精品解析：重庆市开州区大进初级中学2024-2025学年九年级下学期6月月考数学试题

大进初中教育集团2025九年级第四次月考 数学试题 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间120分钟； 2．考生答题前请在规定位置填写姓名、考场号、考号等相关信息，在答题卡上正确填涂准考证号（或粘贴条形码）并仔细核对自己的信息； 3．选择题请用2B铅笔在答题卡对应的位置准确填涂，非选择题请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡的非选择题区域作答．在本试卷及草稿纸上作答，答案无效： 4．考试结束后，本试题、答题卡、草稿纸一并收回，请勿带出考场． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在，，，四个数中，是正有理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列图形中，是中心对称图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列各式中错误的是（ ） A B. C. D. 4. 将一个三角形的各边扩大为原来的3倍，则这个三角形的面积扩大为原来的（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 5. 已知反比例函数的图像经过中的两点，则反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 估计值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 7. 如图，在中，点O在上，以O为圆心，为半径作圆与相切于点D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 四边形是平行四边形，，，，以C为圆心为半径画弧，恰好经过点D，以C为圆心为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E是上一点，连接，，连接，若．则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，n，为整数，且，记．下列说法：①当时，若，则满足条件的的值有5个；②当，时，则满足条件的整式有18个；③当，时，要使得M的值为8，则．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 12. 如图，在正五边形中，连接，，则的度数是____________． 13. 一个不透明的袋子里装了四个除标号外其余都相同的小球，小球上的数字分别为1，3，4，6．若一次性随机抽取两个小球，则两个小球上的数字之和大于的概率为_________． 14. 若关于x一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是_________． 15. 如图，是的直径，点C在上，，是的切线，连接交于点E，交于点F，连接并延长交于点G，若，，则________，_________． 16. 若一个四位正整数各个数位上的数字均不为零，千位数字比百位数字的2倍多1，且个位数字、十位数字、百位数字的和为12，我们称这样的四位正整数为“缤纷数”．对于“缤纷数”A，任意去掉一个数位上的数字得到四个三位数，这四个三位数的和记为F（A）．如四位正整数5246，因为，，所以5246是“缤纷数”，5246去掉任意一个数位上的数字，得到四个新的三位数是524，546，526，246，．若A是最大的“缤纷数”，则F（A）的值是________；对于“缤纷数”M，满足为整数，则M的最小值是________． 三、解答题：（本大题共8小题，17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 18. “手拉手，心连心，共建网络安全防护网”．某校为了加强学生网络安全意识，开展了网络安全知识竞赛答题活动．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．)，下面给出了部分信息． 七年级抽取的10名学生的成绩分别是：68，77，79，85，85，89，89，89，93，96 八年级抽取的10名学生的成绩在C组的数据是：85，88，84，89，89，81 七、八年级抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 87 b 八年级 85 a 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　　　　，　　　　　，　　　　　； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由； （3）该校七、八年级共有学生1800人，请估计七、八年级中成绩等级为D的共有多少人？ 19. 在学习了全等三角形和正方形的知识后，小聪同学对正方形的性质进行了深入研究，发现连接正方形的顶点和对角线上一点，过对角线上的点作这条线段的垂线与正方形的边相交，交点中与顶点不在对角线同侧的点、正方形的顶点、对角线上的点所构成的三角形是特殊直角三角形．通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．根据她的想法，完成以下作图和填空： （1）尺规作图：过点E作线段的垂线交于点，交于点，连接．（只保留作图痕迹） （2）如图，在（1）的条件下，证明：是等腰直角三角形． 证明：过点作于点，交于点． ． ①　　 ． 四边形是正方形． ②　　 ，，． ． ． ． 四边形是矩形，是等腰直角三角形． ，． ． ③　　 ． ， ． ． ④　　 ． 和中， ． ． ． 是等腰直角三角形． 依据题意，写出正确命题：⑤　　 ． 20. 在陶行知先生生活教育理念的影响下，某校在校园内开垦校园农场，培养学生的劳动意识．去年农场种植芥蓝和土豆共收获，由于劳动技能的提高，今年土豆的产量比去年提高，芥蓝产量比去年提高，总产量比去年提高． （1）去年农场分别收获芥蓝和土豆多少千克？ （2）今年收获蔬菜时，学校利用劳动课，安排两组同学分别采摘芥蓝和土豆，每小时采摘芥蓝的质量是土豆的2.4倍，两组同学同时开始劳动，结果采摘芥蓝的小组比采摘土豆小组提前10分钟完成采摘任务．问采摘土豆小组每小时可以收获多少千克？ 21. 如图，在中，，，点D从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，点E在线段上，．设，，． （1）直接写出，与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并分别写出，的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 22. 如图，小瑜家和小贤家分别位于点A和点B处，点A在点B的正北方向1200米处，为了增强体质，他们周末相约去体育馆D处打网球．经勘测，公交站点E在小瑜家正东方向400米处，点C在点B的东南方向，点C在点E的正南方向，体育馆公交站在点C的正东方向，在点E的南偏东方向．， （1）求的长度；（结果精确到1米） （2）周末，小瑜和小贤前往D处汇合，小瑜从点A出发步行到公交站点E，再乘坐公交车前往点D，假设小瑜步行的速度为60米每分钟，公交车匀速行驶且速度为200米每分钟，中途上下客耗时2分钟，小贤的步行路线为，步行速度为80米每分钟，请通过计算说明小瑜和小贤谁先到达体育馆． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是直线下方抛物线上一点，轴交于点E，点F是上一点，当点E是中点时，求的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，新抛物线与直线交于点P、Q，（点P在点Q左侧）在新抛物线上找一点M，若，直接写出点M的横坐标． 24. 如图，在中，，点D是右侧一点，，于点E，交于点F． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若，点G是上一点，，连接交于点H，将线段绕点G逆时针旋转，点H恰好落在上得到点M，猜想、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，，，点P是上一点，连接，于点Q，作点Q关于的对称点R，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大进初中教育集团2025九年级第四次月考 数学试题 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间120分钟； 2．考生答题前请在规定位置填写姓名、考场号、考号等相关信息，在答题卡上正确填涂准考证号（或粘贴条形码）并仔细核对自己的信息； 3．选择题请用2B铅笔在答题卡对应的位置准确填涂，非选择题请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡的非选择题区域作答．在本试卷及草稿纸上作答，答案无效： 4．考试结束后，本试题、答题卡、草稿纸一并收回，请勿带出考场． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在，，，四个数中，是正有理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：是正分数，属于正有理数；0既不是正数，也不是负数；是负整数，属于负有理数；是正无理数． 故选A． 2. 下列图形中，是中心对称图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 若，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，即，该选项正确，不符合题意； B． ∵， ∴，该选项正确，不符合题意； C． ∵， ∴，该选项错误，符合题意； D． ∵， ∴，该选项正确，不符合题意． 故选：C． 4. 将一个三角形的各边扩大为原来的3倍，则这个三角形的面积扩大为原来的（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的3倍， ∴所得三角形与原三角形相似， ∵相似三角形的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方， ∴这个三角形的面积扩大为原来的倍． 故选：C． 5. 已知反比例函数图像经过中的两点，则反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质（为反比例函数的比例系数，图象上点的坐标满足该等式 ）．解题关键是利用 “反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于k” 这一性质，通过计算不同点对应的k值，找出符合条件的k，进而确定函数解析式，核心是对反比例函数k的几何意义（）的理解与运用．对于反比例函数的性质是图象上任意一点都满足，据此回答即可． 【详解】解：计算各点对应k值： 对于，将代入，得 ； 对于，将代入，得 ； 对于，将代入，得 。 由于反比例函数图象只能经过两点，而两点对应的k值一致，说明函数经过两点，所以， 反比例函数解析式为 故选：B． 6. 估计的值应在（ ） A 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，减法运算，熟练运算法则是解题的关键． 根据计算得出原式的结果，然后根据无理数的大小得出结论即可． 【详解】解： ∵ ∴， ∴． 故选A． 7. 如图，在中，点O在上，以O为圆心，为半径作圆与相切于点D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地求出的度数是解题的关键．由切线的性质得，因为，所以，由圆周角定理得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵与相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 四边形是平行四边形，，，，以C为圆心为半径画弧，恰好经过点D，以C为圆心为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，扇形面积公式，根据平行四边形的性质得到，由勾股定理逆定理证得是等腰直角三角形，，，根据三线合一得到，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：B． 9. 如图，在正方形中，点E是上一点，连接，，连接，若．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得，，，由等腰三角形的性质得，，再证明，则，即，在中，把数值代入，进行整理得，，再证明，把数值代入，解得，再计算出把数值代入进行计算化简，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， 即，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 则， 设， 在中，， ∴， 即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10. 已知整式，其中，n，为整数，且，记．下列说法：①当时，若，则满足条件的的值有5个；②当，时，则满足条件的整式有18个；③当，时，要使得M的值为8，则．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探索，当时，，，得出，故①错误；②当，时，，有6个整式符合条件；，有6个整式符合条件；，有6个整式符合条件；共18个，故②错误；③当，时，若， 则，得出，故③错误． 【详解】解：①当时，，， 且为整数， ，故①错误； ②当，时， ，有8个整式符合条件； 或或或，有16个整式符合条件； ，有2个整式符合条件； 共26个，故②错误； ③当，时，若， 则， ，故③错误， 故选：A 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在正五边形中，连接，，则的度数是____________． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和问题，利用多边形内角和公式及正多边形的性质可得，再利用等边对等角，利用三角形内角和定理求出的度数，进一步即可求出答案． 【详解】解：是正五边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 一个不透明的袋子里装了四个除标号外其余都相同的小球，小球上的数字分别为1，3，4，6．若一次性随机抽取两个小球，则两个小球上的数字之和大于的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数和摸出的两个小球标号之和大于的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 摸出的两个小球标号之和有：，共种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和大于的结果有种， 摸出的两个小球标号之和大于的概率为， 故答案为：． 14. 若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程等知识点，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 【详解】解：， 解得， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴ ∴或5或6或7或8或9， 解分式方程， ∴， ∴， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为整数，即或2或4或或8， ∴或6或4或2或0， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或4或2或0． ∵， ∴符合条件的整数a有4，8 ∴． 故答案为：12． 15. 如图，是的直径，点C在上，，是的切线，连接交于点E，交于点F，连接并延长交于点G，若，，则________，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质（直径所对圆周角、切线性质）、勾股定理、三角函数的应用、相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用圆的直径、垂直关系构建直角三角形，通过等角转换将三角函数值与线段长度关联，再借助相似三角形求解线段长度． 由是直径、得为等腰直角三角形，结合长度求出和半径；利用同弧所对圆周角相等得通过正切值求出再用勾股定理算根据切线性质得结合正切值求和通过角的关系证利用相似比求出． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ，， ∵是的切线， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ∴， 故答案为：． 16. 若一个四位正整数各个数位上的数字均不为零，千位数字比百位数字的2倍多1，且个位数字、十位数字、百位数字的和为12，我们称这样的四位正整数为“缤纷数”．对于“缤纷数”A，任意去掉一个数位上的数字得到四个三位数，这四个三位数的和记为F（A）．如四位正整数5246，因为，，所以5246是“缤纷数”，5246去掉任意一个数位上的数字，得到四个新的三位数是524，546，526，246，．若A是最大的“缤纷数”，则F（A）的值是________；对于“缤纷数”M，满足为整数，则M的最小值是________． 【答案】 ①. 3330 ②. 3138 【解析】 【分析】本题考查了新定义、列代数式、整式加减运算． 设A的百位数字为x，个位数字为y，十位数字为z，则千位数字为，根据，且、x均为正整数，由A是最大的“缤纷数”，求得，，进而由求得，即可；设M的百位数字为a，个位数字为b，则，则，再根据为整数，求得能被4整除，根据M为最小整数，且各个数位上的数字均不为零，即可确定a取最小，即，从而千位数字为3，又能被4整除，则能被2整除，b为偶数，可确定b可取，当b取最大时，十位数最小，可确定，十位数为，即可求解． 【详解】解：设A的百位数字为x，个位数字为y，十位数字为z，则千位数字为， ∵一个四位正整数各个数位上的数字均不为零 ∴，且、x均为正整数， ∴且x为正整数 ∵A是最大的“缤纷数”， ∴， ∴ ∵个位数字、十位数字、百位数字的和为12 ∴ ∴ ∵A是最大的“缤纷数”， ，，且y、z均为正整数， ∴，， ∴最大的“缤纷数”9471， ∴， 设M的百位数字为a，个位数字为b，则 ∴ 为整数， ∴， ∴能被12整除， 即能被4整除， ∵M为最小整数，且各个数位上的数字均不为零， ∴a取最小，即， 当时，千位数字最小为3， ∴能被4整除， ∴能被2整除，b为偶数， ∴b可取， ∴当b取最大时，十位数最小， ∴，十位数为， M的最小值是3138． 故答案为：3330；3138． 三、解答题：（本大题共8小题，17题16分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 【答案】（1） （2） （3）1 （4） 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，整式的混合运算，分式的混合运算，解一元二次方程： （1）根据平方差公式和单项式乘以多项式法则去括号，再计算加减法 （2）先计算括号中的异分母分式加法，将除法化为乘法，再计算乘法； （3）先计算负指数幂，特殊角是三角函数值，零次幂，化简二次根式，再计算加减法； （4）利用配方法解方程． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 ． 18. “手拉手，心连心，共建网络安全防护网”．某校为了加强学生网络安全意识，开展了网络安全知识竞赛答题活动．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．)，下面给出了部分信息． 七年级抽取的10名学生的成绩分别是：68，77，79，85，85，89，89，89，93，96 八年级抽取的10名学生的成绩在C组的数据是：85，88，84，89，89，81 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 87 b 八年级 85 a 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　　　　，　　　　　，　　　　　； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由； （3）该校七、八年级共有学生1800人，请估计七、八年级中成绩等级为D的共有多少人？ 【答案】（1）86.5，89，60 （2）七年级学生掌握知识较好，理由见解析 （3）估计七八年级中成绩等级为D的共有360人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，掌握计算方法是解题的关键． （1）找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位值的两个数的平均数即为中位数，根据频数之和为10，可求出八年级C组的人数所占百分比； （2）从中位数角度得出七年级学生掌握知识较好； （3）根据样本计算总体的大概情况，利用七、八年级总人数乘以七、八年级中成绩等级为D的人数占比，即可得到答案． 【小问1详解】 解：八年级学生成绩在A组的人数为：（人），在B组的人数为：（人），在C组的人数为6人，在D组的人数为2人， 八年级学生成绩中位数， 七年级10名学生的成绩中出现次数最多的是89， 众数为89， ， ， 故答案为：86.5，89，60； 【小问2详解】 七年级学生掌握知识较好，理由如下： 八年级学生成绩的中位数86.5小于七年级学生成绩的中位数87， 七年级学生对网络安全知识的掌握情况更好； 【小问3详解】 人， 答：估计七八年级中成绩等级为D的共有360人． 19. 在学习了全等三角形和正方形的知识后，小聪同学对正方形的性质进行了深入研究，发现连接正方形的顶点和对角线上一点，过对角线上的点作这条线段的垂线与正方形的边相交，交点中与顶点不在对角线同侧的点、正方形的顶点、对角线上的点所构成的三角形是特殊直角三角形．通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．根据她的想法，完成以下作图和填空： （1）尺规作图：过点E作线段的垂线交于点，交于点，连接．（只保留作图痕迹） （2）如图，在（1）的条件下，证明：是等腰直角三角形． 证明：过点作于点，交于点． ． ①　　 ． 四边形是正方形． ②　　 ，，． ． ． ． 四边形是矩形，是等腰直角三角形． ，． ． ③　　 ． ， ． ． ④　　 ． 在和中， ． ． ． 是等腰直角三角形． 依据题意，写出正确命题：⑤　　 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题结合尺规作图，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）利用尺规作垂线的方法，过点作直线， 、分别交于、，即直线FG即为所求． （2）需结合正方形的性质（对边平行、四边相等、四角为直角）、垂线的性质（垂直于平行线中的一条必垂直于另一条）以及直角三角形的锐角关系，通过推导线段相等和角相等，逐步证明三角形满足等腰直角三角形的条件． 【小问1详解】 解：如图所示，直线FG即为所求 【小问2详解】 证明：过点作于点，交于点． ． ． 四边形是正方形． ，，． ． ． ． 四边形是矩形，是等腰直角三角形． ，． ． ③． ， ． ． ④． 和中， ， ． ． 是等腰直角三角形． 命题：连接正方形的顶点和对角线上一点，过对角线上的点作这条线段的垂线，与正方形的边相交，所构成的三角形是等腰直角三角形． 20. 在陶行知先生生活教育理念的影响下，某校在校园内开垦校园农场，培养学生的劳动意识．去年农场种植芥蓝和土豆共收获，由于劳动技能的提高，今年土豆的产量比去年提高，芥蓝产量比去年提高，总产量比去年提高． （1）去年农场分别收获芥蓝和土豆多少千克？ （2）今年收获蔬菜时，学校利用劳动课，安排两组同学分别采摘芥蓝和土豆，每小时采摘芥蓝的质量是土豆的2.4倍，两组同学同时开始劳动，结果采摘芥蓝的小组比采摘土豆小组提前10分钟完成采摘任务．问采摘土豆小组每小时可以收获多少千克？ 【答案】（1）去年农场收获芥蓝80千克，收获土豆60千克 （2）采摘土豆小组每小时可以收获166千克 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设去年农场收获芥蓝千克，土豆千克，则今年农场收获芥蓝千克，土豆千克，根据去年农场种植芥蓝和土豆共收获，今年总产量比去年提高，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设采摘土豆小组每小时可以收获千克，则采摘芥蓝小组每小时采摘芥蓝千克，根据采摘芥蓝的小组比采摘土豆小组提前10分钟完成采摘任务，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设去年农场收获芥蓝千克，土豆千克，则今年农场收获芥蓝千克，土豆千克， 根据题意得：， 解得：， 答：去年农场收获芥监80千克，土豆60千克； 【小问2详解】 解：设采摘土豆小组每小时可以收获千克，则采摘芥蓝小组每小时采摘芥蓝千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：采摘土豆小组每小时可以收获166千克． 21. 如图，在中，，，点D从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，点E在线段上，．设，，． （1）直接写出，与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并分别写出，的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）见解析；当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，一次函数与反比例函数的交点问题，画函数图象等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点D作于H，由勾股定理可得，则，进而可得，根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）联立两函数解析式，求出对应的交点的横坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点D作于H， ∵在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即； ∴，； ； 【小问2详解】 解：函数图象如下所示： 由函数图象可得，当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：联立，得，解得或（舍去）， ∴当时，x的取值范围为． 22. 如图，小瑜家和小贤家分别位于点A和点B处，点A在点B的正北方向1200米处，为了增强体质，他们周末相约去体育馆D处打网球．经勘测，公交站点E在小瑜家正东方向400米处，点C在点B的东南方向，点C在点E的正南方向，体育馆公交站在点C的正东方向，在点E的南偏东方向．， （1）求的长度；（结果精确到1米） （2）周末，小瑜和小贤前往D处汇合，小瑜从点A出发步行到公交站点E，再乘坐公交车前往点D，假设小瑜步行的速度为60米每分钟，公交车匀速行驶且速度为200米每分钟，中途上下客耗时2分钟，小贤的步行路线为，步行速度为80米每分钟，请通过计算说明小瑜和小贤谁先到达体育馆． 【答案】（1）的长度约为566米 （2）小瑜先到达体育馆，见解析 【解析】 【分析】此题考查三角函数的实际应用，矩形的判定和性质 （1）由题意得：过点B作，得四边形是矩形，推出，进而利用正弦公式求出的长度； （2）由（1）得：四边形是矩形，由此得,，由结合三角函数求出，计算时间进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得： 过点B作， 四边形是矩形 ， 答：的长度约为566米； 【小问2详解】 由（1）得：四边形是矩形 , 小瑜花费时间： 小贤花费时间： 小瑜先到达体育馆．. 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是直线下方抛物线上一点，轴交于点E，点F是上一点，当点E是中点时，求的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，新抛物线与直线交于点P、Q，（点P在点Q左侧）在新抛物线上找一点M，若，直接写出点M的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）作点A关于的对称点，连接，，连接交于P，根据，则当、D、F三点共线时，此时即为最大，最大值为的长，求出的长即可； （3）方法一：由等腰三角形内角关系证明，从而可得，分两种情况：①当点M在直线上方时，②当点M在直线下方时，通过分别求解即可； 方法二：先证明，可得，再分两种情况：①当点M在直线上方时，②当点M在直线下方时，利用解直角三角形求出点坐标． 【小问1详解】 解：把、代入，得 ，解得：， ； 【小问2详解】 解：对于抛物线， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得 ，解得： ， ∵点E是中点， ∵轴， ∴点D的横坐标为2， 把代入，得 作点A关于的对称点，连接，，连接交于P， ∴，， 设点， ∴，， ∴，， ∴ 即 解得：，（舍去） ∴，， ∴ ∵， 当、D、F三点共线时，此时即为最大，最大值为的长， ， ， 的最大值是． 【小问3详解】 解：解：过点P作轴于D，如图， ∴， ， ∴ ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即抛物线向右平移2个单位，向上平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 取的中点， ∵、、 ∴，， ∴，， 由待定系数法可求得：直线解析式为：， ∴， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ①当点M在直线下方时，如图， ∵， ∴， 设直线解析式为：，得，解得：， 即直线解析式为， 联立抛物线和直线解析式得， 解得，， 即点横坐标为． ②当点M在直线上方时， 在上取点，使， ∴， ∴， 设， ∵、 ∴， 解得 ∴， 由待定系数法可求得：直线解析式为：， 设直线解析式为：，得，解得：， 即直线解析式为， 联立抛物线和直线解析式得， 解得，， 即点横坐标为． ∴点M横坐标为或． 方法二：过点P作轴于D，如图， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴ ∴ 解得： ∴，， ∴ ∴点C向右平移2个单位，向上平移个单位， ∴抛物线向右平移2个单位，向上平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为 设， 过点M作轴于E，过点P作轴于H，设射线交x轴于F，过点F作于T， ①当点M在直线上方时， ∵ ∴，， ∵、、 ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则， ∵， ∴，即 ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 化简得： 解得：，（舍去） ∴点M的横坐标为； ②当点M在直线下方时，如图， 同理： 设，则， 同理 ∴　，即， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴，即 化简整理得， 解得：，（舍去）， ∴点M的横坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线的图象性质，二次函数图象的平移，利用轴对称求最值，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，此题属二次函数综合题目，难度较大． 24. 如图，在中，，点D是右侧一点，，于点E，交于点F． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若，点G是上一点，，连接交于点H，将线段绕点G逆时针旋转，点H恰好落在上得到点M，猜想、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，，，点P是上一点，连接，于点Q，作点Q关于的对称点R，请直接写出的最大值． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，从而求得，进而求得，得到，由勾股定理可求得，再解，即可求解； （2）过点D作，先证明，得到，从而得出是等边三角形，得出，，再根据旋转的性质，可证得，然后再证明 ，得到，即可由得到结论； （3）先证明是等腰直角三角形，求出，从而得到，设的中点为点O，连接、，根据点Q关于的对称点R，得出，则当点P在上运动时，点R在以为直径的上运动，所以当点R在射线与的交点时，此时，最大，最大值为，然后分别求出、的长即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点D作， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， 是等边三角形， ，， 由旋转可得：，， ∴， 在和中， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ 设的中点为点O，连接、，如图， ∵点Q关于的对称点R， ∴ ∴ ∴当点P在上运动时，点R在以为直径上运动， ∴当点R在射线与的交点时，如图， 此时，最大，最大值为， 在中，由勾股定理，得 ∴ 即最大值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，轴对称的性质，圆周角定理的推论，点与圆上一点的最值问题．熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$