精品解析：山东省枣庄市滕州市2026年初中学业水平考试数学模拟试题

2026年初中学业水平考试模拟试题 数 学 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1. 下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】解：0对应的点为数轴的原点， 则对应的点离原点最近． 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意． B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项符合题意． C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意． D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项不符合题意． 故选：B． 3. 走马灯是中国传统宫灯与光影玩具的经典结合．下图走马灯的灯体为正六棱柱，它的示意图如图所示，则灯体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确左视图的定义，再分析六棱柱从左面观察所得图形的形状，最后匹配选项得出答案． 【详解】走马灯的灯体为正六棱柱左视图为： ， 选B． 4. 四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，把一个数表示成（其中，为整数）的形式的记数方法叫科学记数法，据此解答即可求解，掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、整式的加减以及算术平方根的性质，正确运用法则、注意算术平方根的非负性是解题的关键．根据二次根式的乘法法则、合并同类项法则及二次根式化简规则判断其正确性，从而确定正确选项． 【详解】∵ 选项A：根据二次根式乘法法则，， ∴ ，正确，符合题意； 选项B：，错误，不符合题意； 选项C：与不是同类项，不能合并，错误，不符合题意； 选项D：，错误，不符合题意． 故选：A． 6. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 7. 数学老师准备在祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶这4位数学家中选取2位，介绍他们在数学领域取得的成就，则选到数学家祖冲之和秦九韶的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶分别记为、、、， 列表可得： 共有种等可能出现的结果，其中选到数学家祖冲之和秦九韶的情况有种， ∴选到数学家祖冲之和秦九韶的概率是， 故选：D． 8. 如图（1）是博物馆展出的古代车轮实物．为测量车轮半径，如图（2）所示，在车轮上取A、B两点，设AB所在圆的圆心为O，作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点，经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则OA的长度是（　　） A. 60cm B. 65cm C. 70cm D. 75cm 【答案】D 【解析】 【分析】由垂径定理得AD＝45cm，利用勾股定理得r2＝452＋（r−15）2，解之即可求得OA的长． 【详解】解：∵OC⊥AB，AB＝90cm， ∴AD＝AB＝45（cm）， 设车轮半径为r，由题意得，OD＝（r−15）cm， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：r2＝452＋（r−15）2， 解得：r＝75， ∴OA的长度是75cm． 故选：D 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 9. 如图，直线（为常数，）分别与反比例函数，的图象交于点，，则与的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数值的几何意义及相似三角形性质解答即可． 【详解】解：如图：作轴，垂足为，作轴，垂足为，则， 根据反比例函数值的几何意义可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为4平方米； ②与之间的函数关系式为； ③当时，矩形的面积最大； ④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：观察图2，得出当时，函数值最大，即矩形的最大面积为4平方米， ∴①说法正确，③说法错误； 由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入得 解得， ∴， ∴②说法正确； 当时，函数值最大，即矩形的最大面积为4平方米，此时，， ∵隔断、分别与矩形的两条邻边平行， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∴矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长米， ∴④说法正确． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 二、填空题：本大题共5小题，满分15分，请将答案填在答题卡的相应位置． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】观察多项式的各项，发现都含有公因数，先提取公因式得到；接着观察括号内的式子，它符合平方差公式的形式，再利用平方差公式进一步分解即可． 【详解】解： ． 12. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据根的判别式，列出不等式求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中平移后，点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定平移方式，再根据平移方式求解即可． 【详解】解：由图可得点的坐标为，点的坐标为， ∵平移后，点的对应点的坐标为， ∴平移方式为先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴点的对应点的坐标为，即． 14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形得到，，最后根据，得到即可求出最小值． 【详解】解：如图，，， 连接，延长与交于点， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 15. 如图，已知，，，⋯，是轴上的点，且，分别过点，，，⋯，，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，⋯，，过点作于点，过点作于点，⋯，记的面积为，的面积为，⋯，的面积为，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别设出点，，，⋯，的坐标，求出它们的纵坐标，发现面积规律，进而求出． 【详解】解： ， 设，⋯， ，，，⋯，都在反比例函数图像上， ，，，⋯，， ， ， ⋯ ， ． 三、解答题：本大题共8小题，满分75分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交边于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明：由题意得平分， ， 又四边形是平行四边形， ，，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质求得，再利用等角对等边，即可证明； （2）由作图得垂直平分，再根据三角形面积公式求出和的面积关系，再根据相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， 设，则， ， 由作图知，垂直平分线段， ， ． ∵， ，， ． ， ， ． 18. 为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，1棵成年的阔叶树种（例如杨树）和1棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． （1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】（1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳千克； （2）；采购杨树棵、冷杉棵一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【解析】 【分析】（1）设每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别为千克和千克，列二元一次方程组求解即可； （2）购买杨树棵，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出与的函数关系式即可； 根据规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，求出的取值范围，根据一次函数的性质可知随的增大而增大，可知杨树最多采购棵，从而确定采购方案． 【小问1详解】 解：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳千克， 根据题意得，解得， 答：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳千克； 【小问2详解】 解：由题意得， ； 由题意得， 解得， 由得，， ∴随的增大而增大， ∵为正整数， ∴当时，有最大值， 此时（棵）， 答：采购杨树棵、冷杉棵，一年内吸收的二氧化碳总量最大． 19. 为参加全国青少年无人机大赛，某校航模社团将从甲、乙、丙、丁4名同学中选拔一名正式参赛队员，选拔赛共进行10轮，主要测试无人机在复杂环境下的定点精准空投能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．教练组对这4名同学最近10次模拟测试的成绩数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下： b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97； c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分； d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 94 94 94 中位数 94 94 93.5 方差 1.2 5.2 1.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________，的值为________； （2）表中_______（填“>”“=”或“<”）； （3）大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮：第一轮（平均水平初筛）：4名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单（若最高平均水平有多人并列，则均进入第2轮）． 第二轮（极度稳定复赛）：在进入第二轮的同学中比较他们测试成绩的稳定性，成绩最稳定的两名选手才能入选第三轮候选名单． 第三轮（核心战力比拼）；针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力指数”．组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状态，设核心战力指数的计算公式为中位数+众数．分最高者最终当选为正式参赛队员． 你认为经过三轮的严格评估，最终当选为正式参赛队员的是哪位同学？请通过分析及计算说明理由． 【答案】（1）94，94 （2）> （3）解：最终当选正式参赛队员的是甲同学，理由如下： ∵四位同学成绩的平均数相同， ∴四位同学均进入第二轮， ∵甲和丁两位同学的方差相同且均比乙和丙小， ∴甲和丁两位同学进入第三轮， ∵甲同学的分数的众数为94分，丁同学的分数的众数为93分， 又∵甲同学的分数的中位数为94分，丁同学的分数的中位数为93.5分， （分），（分）， ， 故最终当选正式参赛队员的是甲同学． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据折线图判断波动性大小，即可得出结果； （3）根据评估流程逐步判断即可． 【小问1详解】 解：甲同学成绩的10个数据排序为92，93，93，94，94，94，94，95，95，96，第5个和第6个数据均为94， 故； ； 【小问2详解】 解：由折线图可知，乙同学成绩的波动性明显高于甲同学成绩的波动性， 故乙同学成绩的稳定性低于甲同学成绩的稳定性，即乙同学的方差大于甲同学， ∴； 【小问3详解】 略． 20. 如图，中，，平分，是上一点，经过点、点的分别交，于点、点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图1，连接，则， ∴， ∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）证明：连接，根据和是的平分线， 得到，得到，则，即可得到是的切线； （2）连接，，在中，，设，则，根据，解得：，得到，再证明，最后根据求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接，， 由（1）知，在中，， 设，则， ∵， ， 解得：， ，， 为圆的直径， ， ， ， ， ， ， ． 21. 某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，如表是活动的设计方案．请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 状态一 （空水桶） 状态二 （水桶内加一定量的水） 示意图 说明：为的中点 （1）当水桶为空水桶状态时，桥梁没有发生形变，如图1（、、在同一条直线上），已知两课桌之间的距离，，求吊绳的长． （2）移动课桌，并在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变，若其他因素忽略不计，测得，，请计算此时水桶下降的高度（参考数据：，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可先求出的长度，结合等腰三角形性质和三角形内角和定理，能求出的度数，在中，利用三角函数的定义求出的长度． （2）在中， ，根据利用三角函数的定义表示出与的关系，同理在中，表示出与的另一个关系，再合并求解即可． 【小问1详解】 由题意可知：，是中点，， ∴，且，． 在中， ​ ， ∴， 解得． 【小问2详解】 由题意得：， 在中，，， 在中，，， ∴ 解得 ∴此时水桶下降的高度约为． 22. 已知二次函数（，是常数）． （1）若时， ①试判断点是否在此二次函数的图象上？ ②已知点，在二次函数图象上，求的值； （2）若二次函数的对称轴为直线，当时，函数值在取值范围内恰有3个整数值，求的取值范围． 【答案】（1）①点在此二次函数的图象上；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得抛物线的解析式为，求出时的函数值即可得到答案； ②根据题意可得点B和点C关于对称轴对称，则可得到，解方程即可得到答案； （2）根据对称轴公式推出，求出抛物线的顶点为，分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，抛物线的解析式为． 当时，， 所以点在此二次函数的图象上； ②因为点，在二次函数图象上，且这两点的纵坐标相等， 所以，两点关于抛物线的对称轴对称， 则，解得， 所以抛物线的解析式为． 将点坐标代入抛物线的解析式得， ； 【小问2详解】 解：因为抛物线的对称轴为直线， ，抛物线的顶点为， 当时，，当时，； 当时，二次函数图象开口向上， 由，可得， ∵对应的的整数值有3个，即，，， ， 解得：； 当时，二次函数图象开口向下，由，可得， ∵对应的的整数值有3个，即，，， ， 解得：； 综上所述，的取值范围为：或． 23. 【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作过程及内容如下（如图①）． 操作1：将正方形对折，使点与点重合，点与点重合．再将正方形展开，得到折痕； 操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点． 【初步感知】 （1）在图①中，若与交于点，连接，可判断四边形的形状是________；若正方形的边长为4，则四边形的周长为________．（直接写出答案） 【方法探究】 （2）请你利用图①证明：为边的三等分点，即． 【拓展应用】 （3）若为正方形纸片的边上的一个三等分点（如图②，），，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考：为边的几等分点？试通过计算加以说明． （4）小顾把正方形纸片换成如图③所示的矩形纸片，左右对折后，再重复“问题背景”中操作2的折纸过程，她发现点恰好是边靠近点的三等分点．请你帮她算出该矩形的长与宽之比________．（直接写出答案） 【答案】（1）菱形；10； （2）证明：设正方形的边长为1，，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， ∴，， 由折叠以及正方形可知：， ∴，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， ∴； （3）点为边的中点． 设正方形的边长为1，，则，， ， ，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得， ， 同理可得， ∴， 则， 解得， 为边的中点； （4） 【解析】 【分析】（1）由折叠知，，四边形是矩形，则，从而得，则可得，从而得四边形是平行四边形，进而得四边形是菱形；然后设，则，再对运用勾股定理求解即可； （2）设正方形的边长为1，，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求得x的值；再证明∽，由相似三角形的性质求得的长，即可求得的长，从而证得； （3）设正方形的边长为1，，则，，求出，，在中，由勾股定理求出，则，再由，求出，即可求解； （4）由题意可设，，，则，同理可得，可求，则，对运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 由题意得，，，， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， ∴ 解得， ∴菱形的周长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由题意可设，，，则，，则， 同理可得，， ∴， ∴ ∴， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴ 整理得， 解得（舍负） 经检验，是原方程的解， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试模拟试题 数 学 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1. 下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 走马灯是中国传统宫灯与光影玩具的经典结合．下图走马灯的灯体为正六棱柱，它的示意图如图所示，则灯体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 数学老师准备在祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶这4位数学家中选取2位，介绍他们在数学领域取得的成就，则选到数学家祖冲之和秦九韶的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图（1）是博物馆展出的古代车轮实物．为测量车轮半径，如图（2）所示，在车轮上取A、B两点，设AB所在圆的圆心为O，作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点，经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则OA的长度是（　　） A. 60cm B. 65cm C. 70cm D. 75cm 9. 如图，直线（为常数，）分别与反比例函数，的图象交于点，，则与的比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为4平方米； ②与之间的函数关系式为； ③当时，矩形的面积最大； ④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，满分15分，请将答案填在答题卡的相应位置． 11. 因式分解：________． 12. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中平移后，点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为_______． 14. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为_______． 15. 如图，已知，，，⋯，是轴上的点，且，分别过点，，，⋯，，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，⋯，，过点作于点，过点作于点，⋯，记的面积为，的面积为，⋯，的面积为，则等于_______． 三、解答题：本大题共8小题，满分75分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简： （1） （2）． 17. 小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交边于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 18. 为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，1棵成年的阔叶树种（例如杨树）和1棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳． （1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 19. 为参加全国青少年无人机大赛，某校航模社团将从甲、乙、丙、丁4名同学中选拔一名正式参赛队员，选拔赛共进行10轮，主要测试无人机在复杂环境下的定点精准空投能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．教练组对这4名同学最近10次模拟测试的成绩数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下： b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97； c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分； d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 94 94 94 中位数 94 94 93.5 方差 1.2 5.2 1.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________，的值为________； （2）表中_______（填“>”“=”或“<”）； （3）大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮：第一轮（平均水平初筛）：4名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单（若最高平均水平有多人并列，则均进入第2轮）． 第二轮（极度稳定复赛）：在进入第二轮的同学中比较他们测试成绩的稳定性，成绩最稳定的两名选手才能入选第三轮候选名单． 第三轮（核心战力比拼）；针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力指数”．组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状态，设核心战力指数的计算公式为中位数+众数．分最高者最终当选为正式参赛队员． 你认为经过三轮的严格评估，最终当选为正式参赛队员的是哪位同学？请通过分析及计算说明理由． 20. 如图，中，，平分，是上一点，经过点、点的分别交，于点、点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，如表是活动的设计方案．请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具 状态一 （空水桶） 状态二 （水桶内加一定量的水） 示意图 说明：为的中点 （1）当水桶为空水桶状态时，桥梁没有发生形变，如图1（、、在同一条直线上），已知两课桌之间的距离，，求吊绳的长． （2）移动课桌，并在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变，若其他因素忽略不计，测得，，请计算此时水桶下降的高度（参考数据：，，）． 22. 已知二次函数（，是常数）． （1）若时， ①试判断点是否在此二次函数的图象上？ ②已知点，在二次函数图象上，求的值； （2）若二次函数的对称轴为直线，当时，函数值在取值范围内恰有3个整数值，求的取值范围． 23. 【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作过程及内容如下（如图①）． 操作1：将正方形对折，使点与点重合，点与点重合．再将正方形展开，得到折痕； 操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与交于点． 【初步感知】 （1）在图①中，若与交于点，连接，可判断四边形的形状是________；若正方形的边长为4，则四边形的周长为________．（直接写出答案） 【方法探究】 （2）请你利用图①证明：为边的三等分点，即． 【拓展应用】 （3）若为正方形纸片的边上的一个三等分点（如图②，），，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考：为边的几等分点？试通过计算加以说明． （4）小顾把正方形纸片换成如图③所示的矩形纸片，左右对折后，再重复“问题背景”中操作2的折纸过程，她发现点恰好是边靠近点的三等分点．请你帮她算出该矩形的长与宽之比________．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $