6 6.1 第2课时 平行四边形的性质(2)-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

第2课时平行？ 知识储备 平行四边形的对角线互 相 如图，☐ABCD 0 中，AC与BD交于点O,则 有：AO= BO= 01基础练 心必备知识梳理一 知识点一 平行四边形对角线的性质 1.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,若AC=6,BD=8,则AB的长可能为 ( A.10 B.8 C.7 D.6 第1题图 第2题图 2.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于 点O,∠ADB=90°，AC=10,BD=6,则AD 的长为 () A.4 B.34 C.8 D.234 3.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点 E,∠CBD=90°，BC=3,BE=3,则□ABCD的 面积为 A.6 B.9 C.12 D.18 第3题图 第4题图 4.【教材P156随堂练习T1变式】如图，□ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,且AC=8, BD=10,AB=5,则OA=OC= ,OB= OD= ,△OAB的周长为 5.【教材P156例2变式】如图，□ABCD的对角 线AC,BD相交于点O,过O作直线交AB, 9边形的性质（二） CD的反向延长线于点E,F,OE=OF吗？ 试说明理由。 6.【教材P158习题T5变式】如图，在□ABCD 中，对角线AC,BD相交于点O。若OD= 1.5cm,AB=5cm,BC=4cm,求□ABCD 的面积。 知识点二梯形及相关概念 7.【概念辨析】如图，在四边形ABCD中，AD∥ BC。 (1)若AD=3,BC=5,则四边形ABCD是 (2)在(1)的条件下，若AB=CD,则梯形 ABCD是 R 第7题图 第8题图 8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=45°， ∠C=75°，则∠A= ,∠D= 9.如图，在梯形ABCD中，AD∥ BC,∠B=45°，AB=4,则梯 形ABCD的高为 助学助教优质高数94 02综合练 膏关能能力提升一 12.【探究】如图1，在□ABCD中，AC,BD相交 于点O,过点O的直线交AD于点E,交BC 10.(2026·贵阳模拟)如图， 于点F。 在□ABCD中，对角线 (1)OE OF(填“>”“<”或“=”)； AC,BD交于点O,过点O (2)直线EF是否将□ABCD的面积二等分？ 作BD的垂线交BC于点E,连接DE.已知 【应用】张大爷家有一块平行四边形的菜园， △DCE的周长是9，则□ABCD的周长是 ( 园中有一口水井P,如图2所示，张大爷计 划把菜园面积平均分成两块，分别种植西红 A.12 B.14 C.16 D.18 柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你 11.如图，在□ABCD中，AC,BD相交于点O, OE⊥AC交CD于点E。 帮助张大爷把地分开。 (1)求证：OA平分∠BAE; (2)若□ABCD的周长为20，则△ADE的 周长为 。 图2 微专题巴 平行四边形中的面积问题的基本模型 模型展示 2.如图，在□ABCD中，AC,BD是对角线， BC=6,BC边上的高是3，则阴影部分的面 积是 S1=S4,S2=S S1十S2=S= S 3.如图，点P是口ABCD内一点，且S△PAB= S S 7,S△PAD=4,则阴影部分的面积是 S1+S2=S+S4 S=SS:=S6:S=S2 【针对训练】 1.如图，P是□ABCD的边 AD上一点，且□ABCD 的面积是10，则阴影部分 B 的面积是 + 95八年级数学下册·BS9)2=0,.x-4=0y-9=0。.x=4,y=9。∴.原式=，1。=12 【例3】1)3(2)解：设长途汽车的平均速度为xkm/h,则小轿车的平均速 度为1.5xkmh.根据圈意，得的0十号解得=80。经检验 80是所列方程的根。∴.1.5x=120。答：小轿车的平均速度为120km/h。 考点过关 1.B2.D3.D4.55.D6.157.(1)解：原式= 3a-2 (a+1)(a-1) 3a-2。-:(2)解：原式=（+2)x-2.x+1=+2 a+1 x+1 ·(x-2)2x-2 8解：原式-（号。2 a-2 2 2。:a2+2a-8=0, a(a十2)a(a+2)a2+2a a2+2a=8。当a2+2a=8时，原式 221 a2+2a=8=40 9.D10.B 11.1012.213.(1)②(2)4(3) m-nm2+2mn十n2 m2+2mn+n2' m-n 第六章平行四边形 1平行四边形的性质 第1课时平行四边形的性质（一） 知识储备 1.平行四边形口ABCD2.两条对角线的交点3.相等相等 基础练 1.D2.重合中心对称O点C3.(1)63(2)11(3)55°125 55°(4)70°110°(5)108°72°4.C5.证明：，四边形ABCD是平行 四边形，.AB∥CD,AB=CD,∠ABC=∠ADC。.∠BAE=∠DCF。 ∠CBE=∠ADF,∴∠ABE=∠CDF。又：AB=CD,∴.△ABE≌△CDF。 AE=CF。6.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.BC=AD,BC ∥AD。∴∠F=∠DAF,∠FCD=∠D。又E是CD的中点，.CE=DE。 ∴.△ADE≌△FCE;(2)解：由(1)知BC=AD=5,△ADE≌△FCE,.CF =AD=5。.BF=CF+CB=10.7.B8.D9.1010.(3,0)或(-1， 2)或(1，-2)11.(1)证明：：□ABCD,.AD∥BC,AD=BC。∴.∠DAF =∠F,∠D=∠DCF。:E是CD的中点，.DE=CE。.△DEA≌ △CEF。.AD=CF;(2)解：由(1)知AD=BC=CF=5,AE=EF。∴.BF =10:在R△ABF中，AF=VB-AB=V0-8=6:∴EF=2AF =3。 微专题六平行四边形中“平行线十角平分线”→等腰三角形 1.32.20或28 第2课时平行四边形的性质（二） 知识储备 平分CODO 基础练 1.D2.A3.D4.45145.解：OE=OF。理由如下：□ABCD,. AB∥CD,OA=OC。∴.∠E=∠F。又∠EOA=∠FOC,∴.△OAE≌ △OCF(AAS)。.OE=OF。6.解：.四边形ABCD是平行四边形， BD=2OD=3cm,CD=AB=5cm,∴.CD=25。:BC=4cm,.BD2十 BC=25。.BD+BC=CD。∴.△DBC是直角三角形，且∠CBD=90°。∴. SaAD=BC·BD=4×3=12(cm)。7.(1)梯形(2)等腰梯形8.135 1059.2W210.D11.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.OA= OC,AB∥CD。.∠BAC=∠ECA。,OE⊥AC,.OE是线段AC的垂直 平分线。.AE=CE。.∠EAC=∠ECA。.∠BAC=∠EAC。.OA平 分∠BAE。(2)1012.解：(1)=(2)易证△BOF≌△DOE,△COF≌ △AOE,△AOB2△COD,∴.S△0F=S△0E,S△c0r=S△A0E,S△mD=S△A0B 24 .S四边形AEFB=S四边形DEFc,即直线EF将□ABCD的面积二等分。应用：连接 AC,BD相交于点O,作直线OP,则直线OP两旁的四边形面积相等。 微专题七平行四边形中的面积问题的基本模型 1.52.93.3 2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定1,2 知识储备 1.平行2.相等3.平行且相等 基础练 1.70°2.证明：AB∥CD,.∠B+∠C=180°。∠B=∠D,.∠D+ ∠C=180°。AD∥BC。又，AB∥CD,.四边形ABCD为平行四边形。 3.5cm3cm4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形5.证明： (I),□ABCD,.AB=CD,AD=BC,∠B=∠D。,AE=CF,.AB-AE =CD-CF,即BE=DF。∴.△BEC≌△DFA(SAS)。∴AF=CE;(2)由 (1)知EC=FA,又AE=CF,..四边形AECF是平行四边形。6.D 7.证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC。又BE= DF,∴AD-DF=BC-BE,即AF=CE。又AF∥CE,∴.四边形AECF 是平行四边形。8.B9.解：(1)如图，□ABEC即为所求； (2)设小正方形方格的边长为1，由勾股定理，得AC=√2，AB =√5，BE=√2，CE=√5。∴.AC=BE,AB=CE。∴.四边形 ABEC是平行四边形。10.证明：(1)，四边形ABCD是平 行四边形，.AD∥BC,AD=BC。,M,N分别是AD,BC的中点，∴.MD= VC,MD∥NC,.四边形MNCD是平行四边形； (2)连接DN。N是BC的中点，BC=2CD,∴.CD=NC。, ∠C=60°，∴.△DCN是等边三角形，∴.ND=NC,∠DNC ∠NDC=60,∴.ND=NB=CN,.∠DBC=∠BDN=30°，∴. ∠BDC-=∠BDN+∠NDC=90°，∴.BD=√/BC-CD=√(2DC)-DC=√3CD .四边形MNCD是平行四边形，∴.MN=CD。∴.BD=√3MN。11.解：(I)tcm (15-3t)cm(2)如图1，当四边形PDCQ是平行四边形时，.AD∥BC,.PD=CQ, 即12-t=3t,解得t=3;如图2，当四边形PABQ是平行四边形时，，AD∥BC, AP-EQ,即1=15-3，解得1-5，如图3，当四边形PDQB是平行四边形时，：AD ∥CPD=Q.即12-1=15-3，解得1=号.综上所述d的值为3或或号. 图1 图2 图3 第2课时平行四边形的判定3 基础练 1.32.对角线互相平分的四边形是平行四边形3.证明：.AD∥BC, ∴.∠DAC=∠ACB,∠ADB=∠CBD。又OA=OC,∴.△AOD≌△COB ∴.OD=OB。又AO=CO,.四边形ABCD是平行四边形。4.证明： ABCO.AO-CO.BO-DO.AE-30A.CG-C.BF-B0, DH=3OD,.AE-CG,BF-DH.AO-AE-CO-CG,BO-BF=DO 一DH。即OE=OG,OF=OH。∴.四边形EFGH是平行四边形。 5.解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：AE⊥BD,CF⊥BD,AE ∥CF。又AF∥CE,.四边形AECF是平行四边形。∴.OA=OC,OE= OF。又BE=DF,.BE+EO=DF+OF,即BO=DO。又AO=CO,. 四边形ABCD是平行四边形。6.证明：(1)：□ABCD,.AB=CD,AD ∥BC。∴∠DAE=∠AEB。,AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE。 ∠BAE=∠AEB。.BA=BE。,∴.BE=CD;(2).BE=BA,BF平分