9页 内蒙古2026年初中学业水平考试第三次质量监测 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1、 选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答． 【详解】解：、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； C、是中心对称图形，故选项正确，符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意． 故选：． 2.的算术平方根是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， 又， 的平方根是， 的算术平方根是． 即的算术平方根是． 故选：． 首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根． 此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道的值，实际上这个题是求的算术平方根是注意这里的双重概念． 3.是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达亿个模型参数，数据亿用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解答即可． 【解答】 解：亿 4.如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解： ， ， ， 故选：． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 5.月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，又称圆洞门、月亮门、月光门，其形如满月，门框采用磨砖对缝工艺，不设门扇与门槛，主要作为建筑群入口或分隔院落的交通孔道，兼具通行与框景功能如图，图是其在由小正方形组成的网格中的平面示意图，每个小正方形的边长均为，点是圆心，点，均在格点上．若，优弧所对的圆心角为，则优弧的长为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】证明为等边三角形，可得，，从而得到，再由弧长公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ，， 为等边三角形， ，， ， 优弧的长为． 6.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 7.为比较，两个保温杯的保温性能，物理实验小组的同学在两个保温杯中分别倒入相同毫升、相同温度的热水，用温度计测量其初始温度为示数如图甲所示，绘制水温随时间的变化图象如图乙所示．下列说法中错误的是(     ) A. B. 保温杯的保温性能更好 C. 当时间从增加到时，保温杯的水温变化比保温杯大 D. 当时，水温随时间的增大而降低 【答案】C  【解析】解：对于选项A：由温度计的读数可知，，故 A正确； 对于选项B：由图象可知，内保温杯的曲线高于保温杯的曲线，因此保温杯的保温性能更好，故B正确； 对于选项C：从增加到时，保温杯温度变化为，保温杯温度变化为， ， 保温杯的水温变化比保温杯小，故 C错误； 对于选项D：由图可知，当时，水温随时间的增大而降低，故 D正确． 8.在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为，则的值为(     ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】一条抛物线的函数表达式为， 这条抛物线的顶点坐标为， 关于轴对称的抛物线的顶点坐标为， 它们的顶点与原点的连线互相垂直， ，整理得， 解得或， 的值是或． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的的值             ． 【答案】答案不唯一  【解析】解：点，在反比例函数的图象上，且， 点在第二象限，点在第四象限， 反比例函数的图象在第二、四象限， ， 的值可以为． 故答案为：答案不唯一． 根据点的坐标特点得出反比例函数的图象在第二、四象限，根据反比例函数的性质得出． 此题考查的是反比例函数的性质及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 10.“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务如图，当“神舟”十四号运行到地球表面点的正上方的点处时，从点能直接看到的地球表面最远的点记为点，已知，，，则圆心角所对的弧长约为          结果保留． 【答案】  【解析】解：设   由题意，是的切线，  ，  ，  ，  ，  的长  故答案为： 设 由是的切线，可得，由此构建方程求出，再利用弧长公式求解． 本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解． 11.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷，乙烷，丙烷当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十三烷的化学式为           ． 【答案】  【解析】本题考查图形类的变化类．根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十三烷的化学式． 【详解】解：由图可得， 甲烷的化学式中的有个，有个， 乙烷的化学式中的有个，有个， 丙烷的化学式中的有个，有个， ， 十三烷的化学式中的有个，有个， 即十三烷的化学式为， 故答案为：． 12.如图，在矩形中，，，为对角线，点，，分别为，，上的点．若，，则四边形面积的最大值为           ． 【答案】  【解析】根据矩形性质及勾股定理求出的长及的三角函数值，由四边形内角和及已知条件证得，利用等腰三角形性质及互余关系证得为等腰三角形，设，分别表示出和的面积，构建关于的二次函数，利用二次函数性质求最值即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 在中，， 设，则，，， ，，四边形的内角和为， ， ， ， ， 又， ， ， 过点作于点， ， 在中，， 设，则，过点作于点，则， ，， ， ，， ，， ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算与化简： ． 【答案】(1)解：原式.......................................................3分 .......................................................5分 (2)解：原式.......................................................3分 ．.......................................................2分 14.本小题分 联合国新闻部将每年月日中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献，某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩用表示，百分制分成四组：．；．；．；．，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据 七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，； 整理数据 分析数据 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： 补全频数分布直方图，填空：          ，          ； 若该中学七年级有人，八年级有人参加了此次竞赛活动，试估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分； 根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由写出一条即可． 【答案】(1)解：七年级D组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： .......................................................1分 ；.......................................................2分 （人）， 将八年级20人的竞赛成绩从第到高排列，则八年级的中位数位于C组的第4位和5位的平均数： ∴；.......................................................3分 (2)解：（分）.......................................................4分 答：参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为分；.......................................................5分 (3)解：八年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多．.......................................................6分 理由：八年级所抽学生的平均成绩大于七年级的平均成绩．（从中位数或者从众数的角度分析均可．）.......................................................7分 【解析】  先算出七年级组的人数，即可补全条形统计图；利用八年级组的人数的占比乘以即可求出；根据中位数的定义求解；  根据加权平均数的定义求解即可；  利用平均数作决策即可． 15.本小题分 小华家有个相同的碗，阅读以下信息，完成任务 信息一：图是个碗整齐叠放的示意图信息二：图是个碗叠放的总高度和碗的数量个的函数图象    根据以上信息，完成以下任务： 任务一：写出碗叠放的总高度和碗的数量的函数表达式：          ． 任务二：碗柜某隔层的内部净高为，底面足够大，能否将个碗分成两摞叠放，并放入该隔层？并说明理由． 【答案】(1)......................................................4分 (2)解：将15个碗分成两摞叠放，一摞7个碗，另一摞8个碗，.......................................................6分 当时，，.......................................................7分 当时，，.......................................................9分 ∴将15个碗分成两摞叠放，不能全部放入该隔层........................................................10分 【解析】  由图知：增加一个碗，总高度增加，由图知：当时，，且与是一次函数，据此求解即可； 解：由图知：增加个碗，总高度增加， 每增加一个碗，总高度增加， 由图知：当时，，且与是一次函数， ；  把，分别代入所求函数解析式，即可判断． 16.本小题分 如图，是的直径，弦与交于点，连接，，过点作的垂线，交的延长线于点，且． 求证：是的切线； 若的半径为，，求线段的长． 【答案】(1)证明：连接，则，    ， ， ，.......................................................2分 ， ， ，.......................................................4分 是的半径，且， 是的切线．.......................................................6分 (2)解：是的直径，的半径为， ，，， ， ，.......................................................8分 ， ， ， ，，且， ， ，.......................................................10分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长是．.......................................................12分 【解析】  此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线；  由是的直径，，得，，由，得，则，求得，由，得，则，求得，则，，再证明，得，求得． 17.本小题分 用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图，小辰站在河边的安全位置用一石头打水漂，石头在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．石头第次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，且，石头在水面上弹起后第次与水面接触的点为，运动路径近似为抛物线，若点的坐标为，的最高点距离水面小辰所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点 求抛物线的函数表达式； 若横坐标为的位置处有一只水鸭，水鸭的身体高出水面，判断该石头能否飞越水鸭． 【答案】(1)解：∵， ∴当时，解得，.......................................................3分 ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为，.......................................................6分 ∴设， 把代入，得，解得， ∴；.......................................................8分 (2)解：由（1）知：，.......................................................9分 ∴当时，，.......................................................10分 ∵， ∴该石头能飞越水鸭．.......................................................12分 【解析】  先求出点坐标，进而求出的顶点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；  求出时的函数值，进行判断即可． 18.本小题分 用数学的眼光观察 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点求证：． 用数学的思维思考 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点求证：． 用数学的语言表达 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】证明：是的中点，是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，.......................................................2分 ， ， ；.......................................................4分 证明：由知，是的中位线，是的中位线， ，， ，，.......................................................6分 ， ；.......................................................8分 解：是直角三角形，.......................................................9分 理由如下： 如图，连接，取的中点，连接、， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线，......................................................10分 ，，，， ， ，.......................................................11分 ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形．......................................................12分 ， 又， ， ， ， 是直角三角形． ......................................................13分 【解析】证是的中位线，是的中位线，则，，再证，即可得出结论； 由三角形中位线定理得，，再由平行线的性质得，，然后由可知，即可得出结论； 连接，取的中点，连接、，由三角形中位线定理得，，，，再证是等边三角形．得，则，然后由等腰三角形的性质得，则，即可得出结论． 本题是四边形综合题目，考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $