精品解析：2025年浙江省绍兴市柯桥区中考二模数学试题

九年级中考适应性练习数学试卷 考生须知： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题卡上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义．根据只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘、除法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘、除法，合并同类项的运算法则计算，逐项判断即可． 【详解】解：A.， 故该选项不符合题意； B.， 故该选项不符合题意； C.不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； D. ，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 经文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”假期全国国内出游3.14亿人次．其中数据“3.14亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的定义，直接根据科学记数法的定义作答即可. 【详解】3.14亿 故选：B. 4. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图定义是解题的关键； 根据三视图对选项进行判断即可； 【详解】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥， 故选：A 5. 在体育中考“排球垫球”项目中，某校某小组的5位学生垫球次数如下：70、71、74、74、72，则这组数据的中位数为（ ） A. 70 B. 71 C. 72 D. 74 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 将这组数据从小到大排列，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列70、71、72、74、74 ∴这组数据的中位数为72． 故选：C． 6. 如图，是的内接三角形，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理得到，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 7. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组的应用，找准等量关系是解题关键．根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：D． 8. 在中，点分别是的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法： 甲同学：如图1，延长到点，使，连接． 乙同学：如图2，过点作，过点作与交于点． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲可以，乙不可以 D. 甲不可以，乙可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位线判定定理，平行四边形判定及性质，全等三角形判定及性质等．先证明作法一的合理性，先得到四边形是平行四边形，后得到四边形是平行四边形，继而利用平行四边形性质可得答案；再证明作法二，先证明，后得到四边形是平行四边形，再得到四边形是平行四边形，继而利用平行四边形性质可得答案． 【详解】解：甲：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，； 乙：， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 甲、乙都可以， 故选：A． 9. 已知二次函数的图象经过点，若，则下列可能成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键. 先把点的坐标分别代入解析式得到，， 再由，依次对各选项进行判断即可求解. 【详解】解：二次函数的图象经过， ，， ， ， ， 当时，不成立， 故选项B不符合题意； ， 当时，可能成立， 故选项A符合题意； ， 当，则， 不成立， 故选项C不符合题意； ， ， 当时，，则， 故当时，不成立， 故选项D不符合题意； 故选：A． 10. 如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理， 设，，，，由矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，，则，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形， 设，，，， 四边形是矩形， ，，， 由勾股定理可得，，， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 12. DeepSeek是一款基于人工智能技术的深度搜索工具，从“DeepSeek”中随机抽取一个字母，抽中字母“”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，解题关键是求出所有可能结果数与符合条件的结果数． 先求出所有可能结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】解：∵“”中共有个字母，其中有个， ∴从拼音：“”中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为， 故答案为： ． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 14. 一副三角板和按如图方式摆放，其中，点恰好落在上，且，则的度数为___________． 【答案】75°##75度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质求出，，根据平行线的性质得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形边与反比例函数（为常数，的图象交于两点，且与轴正半轴交于点，点在反比例函数的图象上，若点是的中点，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质、平移的性质等知识，数形结合是解题的关键． 设点先利用中点坐标公式求出，，由点A到点B的平移规律得到点C的坐标，代入即可得到k的值． 【详解】解：设 ∵点D是中点， 当时，， ∴， ∵点D是中点，由中点坐标公式得到， 四边形是平行四边形， 平行且等于， ∵点A到点B相当于向左平移个单位，向上平移个单位， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位得到点C， ∵点C图象上， ∴． ∴ 故答案为：6 16. 如图，在中，，过点作，交于点，点是上的点，且满足，连接，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等边对等角以及三角形内角和得，故，即四点共圆，运用圆周角定理得，，再分别表示，，因为，故，即，解得，，结合等腰三角形的三线合一，得，则，因为，得，解得（负值已舍去），即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 即四点共圆， ∵ ∴ 即是的直径，如图所示： 连接，分别过点作 设 ∵是的直径， ∴， ∵， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得 ∴（负值已舍去） ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题有8小题，第17，18，19，20，21小题每题8分，第22，23小题每题10分，第24小题每题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，绝对值，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键. 先计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再计算加减即可. 【详解】解：原式 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组. 分别解两不等式，即可求出不等式组的解集. 【详解】解不等式组： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 19. 如图，已知菱形，延长至点，连接，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质推出为等边三角形，证明即可得到； （2）根据菱形的性质得到，，，推出，求出，得到，，求出． 【小问1详解】 证明：在菱形中，， ， ， ， ， ， 为等边三角形． ， 在与中， ， ． ． 【小问2详解】 解：如图， 由（1）知为等边三角形， ， 菱形， ，，， ， 由（1）得． ． ， ， ， ， ， 平分， ， ． 20. 某校课外兴趣小组对五一学生外出参加科技馆活动使用交通工具的情况，进行了随机抽样的调查，调查后发现学生选用四种交通工具的其中一种．表示乘坐地铁出行，表示乘坐私家车出行，表示乘坐公交车出行，表示公享单车出行或其他，划分类别后的数据整理如下表： 类别 人数 比率 15 20 b 12 c d 学生外出参加科技馆活动使用交通工具统计表与扇形统计图 （1）求扇形统计图中类别为的学生数所对应的扇形圆心角的度数； （2）若该校有1600名学生，估计该校学生中类别为的人数． 【答案】（1） （2）人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）用C人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，再用360度乘以B的人数占比即可得到答案； （2）用1600乘以样本中A的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴这次一共调查了50人， ， ∴扇形统计图中类别为的学生数所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：人， ∴估计该校学生中类别为的人数为480人． 21. 小张和小李分别完成一个作图问题： 如图1，在中，是边上一点，连结．利用适当的作图工具在边上作一点，使得． 小张：如图1，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结即为所求． 小李：我的方法和你不一样，只用无刻度直尺且不用圆规就可以完成作图． （1）给出小张作法中的证明过程； （2）请在图2中完成小李的作图方法（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）证明四边形是平行四边形即可； （2）连接与交于点，连接并延长交于点，连接．则点Q即为所求． 【小问1详解】 证明：在中，由作法得， ，而， 四边形为平行四边形． ． 【小问2详解】 解：如图，点Q即为所求． 22. 载人飞艇已在绍兴及周边区域试飞，未来人们出行将更加便捷．现有甲艇从杭州站经绍兴站飞向宁波站；乙艇从宁波站经绍兴站飞向杭州站，三站均在同一直线上，如图1所示： 两艇同时出发，匀速飞行，图2是甲、乙两艇飞行离绍兴站的距离与飞行时间（h）之间的函数图象． （1）填空：的值为___________，的值为___________； （2）求乙艇离绍兴站的距离与飞行时间之间的函数表达式； （3）乙艇到达杭州站前，两艇与绍兴站的距离之和不超过时，求飞行时间的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的原因，用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据函数图象列式计算即可； （2）设乙艇离绍兴站的距离与飞行时间之间的函数表达式， 得到，即可得到； （3）由函数图象得到，分别求出当，时，甲艇的函数解析式，再分别计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设乙艇离绍兴站的距离与飞行时间之间的函数表达式， 把代入得， 解得： ； 【小问3详解】 解：由图可得，当时甲乙艇距离为 ． 设甲艇离绍兴站的距离与飞行时间之间的函数表达式， 当时，将代入得 解得：， ， 当时，将代入得， 解得： 当时 解得：； 当时， 解得：； ． 23. 已知抛物线（为常数）． （1）若该函数的图象经过 ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数的图象向右平移个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线上，求的值； （2）若点，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合． （1）①利用待定系数法即可求解； ②新抛物线顶点坐标为，将上述点的坐标代入一次函数表达式得：，即可求解； （2）根据对称性求出b和n的关系，将P和Q的坐标代入，求出t，a的表达式，在根据求解n的取值范围即可． 【小问1详解】 解：① 把代入 ． ； ② 将该二次函数的图象向右平移个单位． 顶点 新二次函数的图象的顶点恰好落在直线上， ． 【小问2详解】 解：经过 对称轴直线， 当时，， 则抛物线过点， 由对称性得，抛物线过点， （I）情况1：对称轴在轴左侧，且点在对称轴左侧， 可得， 解得， 不存在． 情况2：对称轴在轴左侧，且点在对称轴右侧， 可得， 解得． （II）对称轴在轴右侧，点只能在对称轴左侧， 此时，与矛盾． 不存在． 综上． 24. 在圆内接四边形中，为直径，为半圆弧的中点，连接． （1）如图1， ①求的度数； ②求证：； （2）如图2，过点作交于点，若，求的值． 【答案】（1）①；②见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①连接，根据题意可得，再由圆周角定理即可得到答案；②过点作交于E，连接，可证明．则，再证明和为等腰直角三角形．进而证明．得到．由勾股定理得到，据此可证明结论； （2）先证明．在上截取．证明．得到．设，则，根据（1）的结论可得．过点作，证明，可推出，则，再由正切的定义可得答案． 【小问1详解】 ①解：如图所示，连接， 是半圆的中点，为直径， ∴， ∴ ②证明：如图所示，过点作交于E，连接， ∵为直径， ． ． 即． ∵， ∴ 和为等腰直角三角形． ， ． ． ∵． 又． ． 【小问2详解】 解：为直径， ∴ ∵， ∴， ． ． 如图所示，上截取． 又， ． ． 又， 设，则， ． 由②可知，． 又， ． ． 过点作， ． 又． ． ． ． 又． ． ① 又② ，得 ∴ 或（舍去）． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级中考适应性练习数学试卷 考生须知： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题卡上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 经文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”假期全国国内出游3.14亿人次．其中数据“3.14亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个几何体三视图如图所示，那么这个几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 在体育中考“排球垫球”项目中，某校某小组的5位学生垫球次数如下：70、71、74、74、72，则这组数据的中位数为（ ） A. 70 B. 71 C. 72 D. 74 6. 如图，是的内接三角形，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点分别是中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法： 甲同学：如图1，延长到点，使，连接． 乙同学：如图2，过点作，过点作与交于点． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（ ） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲可以，乙不可以 D. 甲不可以，乙可以 9. 已知二次函数的图象经过点，若，则下列可能成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11 因式分解：___________． 12. DeepSeek是一款基于人工智能技术的深度搜索工具，从“DeepSeek”中随机抽取一个字母，抽中字母“”的概率是___________． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则______． 14. 一副三角板和按如图方式摆放，其中，点恰好落在上，且，则的度数为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形边与反比例函数（为常数，的图象交于两点，且与轴正半轴交于点，点在反比例函数的图象上，若点是的中点，则的值为___________． 16. 如图，在中，，过点作，交于点，点是上的点，且满足，连接，若，则___________． 三、解答题（本大题有8小题，第17，18，19，20，21小题每题8分，第22，23小题每题10分，第24小题每题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 计算：． 18 解不等式组： 19. 如图，已知菱形，延长至点，连接，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 20. 某校课外兴趣小组对五一学生外出参加科技馆活动使用交通工具的情况，进行了随机抽样的调查，调查后发现学生选用四种交通工具的其中一种．表示乘坐地铁出行，表示乘坐私家车出行，表示乘坐公交车出行，表示公享单车出行或其他，划分类别后的数据整理如下表： 类别 人数 比率 15 20 b 12 c d 学生外出参加科技馆活动使用交通工具统计表与扇形统计图 （1）求扇形统计图中类别为的学生数所对应的扇形圆心角的度数； （2）若该校有1600名学生，估计该校学生中类别为的人数． 21. 小张和小李分别完成一个作图问题： 如图1，在中，是边上一点，连结．利用适当的作图工具在边上作一点，使得． 小张：如图1，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结即为所求． 小李：我的方法和你不一样，只用无刻度直尺且不用圆规就可以完成作图． （1）给出小张作法中的证明过程； （2）请在图2中完成小李的作图方法（保留作图痕迹）． 22. 载人飞艇已在绍兴及周边区域试飞，未来人们出行将更加便捷．现有甲艇从杭州站经绍兴站飞向宁波站；乙艇从宁波站经绍兴站飞向杭州站，三站均在同一直线上，如图1所示： 两艇同时出发，匀速飞行，图2是甲、乙两艇飞行离绍兴站的距离与飞行时间（h）之间的函数图象． （1）填空：的值为___________，的值为___________； （2）求乙艇离绍兴站的距离与飞行时间之间的函数表达式； （3）乙艇到达杭州站前，两艇与绍兴站的距离之和不超过时，求飞行时间的取值范围． 23. 已知抛物线（为常数）． （1）若该函数的图象经过 ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数的图象向右平移个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线上，求的值； （2）若点，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围． 24. 在圆内接四边形中，为直径，为半圆弧的中点，连接． （1）如图1， ①求的度数； ②求证：； （2）如图2，过点作交于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$