精品解析：2026年广西壮族自治区玉林市玉州区九年级中考第 三次阶段测试数学试题

2026年中考模拟试（二） 数学 （考试时间：150分钟 满分：120分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上． 1. 若零下3摄氏度记为，则零上3摄氏度记为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相反意义的量，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确地理解具有意义相反的量． 【详解】解：若零下3摄氏度记为，则零上3摄氏度记为． 故选：A． 2. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键在于明确中心对称图形的概念． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称的概念，对选项的图片进行分析即可． 【详解】解：选项A：将选项A的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形． 选项B，选项C，选项D：将选项中的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形不能与原来的图形重合，都不是中心对称图形． 故选：A． 3. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴，即， 故选：． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．根据两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解：不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 故选：B． 5. 若样本，，…，的平均数为，方差为，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为，方差为 B. 平均数为，方差为 C. 平均数为，方差为 D. 平均数为，方差为 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质，一组数据中每个数据同时加上同一个常数，平均数增加该常数，方差不变，根据平均数和方差的定义推导即可得到结果． 【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10， ∴， 整理得，即， 则样本，，…，的平均数为：； 又∵样本，，…，的方差为6， ∴，整理得， 则样本，，…，的方差为：． 6. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ．     故选：A． 7. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，符合题意； 选项B：∵积的乘方等于各因式乘方的积， ∴，不符合题意； 选项C：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，不符合题意； 选项D：∵合并同类项时，系数相加，字母与字母的指数不变， ∴，不符合题意． 8. 如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ） A. 越来越慢 B. 越来越快 C. 保持不变 D. 快慢交替变化 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 9. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 10. 新年某班每名学生向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出份小礼品，那么总共送的份数应该是份，即可列出方程． 【详解】解：设全班有名同学，根据题意得： ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 11. 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 电池能量最多可充 B. 摩托车每行驶消耗能量 C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶 D. 摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接，，．若，，则的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点的坐标为． ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故选：D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡的横线上． 13. 4的算术平方根是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 14. 因式分解：_______. 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，直接提取公因式a分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到红灯的概率是___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意得到信号灯总时长和红灯时长，利用概率公式即可求解． 【详解】解：三种信号灯的总时长为 秒， 一辆汽车行驶到该路口遇到红灯的概率是：． 16. 如图，矩形中，对角线，相交于点，，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】作点O关于的对称点N，连接，长就是所求最值，利用角平分线和直角三角形斜边中线推出可得是直角三角形，勾股定理求出即可． 【详解】解：作点O关于的对称点N，连接，，则根据轴对称的性质可知：，当点P、E、N三点共线时，取得最小值，最小值为的长． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，． ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴的最小值是6． 三、解答题：本大题共7小题，满分共72分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线绕点旋转得到，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图所示，为所求： （2） 证明：如图， 由（1）知垂直平分，即， ∵，且三点共线， ∴，∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由，可得是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质，过点作的垂线交于点即可； （2）根据作图及已知条件可得，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图． 其中组共有个成绩，从高到低分别为：，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）组个成绩的平均数为___________分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为___________，本次被抽取的所有成绩的中位数为___________分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1）84 （2）50，80 （3）144人 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义进行求解即可； （2）根据组的个数及所占百分比可得抽取的总个数，然后根据中位数的定义进行求解即可； （3）根据题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：B组15个成绩的平均数为：（分）； 【小问2详解】 解：本次被抽取的所有成绩的个数为：， A组人数为：（个）， 把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是80，80， 所以本次被抽取的所有成绩的中位数为：（分）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计本次竞赛的获奖人数为144人． 20. 如图，中，，，经过、两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，则根据圆周角定理可知，然后根据平行线的性质可得，进而问题可求证； （2）连接，由题意可设，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 21. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售某县出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共14箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】（1）甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元 （2）1260元 【解析】 【分析】（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元，根据题意得：，进而求解即可； （2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果箱，该公司需花费w元，然后根据题意可得，，进而根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元． 【小问2详解】 解：设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果箱， 根据题意得：， 解得：， 设该公司需花费w元， 根据题意得：， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最小值， 答：该公司最少需花费1260元． 22. 综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为． 素材 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离． 素材 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称． 问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． （1）确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式； （2）确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； （3）拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标． 【答案】（1） （2） （3）共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是 【解析】 【分析】（1）由题意易得桥拱最高点的坐标为，，则有，设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可把代入函数解析式进行求解即可； （3）由题意易知矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在上）：①：②；③；④；⑤；⑥，然后根据拱桥的最高点到的距离为进行分类求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：桥拱最高点的坐标为，， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 令，则有， ∴桥墩的高度； 【小问3详解】 解：∵矩形广告牌的面积为且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在上）： ①：②；③；④；⑤；⑥， ∵拱桥的最高点到的距离为， ∴方案①，②，③不符合题意， 方案④： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案④可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是， 方案⑤： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是， 方案⑥： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案⑥不满足要求， 综上所述，共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是，因为点与点关于对称轴对称，所以点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是，因为点与点关于对称轴对称，所以点的坐标是． 23. 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． （1）【理解】如图，在对垂四边形中，若，，求的值； （2）【应用】如图，在对垂四边形中，已知，，点为边上一动点，且，求证：； （3）【拓展】在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到，连接，若，，求的面积． 【答案】（1） （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）24或48 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而根据角的和差关系可进行求解； （2）由题意易得，则有，，然后可得，则，进而问题可求证； （3）过点作于点，由（2）知，，然后可得，连接，则，，分两种情况：①当点的对应点在的上方时，②当点D的对应点F在的下方时，进而分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 由（2）知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， 由折叠的性质可知， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 分两种情况：①如图1，当点的对应点在的上方时， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点D的对应点F在的下方时， 同理可得， ∴； 综上可得，的面积为24或48． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟试（二） 数学 （考试时间：150分钟 满分：120分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上． 1. 若零下3摄氏度记为，则零上3摄氏度记为（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若样本，，…，的平均数为，方差为，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为，方差为 B. 平均数为，方差为 C. 平均数为，方差为 D. 平均数为，方差为 6. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ） A. 越来越慢 B. 越来越快 C. 保持不变 D. 快慢交替变化 9. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（ ）． A. B. C. D. 10. 新年某班每名学生向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 11. 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 电池能量最多可充 B. 摩托车每行驶消耗能量 C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶 D. 摩托车充满电后，行驶将自动报警 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接，，．若，，则的值为(　　) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡的横线上． 13. 4的算术平方根是_____． 14. 因式分解：_______. 15. 一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到红灯的概率是___________． 16. 如图，矩形中，对角线，相交于点，，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是___________． 三、解答题：本大题共7小题，满分共72分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 18. 如图，在中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线绕点旋转得到，连接，．求证：四边形是菱形． 19. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图． 其中组共有个成绩，从高到低分别为：，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）组个成绩的平均数为___________分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为___________，本次被抽取的所有成绩的中位数为___________分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 20. 如图，中，，，经过、两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售某县出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共14箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 22. 综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为． 素材 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离． 素材 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称． 问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． （1）确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式； （2）确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； （3）拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标． 23. 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． （1）【理解】如图，在对垂四边形中，若，，求的值； （2）【应用】如图，在对垂四边形中，已知，，点为边上一动点，且，求证：； （3）【拓展】在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到，连接，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $