精品解析：广东揭阳市普宁市华侨中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

普宁市华侨中学2025-2026学年第二学期 高二期中考数学试题 本卷共4页，19题，全卷满分150分.用时120分钟. 注意事项： 1.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算结合模长公式进行求解. 【详解】由题意得， 所以， 故选：B. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的判定可得到，再利用向量的模长计算公式计算即可. 【详解】平面向量， 因为，所以，解得 因此，， . 故选： C. 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则逐项计算即可. 【详解】因为是常数，所以，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D错误. 4. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由线面垂直的定义以及充分、必要条件的定义可判断. 【详解】已知，，，则，故充分性成立； 已知，，，则任何位置关系均可，故必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦定理及余弦定理求出，从而得到，再根据数量积的定义得到，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】由， 则由正弦定理有，即 则由余弦定理有， 又在△ABC中，，则， 又，即， 所以△ABC的面积为． 6. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 360 D. 540 【答案】D 【解析】 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由中垂线定义得，从而是直角三角形，然后由已知及勾股定理、椭圆的定义可求得离心率． 【详解】椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且满足，如图， ，由定义可知， 将代入到中，可得， 即，解得，那么． 线段的中垂线过原点，，又因为， ，那么是以为直角顶点的直角三角形． 在中，根据勾股定理可得，其中， 将代入，可得，即， 化简可得，即． 椭圆的离心率，且，． 故选：A． 8. 已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为导函数在其定义域内有解，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，导函数为. 函数存在单调递增区间，等价于存在使得. 因为，所以等价于 . 即在上有解. 对配方得，在上单调递增，. 要使在上有解，只需. 因此的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X的方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由判断； 由两点分布的定义判断； 由正态曲线的对称性判断； 由二项分布的定义判断 【详解】若，则，故错误； 若随机变量Y服从两点分布，则，故, ，故正确； 若随机变量ξ服从正态分布，，则 ，， 故正确； 若随机变量η服从二项分布，则 故错误. 故选：. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法，令得，即可判断选项A；由展开式的通项公式，令求得的值，即可判断选项B；令得，即可判断选项C；令得，两式相减即可判断选项D. 【详解】∵，∴令得，故选项A正确； 由展开式的通项公式， 令得，所以，故选项B不正确； 令得，故选项C正确； 令得，两式相减得，故，故选项D不正确. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三棱锥体积公式求得三棱锥体积，判断A选项；通过几何关系得到外接球心，即可求得球的半径，然后得到球的表面积，判断B选项；由勾股定理得到长，即可知道点的轨迹图象，然后求得轨迹长度，判断C选项；取点关于平面的对称点，从前得到取最小值时点的位置，然后计算的最小值，判断D选项. 【详解】在正方体中平面，∵，则， ∴，A选项正确； 取中点，过作平面，∵， ∴三棱锥外接球的球心在上， ∴设为三棱锥外接球的球心，且设， ∴，则， 即，即，∴， 则球的半径， 则球的表面积，B选项正确； ∵平面，∴，∴， 即，∴， ∴点的轨迹为以为原点，为半径的圆弧， ∴点的轨迹长度为，C选项错误； 如图，延长到点，使得，连接交平面于点， 此时取最小值， ，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知儿子的身高与父亲的身高有关，某兴趣小组统计了5组父子的身高数据，如下表： 父亲身高 166 168 172 178 186 儿子身高 169 175 175 181 若关于的经验回归方程为，则_________． 【答案】180 【解析】 【分析】根据表格数据求样本中心，由样本中心在回归直线上求参数值. 【详解】由题设，， 所以，可得. 故答案为：180 13. 已知展开式中各项的系数和为64，则展开式中含项的系数为__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据各项系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得指定项的系数. 【详解】令，得展开式中各项的系数和为，解得， 则.当时，，所以展开式中含项的系数为. 故答案为： 14. 已知函数，为的导函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②在区间上有极小值； ③在区间上有两个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①② 【解析】 【分析】根据导数及指数函数、余弦函数的性质可判断①，由函数的导数单调递增且有零点可判断函数有极小值从而②正确，利用导数判断的单调性，据此可判断零点个数从而判断③. 【详解】对①，，当时，， 所以，所以函数在区间上单调递增，故①正确； 对②，由在上单调递增知，在上单调递增， 又，所以由零点存在定理知， 存在唯一零点，且时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上有极小值，故②正确； 对③，由②知在上单调递增，当时， 令，则，由可知 ，所以在上单调递增，又函数在上连续， 所以函数在上单调递增，故函数在上至多有1个零点，故③错误. 故答案为：①② 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知的内角所对的边分别为,且． （1）求； （2）若的外接圆半径为1，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）正弦定理角化边，利用余弦定理求出角； （2）首先根据正弦定理求出，利用余弦定理列方程，结合均值不等式得，求出最值. 【小问1详解】 因为，则， 即， ， ，. 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理得， 化简为，即， 因为， 则，， 当且仅当时等号成立，故三角形周长最大值为. 17. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求的方程． （2）已知数列是正项数列，，点在上． （ⅰ）证明为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义进行求解即可； （2）（ⅰ）将点代入双曲线化简得到，即可证得为等比数列，进而求得的通项公式； （ⅱ）求得得直线方程，并与方程联立求交点坐标即可得解. 【小问1详解】 因为双曲线C：（，）的焦距为，离心率， 所以有； 【小问2详解】 （ⅰ）因为点在上，所以， 即， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则． （ⅱ）由（ⅰ）易得，所以， 则直线的方程为． 由得，解得或． 因为，所以， 所以． ． 18. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式求解；（2）求出的可能值，再利用二项分布的概率求出分布列及期望. （3）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出概率，再结合已知建立不等式求解. 【小问1详解】 记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以. 【小问2详解】 可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. 【小问3详解】 记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为. 19. 已知函数，为坐标平面上不在图象上的一点.若过点至少可以作1条函数的切线，则称点具有性质，所作切线为的线. （1）若，判断点是否具有性质，并说明理由； （2）若，点具有性质，且的线不超过1条，求实数的取值； （3）若，对于所有满足的，证明：若点具有性质，则. 【答案】（1）否，理由见解析. （2）. （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数与切线的关系求出切线的方程，判断切线的条数即可求解； （2）利用导数与切线的关系求出切线的方程，列出关于的方程，求解； （3）由于，对于所有满足的，通过构造函数求解. 【小问1详解】 设函数图象过点的切线切点为， 那么 ，方程无实数解，故点不具有性质. 【小问2详解】 设函数图象过点的切线切点为 ，，那么 ， 化简得 由于点具有性质，且的线不超过1条， 所以, 解得 或， 据题意，点 不在函数图象上，所以，即，故舍去. 所以 【小问3详解】 设函数图象过点的切线切点为，，那么 ，化简，得 设，那么 令，得；令，得 所以，在处取得极小值，也是最小值 所以，由于 ， 所以，若点具有性质，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市华侨中学2025-2026学年第二学期 高二期中考数学试题 本卷共4页，19题，全卷满分150分.用时120分钟. 注意事项： 1.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 5. 在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 360 D. 540 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X的方差，则 B. 若随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 若随机变量ξ服从正态分布，，则 D. 若随机变量η服从二项分布，则 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥体积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知儿子的身高与父亲的身高有关，某兴趣小组统计了5组父子的身高数据，如下表： 父亲身高 166 168 172 178 186 儿子身高 169 175 175 181 若关于的经验回归方程为，则_________． 13. 已知展开式中各项的系数和为64，则展开式中含项的系数为__________. 14. 已知函数，为的导函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②在区间上有极小值； ③在区间上有两个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知的内角所对的边分别为,且． （1）求； （2）若的外接圆半径为1，求周长的最大值． 17. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求的方程． （2）已知数列是正项数列，，点在上． （ⅰ）证明为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求． 18. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 19. 已知函数，为坐标平面上不在图象上的一点.若过点至少可以作1条函数的切线，则称点具有性质，所作切线为的线. （1）若，判断点是否具有性质，并说明理由； （2）若，点具有性质，且的线不超过1条，求实数的取值； （3）若，对于所有满足的，证明：若点具有性质，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $