精品解析：重庆市开州区东华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月阶段检测数学试题

东华初中2026年春季学期九年数学学科 期末复习作业 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数，0，6，2中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 6 D. 2 2. 下列音符图片是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况 D. 调查对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量的情况 4. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且相似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 7. 某新能源汽车企业2023年销售汽车302万辆，2025年汽车销量达到了427万辆，设该企业销售量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列图形都是由同样大小的火柴按一定的规律组成，其中第①个图形有3根火柴，第②个图形一共有5根火柴，第③个图形一共有7根火柴，…，则第⑦个图形中火柴的根数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 17 9. 如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，，为自然数，若，下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有3个三次三项式； ②存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为；其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明口袋中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是______． 12. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是______． 13. 若n为正整数，且满足，则______． 14. 若，，则______． 15. 如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 16. 一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“融合数”，如数，∵且，∴是“融合数”，如数，∵，∴不是“融合数”，则最小的“融合数”为______；将“融合数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字去掉后得到的三位数记为，若能被整除，则满足条件的所有的值的和为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 解：解不等式①，得_________． 解不等式②，得_________． 不等式①和②的解集在数轴上表示为： 所以原不等式组的解集为_________． 18. 在学习了四边形的相关知识后，某中学数学兴趣小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形中，连接对角线，利用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点，交于点，交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ， ①________， 是的中点， ②________， 又， ③________； ， 又， 四边形是平行四边形． ④________， 平行四边形为菱形； 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 学校开展了消防知识竞赛活动，从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析，所有学生的成绩均不低于60分（成绩得分用表示，共分成四个组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：66，68，72，75，78，78，82，83，88，88，88，88，89，89，95，96，98，99，100，100． 八年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：89，85，84，88，85，89，88，89，89． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 86 86 中位数 88 众数 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生消防知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生700人，八年级有学生780人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． （1）该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ （2）经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 22. 如图，菱形的对角线相交于点，，，是线段上的点（不与，重合），连接，过点作直线交线段于点，用表示线段的长度，点与点之间的距离为，与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 如图，，，，，在同一平面内．是小西家，艺术馆位于的北偏东方向6千米处；小福家位于的西南方向，同时在的正东方向；咖啡店位于的南偏东方向，同时在的正东方向；图书馆在的正南方向，同时在的南偏东方向．（参考数据：，，） （1）求小西家与小福家的距离；（结果保留小数点后一位） （2）周日上午，小西和小福相约去图书馆．小福先从家里前往咖啡店购买了两杯咖啡，购买完成后电话联系上小西，小福从咖啡店前往图书馆的同时小西从家里前往图书馆．已知小西与小福的速度之比为，当他们相距千米时，求小西离开家的距离．（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求此抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过作交于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中的一种求解过程． 25. 在中，，，绕点逆时针旋转角度得到． （1）如图1，若，连接交于点，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点，连接，过点作，在射线上取点，使得，连接，求证：； （3）如图3，若，点是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，当取得最小值时，点是直线上一动点，将沿翻折得到，连接，，当同时取得最小值时，求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东华初中2026年春季学期九年数学学科 期末复习作业 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数，0，6，2中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 6 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴因此最小的数是． 2. 下列音符图片是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B．是轴对称图形，故该选项符合题意， C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D．不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况 D. 调查对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量的情况 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：调查柑橘甜度具有破坏性，不适合全面调查； B选项：调查汽车抗撞能力具有破坏性，不适合全面调查； C选项：我市市民人数较多，调查工作量大，不适合全面调查； D选项：航母零部件质量直接影响航行安全，要求每个零部件都合格，必须全面检查，因此适合全面调查． 4. 如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 5. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将已知点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标乘积等于k，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴此函数图象上点的坐标满足， ，A不符合； ，B不符合； ，C不符合； ，D符合； ∴在此函数图象上． 6. 已知，且相似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，相似比为，相似三角形面积比为相似比的平方， ∴与的面积比为． 7. 某新能源汽车企业2023年销售汽车302万辆，2025年汽车销量达到了427万辆，设该企业销售量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设该企业销售量的年平均增长率为，由题意可得 ． 8. 下列图形都是由同样大小的火柴按一定的规律组成，其中第①个图形有3根火柴，第②个图形一共有5根火柴，第③个图形一共有7根火柴，…，则第⑦个图形中火柴的根数为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据每增加一个三角形增加2根火柴，找到规律即可求解． 【详解】解：依题意第①个图形有3根火柴，第②个图形一共有5根火柴，第③个图形一共有7根火柴， 每增加一个三角形增加2根火柴， ∴第⑦个图形中火柴的根数为根火柴， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形类规律题，找到规律是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查正方形性质、等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理；用几何推理 + 相似 + 勾股解题，关键是先证 F 为中点，再用相似得线段比，易错点是比例关系看错、勾股计算错误． 先由正方形对角线得角，结合证 F 是中点；再由得，推出，算出；最后用勾股定理求，化简得出比值． 【详解】 过 E 作于 M． 正方形中是对角线，， 设，则，， 正方形边长． 由是等腰直角三角形， ，． 由， ， ，即F是中点． 正方形中， 故，相似比， ． 由， ​， 又， ． 在中，，， 由勾股定理： ． 故选：B． 10. 已知整式，其中为正整数，，为自然数，若，下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有3个三次三项式； ②存在一个，使得满足条件的整式有且仅有3个； ③在满足条件的所有整式中，存在几个整式的和为；其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的次数、项数定义．结合给定等式，分别对三个说法逐一分析验证，判断其正确性． 【详解】①当（三次）时，等式为， 即， 为正整数， 时，，要为三次三项式（项数为3），需恰好两个低次系数非零、一个为0： ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； ：，得，对应整式； 时，无法构造出三次三项式，故满足条件的三次三项式共3个，①正确； ②当时，等式为，即 为正整数， 时，，对应整式（）、（）；时，，对应整式，共3个整式，故存在满足条件，②正确； ③取满足条件的整式：（时，符合等式）、（时，符合等式）、（时，符合等式）、（时，符合等式），它们的和为，故③正确； 综上，①②③均正确，正确个数3个． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明口袋中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】确定口袋中球的总个数与白球的个数，再根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：口袋中共有个除颜色外其余都相同的球，其中白球有个，所有结果出现的可能性相等， ∴从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是． 12. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，直接利用两直线平行内错角相等求解即可． 【详解】解：由题意两条直线平行， ∴， 又， ∴． 13. 若n为正整数，且满足，则______． 【答案】 3 【解析】 【分析】通过平方法估算的范围即可求解． 【详解】解: , 为正整数,且满足 ． 14. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定一定为正数，然后再对进行分情况讨论计算即可 ． 【详解】解：∵， ∴一定为正数， ∴， 当y为负数时，， 解得，此时； 当y为非负数时，， 解得：，不符合y为非负数和一定为正数，故舍去， 故综上 ． 15. 如图，平行四边形顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M．证明是垂直平分线，得到，根据勾股定理求出，，再根据勾股定理即可求出．根据圆内接四边形和平行四边形证明，，得到，．设，根据勾股定理得，求出．证明四边形为矩形，得到，．．即可求出． 【详解】解：如图，连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M． ∵点A为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴点都在垂直平分线上， ∴是垂直平分线， ∴． ∵的直径为10， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， 设， 在中，根据勾股定理得， 即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴在中，． 【点睛】本题为与圆有关综合题，考查了垂径定理，圆内接四边形性质，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的判定等知识，综合性强，难度较大，根据题意正确添加辅助线是解题关键． 16. 一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“融合数”，如数，∵且，∴是“融合数”，如数，∵，∴不是“融合数”，则最小的“融合数”为______；将“融合数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字去掉后得到的三位数记为，若能被整除，则满足条件的所有的值的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减，列代数式，根据“融合数”的定义可得出各数位上最小的数，分别求出、、及，根据能被9整除，即可得解． 【详解】解：设这个四位数为，则，，当最小为时，最小为；最小为时，最小为， ∴最小的“融合数”为； 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵ ∴能被整除， 当取时，能被整除， 则可取，取，取， ∴该情况下为； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取或，取，取或，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； ∴该情况下为； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取，取，取， ∴该情况下为； 综上，满足条件的的值总和为 故答案为：；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 解：解不等式①，得_________． 解不等式②，得_________． 不等式①和②的解集在数轴上表示为： 所以原不等式组的解集为_________． 【答案】，，数轴见解析， 【解析】 【详解】解： ； ； ∴解不等式①，得． 解不等式②，得． 不等式①和②的解集在数轴上表示为： 所以原不等式组的解集为． 18. 在学习了四边形的相关知识后，某中学数学兴趣小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形中，连接对角线，利用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点，交于点，交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ， ①________， 是的中点， ②________， 又， ③________； ， 又， 四边形是平行四边形． ④________， 平行四边形为菱形； 【答案】（1）解：作图如下， （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，即为的垂直平分线；该直线与交于、与交于、与交于，最后连接、即可； （2）由矩形得内错角，结合O是中点得，加对顶角，用证得，先证四边形是平行四边形，再由，证得平行四边形为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 学校开展了消防知识竞赛活动，从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析，所有学生的成绩均不低于60分（成绩得分用表示，共分成四个组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：66，68，72，75，78，78，82，83，88，88，88，88，89，89，95，96，98，99，100，100． 八年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：89，85，84，88，85，89，88，89，89． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 86 86 中位数 88 众数 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生消防知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生700人，八年级有学生780人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1） （2）八年级学生消防知识竞赛的成绩较好，见解析 （3）405人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解，先求出C组的占比，再由1减去A、B、C的占比即可求解； （2）根据平均数，中位数和众数分析即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：八年级A组中的人数，B组中的人数有 而20个数据中位数是第10、11个数据的平均数，C组有个数据，故中位数在C组，将C组的数据排列为84，85，85，88，88，89，89，89，89， ∴第10、11个数据为88，88， ∴中位数； 七年级的数据中88出现的次数最多，故众数； ， ∴； 【小问2详解】 解：八年级学生消防知识竞赛的成绩较好，理由如下： 七年级和八年级数据的平均数和中位数一样，但是八年级的众数高于七年级的众数，说明八年级多数学生的成绩在更高的分数段，整体表现更优． 【小问3详解】 解：（人） 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共405人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则． 是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵ ， ∴原式 ． 21. 年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． （1）该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ （2）经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 【答案】（1）该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； （2）该智慧大棚全年总销售额为元． 【解析】 【分析】（）设该智慧大棚种植草莓的种植槽有个，则种植番茄的种植槽有个，然后列出方程，再解方程即可； （）设每千克番茄的售价为元，则每千克草莓的售价为元，根据题意得 ，然后解方程并检验，再结合第一问的产量计算总销售额即可． 【小问1详解】 解：设该智慧大棚种植草莓的种植槽有个，则种植番茄的种植槽有个， 根据题意得， 解得：， 则， 答：该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； 【小问2详解】 解：设每千克番茄的售价为元，则每千克草莓的售价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则草莓售价为，草莓总产量为（千克），番茄总产量为（千克）， ∴总销售额为：（元）， 答：该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后总销售额为元． 22. 如图，菱形的对角线相交于点，，，是线段上的点（不与，重合），连接，过点作直线交线段于点，用表示线段的长度，点与点之间的距离为，与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）图象见解析，性质：当时，有最小值（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质以及勾股定理可得，，那么，对于的函数关系式，分两种情况，根据，得到求解即可； （2）描点、连线即可作图，可从增减性、对称性、最值的角度分析的性质即可； （4）时的取值范围即为函数图象在函数图象上方时，对应的取值范围． 【小问1详解】 解：∵菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：； 【小问2详解】 解：函数图象如图： 函数的性质有：当时，有最小值等； 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，． 23. 如图，，，，，在同一平面内．是小西家，艺术馆位于的北偏东方向6千米处；小福家位于的西南方向，同时在的正东方向；咖啡店位于的南偏东方向，同时在的正东方向；图书馆在的正南方向，同时在的南偏东方向．（参考数据：，，） （1）求小西家与小福家的距离；（结果保留小数点后一位） （2）周日上午，小西和小福相约去图书馆．小福先从家里前往咖啡店购买了两杯咖啡，购买完成后电话联系上小西，小福从咖啡店前往图书馆的同时小西从家里前往图书馆．已知小西与小福的速度之比为，当他们相距千米时，求小西离开家的距离．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）千米 （2）4.1千米 【解析】 【分析】（1）如图，过点B作于点F，求出，，然后得到，即可求解； （2）首先解直角三角形求出，，设小西运动到点G时，小福运动到点H时他们相距千米，过点G作于点M，设，，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点F， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵小福家位于的西南方向， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小西家与小福家的距离为千米； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 根据题意得，， ∴， ∴， 如图，设小西运动到点G时，小福运动到点H时他们相距千米，过点G作于点M， ∵小西与小福的速度之比为， ∴， 设，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得（舍去），， ∴， ∴小西离开家的距离为4.1千米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求此抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过作交于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中的一种求解过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴交点及对称轴联立方程组，求解即可； （2）先判定直角三角形，借助相似转化线段，将最值问题转为二次函数最值求解；再利用平移对称，结合三角形三边关系求线段差值最大值． （3）依据平移规律求出新抛物线解析式，通过角度等量换算分类构造直线，联立解析式求解交点横坐标． 【小问1详解】 解：在抛物线上，抛物线的对称轴是直线， ∴ ． 解得：， ． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交于， 当时，， ，． ． ，， ，，． ， ． ． ， ∴， ． 轴， ． 在中，， 又， ， ，． ． ． ，． ． ． ． ． ∴当最大时，最大． ，， ∴直线的解析式：． 设，则， ， ∴对称轴为 如图，点、均在抛物线对称轴上，且，在的下方，将向上平移个单位得． ． 作关于抛物线的对称点，连接，与抛物线的对称轴交于点，再将点向下平移个单位，得到点． 根据三角形三边关系，，当且仅当、、三点共线时取等号，此时取得最大值，最大值为线段的长度． ． 的最大值是． 【小问3详解】 解：，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线： ． 如图，在上取，连接，得， ， ， ． 过点作与抛物线交点， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入解析式， 得：， 解得：， 的解析式：． ， 解得（舍），． 直线与直线关于直线对称 在直线上取点，作点关于直线的对称点 设直线的解析式为 将，代入 解得 直线解析式为 设过点且与直线相交垂直的直线解析式为 把代入解析式 得 该直线解析式为 联立方程组 解得 两直线交点坐标 设点坐标为 由中点坐标公式可得 ， 解得， 设直线解析式为 将，代入 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），． 综上，满足条件的点的横坐标为或． 25. 在中，，，绕点逆时针旋转角度得到． （1）如图1，若，连接交于点，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点，连接，过点作，在射线上取点，使得，连接，求证：； （3）如图3，若，点是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接，，当取得最小值时，点是直线上一动点，将沿翻折得到，连接，，当同时取得最小值时，求出的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题以等腰直角三角形的旋转变换为背景，考查旋转的性质、全等三角形判定与性质、等腰直角三角形的性质、四点共圆、最短路径问题、折叠变换的性质等知识，属于综合性较强的压轴题． （1）首先根据旋转的性质得到，结合旋转角算出，进而推出；接着发现，由此判断是含角的直角三角形，利用勾股定理求出的长度；最后根据得到，从而求出的长． （2）连接，利用平分且，通过证明，得到；再由，结合角度关系推出是等腰直角三角形，得到；接着通过角度计算证明，结合和，推出三点共线且为等腰三角形，得到；最后将拆分为，代换为，进一步转化为，结合和，最终推导出； （3）先由判定四点共圆，从而推出，确定点在过且垂直直线上；再根据垂线段最短，当这条直线时取得最小值，此时为等腰直角三角形，求出和的长度；接着由折叠性质知，根据三角形三边关系，确定当在上时取得最小值；最后结合这些条件，利用三角形面积公式计算出的面积． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：，， ，． ， ，． 在中，由勾股定理得：， ，解得(负值舍去)， ； 【小问2详解】 证明：如图2，连接，与交于点， 由旋转的性质得：，， ，． 平分， ． 在和中，， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 由勾股定理得：，整理得：． ， ， ． ，，， ，，三点共线，且是等腰三角形． ， ∴； 【小问3详解】 解：，， ． ，， ， ． ∴点、、、四点共圆， ， ∴点在过点且垂直于的直线上． 过点作的垂线，当时，最小． 由折叠得：， ， ∴当点在上时，最小，如图所示． ，， ． ， ． ，， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $