6.1 平行四边形的性质（分层题型专练，7夯基题型+6进阶题型+拓展培优）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 本同步练习以平行四边形性质为核心，通过基础理解、综合应用、拓展创新三层设计，构建从单一性质到跨情境综合应用的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|平行四边形角度、线段、周长等单一性质|以选择、填空为主，如利用性质求角度（题型一）、线段长（题型二）| |综合应用|性质与梯形、证明等结合|包含解答与证明题，如平行四边形性质证明（题型七）、梯形性质应用（题型五）| |拓展创新|动态几何、函数、折叠等跨情境问题|设计动态动点（题型四）、函数图像分析（题型二）等，发展模型意识与创新思维|

第六章 平行四边形 6.1 平行四边形的性质 （分层题型专练） 题型一 利用平行四边形的性质求角度 1．如图，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可求解，再根据平行四边形的性质可解． 【详解】解：∵是的高，且， ∴， 在中，， ∴ ． 2．如图，将的一边延长至点E，若，则=（    ） A．30° B．50° C．70° D．110° 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质，找到和的关系求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ． 3．如图，在中，连接对角线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．在中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行四边形中与相等，与相等，因此四个角的比中，对应与的份数相等，对应与的份数相等，据此筛选正确选项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴中，第一个角的度数等于第三个角的度数，第二个角的度数等于第四个角的度数．逐一对比选项，只有C选项符合条件． 5．如图，在平行四边形中，，垂足为点．如果，那么和分别等于多少度？ 【答案】， 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余，根据平行四边形的性质得到，根据得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 题型二 利用平行四边形的性质求线段长 1．如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（ 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出的值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ． 2．如图，的对角线、交于点O，且，则的长可能是（   ） A．12 B．16 C．10 D．8 【答案】D 【分析】先求出的值，再根据三角形的三边关系可得，据此解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由三角形的三边关系得：，即， 观察四个选项可知，只有选项D符合． 3．如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质；由平行四边形性质可得，又因为，可得是等腰三角形，即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 4．已知在中，是上一点，的周长是周长的一半，且，则的长为（   ） A．8 B．7 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，的周长为，周长为，根据的周长是周长的一半可以得到，即可求解． 【详解】解：在中，，， 根据题意可得，的周长为，周长为， 根据的周长是周长的一半可得， 可得， 又∵， ∴． 5．如图，在中，，过点B、D分别作，垂足分别为E、F．若，则的长为__________． 【答案】3 【分析】利用平行四边形的性质求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， 解得． 6．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积计算公式，以及同底等高的平行四边形与三角形之间的面积的数量关系，掌握以上知识是解题的关键．由得到，，由此可得，再根据，可得，最后将，，代入上式，可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 题型三 平行四边形的性质与周长问题 1．如图，在中，，，，则的周长是（   ） A．21 B．22 C．25 D．32 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴的周长． 2．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为10，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先利用平行四边形的性质得到边角关系，再由全等三角形的判定方法解题，求得的长，证明即可解题． 【详解】解：四边形是平行四边形，周长为10， 在与中 ， 则的周长 ． 3．如图，中，对角线与交于点交于点E，的周长是，则的周长是（    ）cm． A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得O是的中点，结合可说明为线段的中垂线，则，然后求出的周长即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴O是的中点． 又∵， ∴为线段的中垂线， ∴， 又∵的周长， ∴的周长， 又∵▱ABCD 的周长为， ∴， ∴的周长． 4．如图平行四边形的对角线与交于点 O，．求的周长． 【答案】的周长为． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴ ∴的周长． 题型四 平行四边形的性质与面积问题 1．如图，在中，于E，于F，且，，，则的面积为（     ） A．20 B．24 C．30 D．36 【答案】A 【分析】根据平行四边形的面积等于底乘高求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴的面积． 2．如图，的面积是20，则图中的阴影部分面积是（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【分析】过点E作于点F，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵的面积是20， ∴， ∴． 即图中的阴影部分面积是10． 3．如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由为的对称中心，则点三点共线，三点共线，，，所以，从而即可求出的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵为的对称中心， ∴点三点共线，三点共线，，， ∴， ∴的面积为． 4．如图，在中，点E为延长线上一点，连接、．若的面积为6，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设与之间的距离为，由，根据的面积为6，可推导出，进而解答即可． 【详解】解：设与之间的距离为， ， . 5．如图，设M是一边上的任意一点，，则的面积为_____________. 【答案】20 【分析】过点M作，交CD于点N，先根据平行四边形的判定可得四边形和四边形都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得． 【详解】解：如图，过点M作，交于点N， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ． 题型五 梯形的性质与应用 1．如图，四边形是等腰梯形，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是等腰梯形， ∴，，，故选项A、B、D不符合题意； 无法得出，故选项C符合题意 2．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 3．如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰梯形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：四边形是等腰梯形，， ，， 在和中， ∵， ， ， 结论一定成立的是． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质和全等三角形判定和性质，熟练掌握等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质证明线段或角相等是解题的关键． 4．如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 5．如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 【答案】5 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 6．如图，在梯形中，，．若，则__________ 【答案】 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补求出，再利用等腰梯形同一底上的角相等，得到． 【详解】解： ，， ， ， 梯形是等腰梯形， ． 7．唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”．堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”），即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺．已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为______尺． 【答案】5 【分析】过点作，垂足为，再利用勾股定理计算斜边即可． 【详解】如解图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， 在中，（尺）． 题型六 判断平行四边形的个数 1．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， , ， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：, 共6个． 2．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义即可求解． 【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、 GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形， 共9个， 故选：C． 【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 3．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 4．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 【详解】解：如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 5．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 题型七 利用平行四边形的性质进行证明 1．如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】先结合平行四边形的性质得，再证明，故，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴． 2．如图，在中，点在对角线上，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质证明即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，点是的中点，连接并延长，与的延长线相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的线段和平行线，根据平行线的性质得出相等的角，证明，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，平行四边形中，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，则有，再证出，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． 题型一 平行四边形中的个数规律问题 1．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题中信息找出规律，得到第n幅图的通式是解题关键． 根据后一幅图比前一幅图多出2个平行四边形，求出第n幅图中的平行四边形个数的通式，再代入100即可求出答案． 【详解】解：第1幅图中有1个， 第2幅图中有3个， 第3幅图中有5个， 第4幅图中有7个， 则第n幅图中有个， ∴第100幅图中共有：， 故选：C． 2．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 【答案】D 【分析】观察图形的变化可得7+3=10，10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，40+9=49即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有7+3=10个平行四边形， 第②个图形中一共有10+4=14个平行四边形， 第③个图形中一共有14+5=19个平行四边形， 第④个图形中一共有19+6=25个平行四边形， 则： 第⑤个图形中一共有25+7=32个平行四边形， 第⑥个图形中一共有32+8=40个平行四边形， 第⑦个图形中一共有40+9=49个平行四边形， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 3．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】B 【分析】观察图形的变化可得10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有10个平行四边形， 第②个图形中一共有14个平行四边形， 第③个图形中一共有19个平行四边形， 第④个图形中一共有25个平行四边形， 第⑤个图形中一共有32个平行四边形， 则第⑥个图形中平行四边形的个数为40． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 题型二 平行四边形与函数问题 1．如图1，点是边上一动点，沿→→→的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图2是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（     ） A．5 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据点是边上一动点，沿→→→的路径移动，可得出，，再根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：根据点的运动路径，可得出，， 又四边形是平行四边形， ∴， 设与间的距离是， 当点在上时，， 解得， 即与间的距离是． 2．如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图2所示，则（     ） A．37 B．36 C．17 D．16 【答案】B 【分析】由与之间的函数关系图可知点从点运动到点所用的时间为，，由平行四边形的性质，结合运动过程可得，，，结合运动过程可得点从点运动到点所用的时间为，分别过点，作的垂线于，交的延长线于，由，可得，由勾股定理得，证明，可得，，由勾股定理得，可得点从点运动到点所用的时间，即可求解． 【详解】解：由图2可知点从点运动到点所用的时间为， 点运动的速度为， ， 四边形为平行四边形，， ，，， 点从点运动到点所用的时间为， 点从点运动到点所用的时间为， ； 分别过点，作的垂线于，交的延长线于，则， 由图2知， ， 即， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ，， 在中，，， 由勾股定理得， 点从点运动到点所用的时间为， 点的运动时间为， ． 3．如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位长度，连接，记动点的运动时间为秒，的面积为，如图是关于的函数图像，则下列说法中错误的是（    ） A．的值 B．的周长为 C． 对边和之间的距离是 D．的面积为 【答案】C 【分析】根据图知，点从点的运动时间为秒，从点的运动时间为秒，即得 ， ，再根据平行四边形的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：由图知，点从点的运动时间为秒，从点的运动时间为秒， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点从点到达点的时间为 秒， ∴，故选项正确； ∵，， ∴的周长为，故选项正确； 设点到的距离为， 由图可知，当时，点与点重合，此时的面积为， 即， 解得， ∴对边和之间的距离是，故选项错误； ∴，故选项正确； 4．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，则________，的面积为________．      【答案】 6 【分析】根据图象，结合运动路程，把握好关键性节点，可知，，，过点B作于点，利用勾股定理求得，再根据求解． 【详解】解：根据图形和图象，当时，，故； 点P从点B运动到点D，行走路程为，； 当点P运动到点D时，，此时； 为等腰三角形，设中点为，连接， ， ， ． 题型三 平行四边形与折叠问题 1．如图，在中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的长为（   ）． A．6 B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】在中，推出，，由三角形内角和为推出，从而求出的长． 【详解】解：在中，，， ，，， ， 由折叠得，，，， ， ， F恰好为的中点， ， ， ， 在中，， ，即， ． 2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 【答案】 6 【分析】根据折叠得到，因为，可得，所以，进一步将线段转化即可求得． 【详解】解：将一张平行四边形纸片折叠，折痕为， ，， ， ， ， ， 周长为 ， 即 ． 3．如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当，，三点共线时，则的长是___________． 【答案】6 【分析】作于点，由翻折得，，进而得到相关线段长，再由勾股定理求得，，根据即可求解． 【详解】解：作于点，则， 由翻折得，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， 的长为6． 4．如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则______． 【答案】10 【分析】由折叠得到，利用平行线的性质得到，进而得到，等边三角形的性质，结合三角形的外角推出，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵平行四边形纸片， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 5．将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 【答案】6 【分析】由题意易得，，则有，然后通过折叠的性质可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． 由第一次折叠可得， ∴， ∴． 由第二次折叠可得， ∴， ∴． ， ∴， ∴． ， ∴． ， ∴， ∴． 6．如图，、分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的边的高是________． 【答案】 【分析】过点作于点，根据折叠的性质和平行四边形的性质证明是等边三角形，得到，再利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴ 即的边的高是． 题型四 平行四边形中的动态几何问题 1．如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，结合点在射线上运动，则．由题意可知，的对边为，从而得到方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 又∵， ∴的对边为，即， ∴， ∴， 解得或． 2．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)8 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点E， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，点Q在线段上，此时， 当时，点Q在线段的延长线上，此时； （3）解：∵以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴或， 解得：或； （4）解：当点Q在上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 当点Q在线段的延长线上时，当时，点P在上，，不能为钝角，不合题意； 当点Q在线段的延长线上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 综上所述：或时为钝角三角形． 3．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1) (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形． 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； （2）解：过点作，则：，    ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：，    ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：，    ∴， 解得：； 综上：或． 题型六 平行四边形中的最值问题 1．如图，在中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】设与相交于点O，过点O作于点，利用等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质推出，再利用勾股定理求出，利用垂线段最短求线段的最小值． 【详解】解：设与相交于点O，过点O作于点，如下图所示： ∵，， ∴， 四边形是平行四边形， 为对角线和的中点， ，， ∴当最小时，最小， 由，可得， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得， ∵， ∴根据垂线段最短可得，当时，线段有最小值2． ∴的最小值为． 2．如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是（   ） A． B． C．14 D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，证明，得出，从而将四边形的周长转化为；当时，最短，周长最小，利用直角三角形的性质求出的最小值即可解答． 【详解】解：四边形 是平行四边形， ， ， 在 和中， ， ， ， 四边形的周长为， ， 四边形的周长， 当取最小值时，四边形的周长最小， 当时，最短，此时等于平行线间的距离， 如图，过点作于点，则的最小值等于的长， 则， ∵， ∴， ∴， ， 的最小值为， 四边形周长的最小值为． 3．如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为___． 【答案】28 【分析】先将平行四边形的面积转化为两倍的面积，问题随之转化为求面积的最小值；再根据，确定点D的轨迹是以C为圆心、半径为2的圆；接着在中用勾股定理算出的长，再通过面积法求出点C到的高；根据垂线段最短，点D到的最短距离为该高减去圆的半径；最后将最短距离代入，即可算出平行四边形面积的最小值． 【详解】解：如图，过点C作，以C为圆心，2为半径画一段弧分别交于G，交于H， 设h是的边上的高． 由勾股定理得， 是边上的高， ， ， 以，为边， ， 当h最小时，四边形面积最小． 由垂线段最短可知，当时，h最小， 此时C，D，F三点共线， ， ． 题型七 平行四边形与作图 1．下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程 已知： 求作： 边上的中线． 作法：如图， （1）分别以点为圆心， 长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，与交于点,所以线段就是所求作的中线． 根据上述的作法， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明 证明： ∵ ∴四边形是平行四边形（① ） ∵ 与交于点 ∴（② ） ∴是的中线． 【答案】(1)见解析 (2)①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角线互相平分． 【分析】本题考查尺规作图，平行四边形的性质． （1）根据作图步骤作图即可； （2）由知，是根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形来判定的，而是根据平行四边形的对角线互相平分得出的． 【详解】（1）解：如图，线段就是所求作的中线 （2）证明： ∵ ∴四边形是平行四边形（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵ 与交于点 ∴（②平行四边形的对角线互相平分） ∴是的中线． 2．如图，是的对角线，请用尺规作图法在线段上找一点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线交于点E，连接即可． 【详解】解：如图，分别以 为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交于点E，连接， 则点为所作．    【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的定义，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造等腰直角三角形，可得角，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图中，四边形即为所求；    （2）解：如图中，四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 4．如图，已知点是边上一点．求作：平行四边形，使点在射线上，且． 【答案】见解析 【分析】过点B作BD⊥AN交AM于点D，分别以B，D为圆心，AD，AB为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，CD，四边形ABCD即为所求． 【详解】解：解：如图，平行四边形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定等知识，作出BD⊥AN是解本题的关键． 5．探究：如图1，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等． (2)直线EF是否将ABCD的面积分成二等份？试说明理由． (3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线是将的面积分成二等份，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，同样的方法可证出，，然后根据四边形的周长公式即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，从而可得，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得出结论； （3）连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ， 同理可证：， ， ， 四边形与四边形的周长相等． （2）解：直线是将的面积分成二等份，理由如下： 四边形是平行四边形， ， 在和中，， ， ， 由（1）已证：，， ，， ， 四边形与四边形的周长相等， 即直线将的面积分成二等份． （3）解：连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等，如图所示： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 6．仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） 如图，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． (1)利用平行四边形的性质（1）画出的中点F； (2)在上画出点H，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接平行四边形的对角线、交于点，连接延长交于点，点F即为所求中点； （2）连接延长交于点，点H即为所求，满足． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； 证明：四边形是平行四边形， ，，， ∴， ∴， ∴， ∵E为平行四边形的边的中点， ∴， ∴； （2）解：如图，点即为所求； 证明：四边形是平行四边形， 、， ， 在和中， ， ， ． 1．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴． 2．如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F；分别以B，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点G；连接并延长，交于点E．若，，则的长为（     ） A．10 B．11 C．14 D．20 【答案】C 【分析】由作图可知平分，由平行四边形可得，，，由平行线的性质，结合等角对等边，等量代换，可得，即可得的长． 【详解】解：由题中作图可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则（     ）. A．60 B．45 C．50 D．55 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质和平行线的性质得到，则由角平分线的定义可推出，再由等边对等角推出，则可求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．在如图所示的平行四边形中，P在边上移动（不与端点重合），连接，，则下列不为定值的是（     ） A． B． C．的面积 D．面积与面积之和 【答案】A 【详解】解：∵，的值无法确定， ∴不是定值， 故选项A符合题意； ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴，即是定值， 故选项B不合题意； 过作于， ∴，， ∴， 即的面积是定值， 故选项C不合题意； ∵， ∴面积与面积之和是定值， 故选项D不合题意； 5．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，则可得，，再根据折叠的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 6．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用方程思想将线段设出来，再将表示出来，利用勾股定理和两个直角三角形有公共边求出设的未知数的值，再将值代入到直角三角形中求解． 【详解】解：∵, ∴设，则， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 解得， 将代入中， 解得． 7．如图，的周长为，，，相交于点，交于点，则的周长为______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可计算的周长． 【详解】解：根据平行四边形的性质得：， ， 为的垂直平分线， 根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：， 的周长． 8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，如果，，如果，那么的取值范围是_____． 【答案】/ 【分析】利用平行四边形的性质得到，，再结合三角形三边关系求解，即可解题． 【详解】解：平行四边形中，对角线，相交于点，，， ，， ， ， ， ， ． 9．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的值是_______． 【答案】 【分析】由图可知，平分，由，，推得，与梯形等高，设高为，得，，可得比值为． 【详解】解：由作图可知，平分，即， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ， ∴， 与梯形等高，设高为， ∴，， ∴． 10．如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：； (2)连接，若平分，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识． （1）结合平行四边形的性质，利用“”证明即可； （2）根据全等的性质可得，，，再证明，接着再在、中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴； （2）如图： ∵，，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴． 11．如图，平行四边形的对角线相交于点，，且． (1)求证：； (2)若，，猜想与的位置关系，并给予证明． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据平行四边形可得，，代入可得，根据勾股定理逆定理可得，即可求解； （2）根据可得，结合可得，，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，，， 代入可得，即， 由勾股定理的逆定理可得，，即； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 12．面积等分线是指能将图形分成面积相等两部分的直线，是平面几何中图形分割的重要概念，其背后蕴含着图形变换、转化等核心数学思想．请结合所学知识完成以下问题： (1)平行四边形有________条面积等分线； (2)如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形得到组合图形，请画出该图形的一条面积等分线； (3)如图②，四边形中，，．请分别画出四边形的两条面积等分线，并阐述构造思路． 【答案】(1)无数 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查中心对称图形的性质，组合图形的面积等分方法（割补法、分块法），梯形（特殊四边形）的面积等分方法等知识点． （1）根据平行四边形是中心对称图形，得出平行四边形有无数条面积等分线． （2）根据这种 “大矩形剪去小正方形” 的组合图形，可通过将图形分割为两个规则矩形，分别找到两个矩形的对称中心，过两个中心的直线即为面积等分线． （3）①根据连接两底中点连线，即可找到梯形的面积等分线，并在①的基础上作平行四边形，继而得到两侧等面积的三角形，再根据平行四边形的中心对称性作过对称中心且与线段相交的任意直线均可满足要求． 【详解】（1）解：∵根据平行四边形的中心对称性，过对称中心（对角线交点）的任意一条直线都能将它分成面积相等的两部分， ∴过平行四边形的对角线交点的直线都是平行四边形的面积等分线； 故答案为：无数； （2）解：如图所示，作矩形和正方形的对角线，连接两对角线的交点的直线，即为所求的面积等分线（答案不唯一）； （3）解：①如图，分别取，的中点，，作直线，直线即是四边形的面积等分线， ∵，， 分别作梯形和梯形的高和，则， ∵，， ∴， ∴直线即是四边形的面积等分线， ②如图，在图①作图的基础上，取线段的中点，在边上任选一点（不与点重合），作直线， 过点，分别作的平行线，分别交于点，， ∴四边形、、是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴根据平行四边形的中心对称性，过对称中心且与线段相交（不与重合）的直线都符合要求， ∴直线是四边形的面积等分线．（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平行四边形 6.1 平行四边形的性质 （分层题型专练） 题型一 利用平行四边形的性质求角度 1．如图，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，将的一边延长至点E，若，则=（    ） A．30° B．50° C．70° D．110° 3．如图，在中，连接对角线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．在中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，，垂足为点．如果，那么和分别等于多少度？ 题型二 利用平行四边形的性质求线段长 1．如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（ 　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，的对角线、交于点O，且，则的长可能是（   ） A．12 B．16 C．10 D．8 3．如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．已知在中，是上一点，的周长是周长的一半，且，则的长为（   ） A．8 B．7 C．5 D．6 5．如图，在中，，过点B、D分别作，垂足分别为E、F．若，则的长为__________． 6．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 题型三 平行四边形的性质与周长问题 1．如图，在中，，，，则的周长是（   ） A．21 B．22 C．25 D．32 2．如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为10，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，中，对角线与交于点交于点E，的周长是，则的周长是（    ）cm． A．30 B．40 C．50 D．60 4．如图平行四边形的对角线与交于点 O，．求的周长． 题型四 平行四边形的性质与面积问题 1．如图，在中，于E，于F，且，，，则的面积为（     ） A．20 B．24 C．30 D．36 2．如图，的面积是20，则图中的阴影部分面积是（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 3．如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 4．如图，在中，点E为延长线上一点，连接、．若的面积为6，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，设M是一边上的任意一点，，则的面积为_____________. 题型五 梯形的性质与应用 1．如图，四边形是等腰梯形，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 3．如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，梯形中，，，，，则______． 5．如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 6．如图，在梯形中，，．若，则__________ 7．唐代数学家王孝通所撰《缉古算经》记载了古人“筑龙尾堤”．堤截面为如图所示的等腰梯形，原文记“堤头上下广差六尺”（古算称梯形上下边为“上广”“下广”），即该堤截面的“上广”比“下广”多6尺．已知该堤的深度为4尺，则该龙尾堤截面的一侧斜高（即等腰梯形腰长）为______尺． 题型六 判断平行四边形的个数 1．在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 3．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 4．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 5．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型七 利用平行四边形的性质进行证明 1．如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：． 2．如图，在中，点在对角线上，且，求证：． 3．如图，在中，点是的中点，连接并延长，与的延长线相交于点．求证：． 4．如图，平行四边形中，．求证：． 5．如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 题型一 平行四边形中的个数规律问题 1．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 2．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 3．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ ） A．39 B．40 C．41 D．42 题型二 平行四边形与函数问题 1．如图1，点是边上一动点，沿→→→的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图2是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（     ） A．5 B．2 C．3 D．6 2．如图1，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图2所示，则（     ） A．37 B．36 C．17 D．16 3．如图，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位长度，连接，记动点的运动时间为秒，的面积为，如图是关于的函数图像，则下列说法中错误的是（    ） A．的值 B．的周长为 C． 对边和之间的距离是 D．的面积为 4．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，则________，的面积为________．      题型三 平行四边形与折叠问题 1．如图，在中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的长为（   ）． A．6 B． C．8 D．10 2．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 3．如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当，，三点共线时，则的长是___________． 4．如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则______． 5． 将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 6．如图，、分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的边的高是________． 题型四 平行四边形中的动态几何问题 1．如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 2．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 3．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 题型六 平行四边形中的最值问题 1．如图，在中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是（   ） A． B． C．14 D． 3．如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为___． 题型七 平行四边形与作图 1．下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程 已知： 求作： 边上的中线． 作法：如图， （1）分别以点为圆心， 长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，与交于点,所以线段就是所求作的中线． 根据上述的作法， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明 证明： ∵ ∴四边形是平行四边形（① ） ∵ 与交于点 ∴（② ） ∴是的中线． 2．如图，是的对角线，请用尺规作图法在线段上找一点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）    3．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 4．如图，已知点是边上一点．求作：平行四边形，使点在射线上，且． 5．探究：如图1，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等． (2)直线EF是否将ABCD的面积分成二等份？试说明理由． (3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开． 6．仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） 如图，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． (1)利用平行四边形的性质（1）画出的中点F； (2)在上画出点H，使得． 1．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F；分别以B，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点G；连接并延长，交于点E．若，，则的长为（     ） A．10 B．11 C．14 D．20 3．如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则（     ）. A．60 B．45 C．50 D．55 4．在如图所示的平行四边形中，P在边上移动（不与端点重合），连接，，则下列不为定值的是（     ） A． B． C．的面积 D．面积与面积之和 5．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 7．如图，的周长为，，，相交于点，交于点，则的周长为______． 8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，如果，，如果，那么的取值范围是_____． 9．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的值是_______． 10．如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：； (2)连接，若平分，，，求的长． 11．如图，平行四边形的对角线相交于点，，且． (1)求证：； (2)若，，猜想与的位置关系，并给予证明． 12．面积等分线是指能将图形分成面积相等两部分的直线，是平面几何中图形分割的重要概念，其背后蕴含着图形变换、转化等核心数学思想．请结合所学知识完成以下问题： (1)平行四边形有________条面积等分线； (2)如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形得到组合图形，请画出该图形的一条面积等分线； (3)如图②，四边形中，，．请分别画出四边形的两条面积等分线，并阐述构造思路． 学科网（北京）股份有限公司 $