2026年重庆市万州高级中学九年级下第二次阶段学情自测数学试题

**基本信息** 2026年重庆万州中学九年级下第二次月考数学试题，通过传统纹样、智能物流机器人等情境，考查实数、几何、函数等知识，体现数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、中心对称图形、统计调查|结合汉代玉器纹样考图形变换，体现文化传承| |填空题|6/24|概率、平行线性质、圆的切线|以共享单车车架考平行线性质，联系生活实际| |解答题|9/86|几何动态问题、函数与几何综合、智能物流路径优化|设计机器人运输距离问题，考查解直角三角形与方程应用，注重数学建模|

2026年重庆万州中学九年级下第二次月考数学试题（含答案解析） （ 全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟 ） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．的相反数是（　　） A． B．2 C． D． 2．传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．     B．   C．   D．   3．下列调查中，适合采用普查方式的是（   ） A．调查某品牌电视机的市场占有率 B．调查某电视连续剧在全国的收视率 C．调查八年级（1）班的男女学生的比例 D．调查某品牌电动车的使用寿命 4．已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．若，则-2＜y＜0 5．已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 7．观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有（   ）个小黑点 A．54 B．63 C．84 D．90 7题图 8题图 9题图 8．如图，在菱形中，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，作交的角平分线于点，交于点，连接交于点．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 10．已知整式N＝anxn＋an-1xn-1＋……＋a1x＋a0，其中n，为正整数，，，…，均为整数，满足且an＞an-1＞……＞a1＞a0．下列说法： ①当n=2时，则A的最小值为4； ②存在一个满足条件的三次四项式N，使得A=6； ③当A≤5时，所有满足条件的二次三项式N的和为9; ④当A=4时，所有满足条件的整式N共有13个. 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．桌上倒扣着背面图案相同的7张扑克牌，其中5张红桃，2张黑桃．从中随机抽取1张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是　 　 ． 12．如图是共享单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉，已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝57°，∠CEF＝128°，则∠ADE的度数是　 　 °． （12题图） （15题） 13．已知：，则实数m　 　．声明：试题解析著作权属所有，未经书 14．已知：，求（n﹣m）2026　 　． 15．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC＝6，DE＝4．则⊙O的半径　 　；线段EF　 　． 16．若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为零，其中满足a+b+c+d＝n2（n＞0，且为整数），则称这个四位自然数为“和方数”．例如四位数1267，因为各个数位上的数字互不相等且均不为零，1+2+6+7＝42，故1267是“和方数”．按照这个规定，最大的“和方数”为　 　 ；对于“和方数”M，若为整数，且a（n+1）+b（n+1）﹣ac﹣bc＝0，则满足条件的所有M的最大值与最小值的差为　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解不等式组 解：解不等式①，得　 　 ， 解不等式②，得　 　 ， 把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来: 所以原不等式组的解集为　 　 ． 18．如图，在矩形ABCD中，连接AC，点E在AC边上，且满足AE平分∠CAB，∠ACD＝60°．（1）用尺规完成以下基本作图，过点E作AC的垂线，交AC于点O，交AD于点F，连接CF．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形AECF是菱形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由） 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°∴∠CAB＝∠ACD＝60°， ∵AE平分∠CAB， ∴①　 　 ， ∵∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠CAB＝30°， ∴∠CAE＝∠ACE， ∴②　 　 ， ∵EF⊥AC，∴AO＝CO， ∵AD∥CB，∴∠FAO＝∠ECO， 在△FOA和△EOC中， ∴△FOA≌△EOC（ASA）∴AF＝CE． ∵AF∥CE，∴④　 　 ． ∵AE＝CE，∴四边形AECF是菱形． 19．4月23日是世界读书日．学校为了解同学们的课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生进行问卷调查，对所得数据进行了整理、描述和分析，用x表示每个同学每学期的课外阅读量（本），共分五组：A.0≤x＜3；B.3≤x＜6；C.6≤x＜9；D.9≤x＜12；E．x≥12．下面给出了部分信息： 七年级20名学生每学期的课外阅读量在B组中的数据是：3，3，3，4，5，5． 八年级20名学生每学期的课外阅读量为：0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，5，6，7，9，9，12． 七、八年级所抽取学生每学期课外阅读量统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 5.7 a 3 八年级 3.8 3 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的课外阅读量更大？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生1200人，八年级有学生1100人，请估计该校七、八年级每学期课外阅读量不低于6本的学生共有多少人？ 20．先化简，再求值：，其中． 21．某车间生产一种仪器，每台仪器需要1个主体、3个配件才能配套。车间共有20名工人，每人每天可生产主体15个或配件30个。 （1）如何分配工人，才能使每天生产的主体和配件刚好配套？ （2）已知一名工人单独完成120个主体的时间，比单独完成90个配件的时间多1天，且每人每天生产主体比配件少5个。求每人每天生产配件多少个？ 22．如图，在平行四边形 ABCD中，∠B=30°，AB=8，BC=16，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿B→C方向运动，动点M以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D→A方向运动。点P、Q、M三点同时出发，当点P到达点A时，点P，Q和M均停止运动，设动点P运动的时间为x秒(0＜x＜8)，CPQ的面积为y1，点M与点D之间的距离为y2 (1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y2的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出y1≤y2时x的取值范围.(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3) 23．随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，设置了四个智能站点A，B，C，D（位于同一平面）．如图，A在B的南偏西75°方向72米处，C在A的东北方向，且在B的正北方向，D在A的北偏东30°方向，且在C的正西方向．（参考数据：） （1）求AD的长度（结果保留根号）； （2）两个物流机器人同时从不同站点出发执行运输任务，机器人甲从C出发沿着CD前往D处取货，机器人乙从D出发沿着DA前往A装货，乙的速度是甲的2倍．机器人之间通过车间通信系统保持实时数据同步，有效通讯距离为33米．请通过计算说明，当甲距离C多少米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围？（结果保留小数点后一位）． 24．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣4，0），OA＝OC，连接AC，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是位于直线AC上方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴交AC于点E，连接BE、BC，点F是直线AC上一动点，当时，求出此时点P的坐标及△PDF周长的最小值； （3）如图3，抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线y交x轴于点A1、B1，交y轴于点C1，点Q是新抛物线y上位于x轴下方的一点，满足∠OQB1＝∠OCB1，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一种情况的推理过程． 25．在中，，，是线段上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，为的对应点，连接、，为延长线和延长线的交点． (1)如图1，当时，求此时四边形的面积； (2)如图2，连接，若、分别是、的中点，连接、，猜想和的关系，并证明你的猜想； (3)如图3，当在射线上运动时，将沿着翻折，得到，连接，与交于点，当时，直接写出的长． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/18 20:09:36；用户：金睿；邮箱：15870422570；学号：38153163 参考答案： 1、 选择题 D B C B B A B D C B 二、填空题 11、 12、 71° 13、 6 14、 1 15、 3 2 16、 9871 6993 三、解答题 17．【解答】解：解不等式①，得x　 ， 解不等式②，得x＞2　 ， 把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： 所以原不等式组的解集为x＞2　 ． 18. 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/1819 1811:08【解答】解：（1）如图所示： （2）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠CAB＝∠ACD＝60°， ∵AE平分∠CAB，∴， ∵∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠CAB＝30°， ∴∠CAE＝∠ACE，∴AE＝CE， ∵EF⊥AC，∴AO＝CO， ∵AD∥CB，∴∠FAO＝∠ECO， 在△FOA和△EOC中，， ∴△FOA≌△EOC（ASA），∴AF＝CE． ∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形． ∵AE＝CE，∴四边形AECF是菱形． 故答案为：∠CAE，AE＝CE，AO＝CO，四边形AECF是平行四边形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同复制发布日期：2026/5/19 21:13:44；用户：金睿；邮箱：15870422570；学号：38153163 户：金睿；邮箱：15870422570；学号：3819．【解答】解：（1）七年级共抽取20个人，故中位数取第10、11个数据的平均数， A组有20×25%＝5个数据， 对B组进行排序即3，3，3，4，5，5， a5， 八年级20名学生每学期的课外阅读量是：0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，5，6，7，9，9，12， 2出现的次数最多，∴b＝2， 七年级B组的占比100%＝30%， m%＝1﹣25%﹣30%﹣15%﹣10%＝20%，故m＝20， 故答案为：5；2；20； （2）七年级的成绩更好，理由如下： 七年级的中位数、平均数、众数都比八年级高，故七年级的成绩更好； （3）七年级每学期课外阅读量不低于6本的学生人数为：（20%+15%+10%）×1200＝540（人）， 八年级每学期课外阅读量不低于6本的学生人数为：275（人）， 该校七、八年级每学期课外阅读量不低于6本的学生共有540+275＝815（人）， 故该校七、八年级每学期课外阅读量不低于6本的学生共有815人． 20．解：原式 ； 又， ∴原式． 21、【解答】（1）解:设生产主体的工人有x名，则生产配件的工人有(20－x)名。列方程: 3×15x= 30(20－x) 解得：x=8 ∴20－x=20－8=12（名） 答:分配8名工人生产主体，12名工人生产配件，刚好配套。 （2）解:设每人每天生产配件m个，则每人每天生产主体(m- 5)个。 根据题意得： － = 1 解得：m1=45 m2=－10（舍） 检验：m1=45符合题意，是原方程的解。 答:每人每天生产配件45个。 22、 （1）y1=－ x2＋4x（0＜x＜8） y2= （2）图像如图所示： 性质：当时，y随x的增大而减小， 当y随x的增大而增大（答案不唯一） （3）0＜x≤1.5或6.5≤x＜8时y1≤y2 23．解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F， ∴∠AEB＝∠BEC＝∠F＝90°， 由题意及图得∠DAF＝30°，∠FAC＝45°， ∠ABS＝75°，AF∥BC，∠DCB＝90°，AB＝72米， ∴∠FAB＝∠ABS＝75°， ∴∠CAB＝∠FAB﹣∠FAC＝30°， ∴∠ACB＝∠ABS﹣∠BAC＝45°，米， ∴，， ∴米， ∴米， ∴米； （2）设当甲距离C的距离为x米时，两个机器人之间的直线距离为33米，此时甲所在位置为M，乙所在位置为N，如图，过点N作NP⊥CD，交CD的延长线于点P， ∴∠CPN＝90°，∠PDN＝90°﹣∠DAF＝60°，CM＝x，PN＝2CM＝2x， ∴P，PD＝DNcos∠PDN＝2x•cos60°＝x， ∵∠FAC＝45°，∠FAD＝30°，米， ∴米， ∴米， 米， ∴， ∴， ∴， ∵PN2+PM2＝MN2， ∴， 解得（不符合题意，舍去）． ∴当甲距离C大于8.7米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围． 声明：试题著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/19 11:46:43；用户：金睿；邮箱：15870422570；学号：381531624．解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣4，0），OA＝OC， ∴C（0，4）， 把点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4； （2）如图，作PM⊥EC，BN⊥EC，交于点M，N，过点B作BQ∥PE，交AC于点Q， ∵抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴交于点A、B两点， 当y＝0时，得：0＝﹣x2﹣3x+4， 解得x1＝﹣4，x2＝1， ∴B（1，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C的坐标分别代入得： ，解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+4， ∵PE∥y轴，PE∥BQ， ∴BQ∥y轴，∠PEM＝∠BQN， 当x＝1时，y＝1+4＝5， ∴BQ＝5， ∵PM⊥EC，BN⊥EC， ∴∠PME＝∠BNQ＝90°， ∴△PME∽△BNQ，∴， ∴， ∴PE＝4， 设P（n，﹣n2﹣3n+4），则E（n，﹣n2﹣3n+4﹣4）， ∵E（n，﹣n2﹣3n）在直线AC上， ∴﹣n2﹣3n＝n+4， 解得n1＝n2＝﹣2，∴P（﹣2，6）； 如图2.2，作点P关于AC的对称点G，连接DG，连接EG，延长PE交x轴于点H， ∵∠CAO＝45°，PE∥y轴， ∴∠PEC＝∠AEH＝45°， ∵点P关于AC的对称点G， ∴∠PEC＝∠GEC＝45°，PE＝EG＝4， ∵E（﹣2，2），∴G（2，2）， ∵△PDF周长等于PD+DF+PF，当D，F，G三点共线时，PF+DF最短，即DG的长， ∴△PDF周长的最小值为PD+DG， ∵， ∴， ∴PD+DG， 即△PDF周长的最小值为； （3）抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点A1、B1， ∴A1（﹣1，0），B1（4，0），C1（0，﹣4）， 设新抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将C1的坐标代入得： ﹣4＝﹣4a， 解得a＝1， ∴新抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣3x﹣4， ∵OC＝OB1＝OC1， ∴∠OCB1＝45°，∠OC1B1＝45°， ∵∠OQB1＝∠OCB1， ∴当点C和点Q重合时，符合题意，此时Q（0，﹣4）； 如图3，过点O作OR⊥B1C1交于点R，以点R为圆心OR长度为半径作圆，交新抛物线x轴下方部分于点Q1，Q2，C1，此时∠OQ1B1＝∠OQ2B1∠ORB＝45°，符合题意， 当点Q在y轴左边时，过点Q1作Q1N⊥OB1，交于点N，过点C作C1M⊥NM交NQ1的延长线于点M，如图3， ∵B1C1为直径， ∴∠C1Q1B1＝90°， ∴∠B1Q1N+∠C1Q1M＝∠B1Q1N+∠NB1Q1＝90°， ∴∠C1Q1M＝∠NB1Q1， ∵Q1N⊥OB1，C1M⊥NM， ∴△C1Q1M∽△Q1B1N， ∴， 设Q1（m，m2﹣3m﹣4），则Q1N＝﹣m2+3m+4，Q1M＝m2﹣3m﹣4+4＝m2﹣3m，C1M＝﹣m，B1N＝4﹣m， 故可得方程， 整理得， ， 解得m＝1（正值舍去）， 经检验，m＝1是原方程的解， ∴， 当点Q在y轴右边时，过点Q2作Q2E⊥OC1，交于点E，过点B1作B1F⊥EF交EQ2的延长线于点F， 同理可得△C1EQ2∽△Q2FB1， ∴， 设Q2（m，m2﹣3m﹣4），则B1F＝﹣m2+3m+4，C1E＝﹣4﹣m2+3m+4＝﹣m2+3m，Q2E＝m，Q2F＝4﹣m， 故可得方程， 解得m＝1（负值舍去）， 经检验，m＝1是原方程的解， ∴， 综上所示，Q的坐标为（0，4）或或． 25、 声明：试题解析著作权属所有，未25经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/19 10:52:22；用户：金睿；邮箱：15870422570；学号：38153163【答案】(1)18.5 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由题意易得，然后根据勾股定理可得，然后问题可进行求解； （2）分别取的中点M、N，连接，然后根据三角形中位线可得，进而可得，最后通过证明进行求证即可； （3）由折叠可知，分别过点E、作，垂足分别为R、Q，根据“K型全等”可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴； （2）解：，理由如下： 由旋转可知：， ∵分别是的中点，， ∴， 分别取的中点M、N，连接，如图所示： ∴， ∵点M、N、O分别是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由旋转可知：， ∴， 根据沿着翻折，得到，可知：， ∴， 分别过点E、作，垂足分别为R、Q，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $