精品解析：2026年广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校初中部九年级阶段自测 数学试卷

北京师范大学南山附属学校初中部2025−2026学年第二学期九年级三模考试数学试卷 【时间：90分钟 总分：100分】 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. 0.5 B. C. D. 2. 武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在水平桌面上的两个均垂直于桌面，在一条直线上．若．①号的测试距离，则②号的测试距离为（ ） A. B. C. D. 7. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是_________m．（取） 11. 黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形…，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是，则的值为________． 13. 如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为___________． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 解不等式组，并求出它的所有整数解之和． 16. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查(每名学生必选且只选一类)，并根据调查结果制成如下统计图(不完整)、结合调查信息，回答下列问题： （1）本次问卷共调查了______名学生，请补全条形统计图； （2）若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“阅读类”社团活动？ （3）某班有2名男生和1名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中，请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 17. 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 18. 如图，是的弦，直径，垂足为点为弧上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 19. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． （1）求直线上的“双倍点”的坐标； （2）反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； （3）已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； （4）若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 20. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图1，连接，，则的值为______． （2）如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接， ①的长度为______． ②求证：， （3）若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学南山附属学校初中部2025−2026学年第二学期九年级三模考试数学试卷 【时间：90分钟 总分：100分】 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. 0.5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由图可得，手掌遮挡住的点表示的数在至0之间， 而， 所以只有B选项符合题意． 故选：B． 2. 武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据积的乘方，合并同类项，完全平方公式和平方差公式法则进行判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误； B． ，原式计算错误； C． ，计算正确； D． ，原式计算错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键． 5. 如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．平行四边形的性质．利用基本作图可对A选项直接进行判断；再根据平行四边形的性质得到，，所以，则可对B选项进行判断；同时得到，所以，则可对C、D选项进行判断． 【详解】解：由作图得平分， ∴，所以A选项不符合题意， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即，所以B选项不符合题意， ∴， ∴， ∴，所以C选项不符合题意， 与不能确定相等，所以D选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，在水平桌面上的两个均垂直于桌面，在一条直线上．若．①号的测试距离，则②号的测试距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，则，据此代值求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在水平桌面上的两个均垂直于桌面， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即②号的测试距离为， 故选：B． 7. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 8. 如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象间关系，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，过点A作于点H，过点P作于点G，连接，由图象可得，，利用三角形等面积法求出，解直角三角形求出，求出，进而求出，解直角三角形求出，进而求出，由角平分线的定义得到，设，则，求出，利用勾股定理建立方程求出的值，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点A作于点H，过点P作于点G，连接， 当点P在上运动时，的面积为定值， 由图象可得点P运动到点B时，运动时间为，的面积为， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， 设，则， ∴， ∵ ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】x≠ 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得2x-3≠0， 解得x≠， 故答案为：x≠． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 10. 某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是_________m．（取） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点左于点，由题意得，，，，先解，再解，最后由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形…，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，理解黄金矩形的定义是解题的关键．根据黄金矩形的定义可得的长，从而得到的长，再由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：∵四边形是黄金矩形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数中的几何意义，结合题中相关图形面积列方程求解即可． 【详解】解：由图可知，反比例函数中的， 反比例函数的图象与相交于点，与相交于点， ， 点的坐标为， ， ，即， ， ，解得． 13. 如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为___________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，延长交于点，根据题意设，则，证明，得到，根据勾股定理，得到，根据解直角三角形得到，证明，得到，即可得出答案． 【详解】解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图： 在中，， 设，则， ∵，平分， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 15. 解不等式组，并求出它的所有整数解之和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解之和为 【解析】 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ， 整数解为：，，，，， ∴整数解之和为： 16. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查(每名学生必选且只选一类)，并根据调查结果制成如下统计图(不完整)、结合调查信息，回答下列问题： （1）本次问卷共调查了______名学生，请补全条形统计图； （2）若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“阅读类”社团活动？ （3）某班有2名男生和1名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中，请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）100，图形见解析 （2）估计其中大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动 （3） 【解析】 【分析】（1）由喜爱“体育类”的学生除以所占百分比得出本次问卷共调查的学生人数，即可解决问题； （2）由该校共有学生人数乘以喜爱“阅读类”的学生所占的比例即可； （3）列表得出共有6种等可能的结果，其中选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次问卷共调查了名学生， 喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计其中大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动； 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 女 男 男，男 男，女 男 男，男 男，女 女 女，男 女，男 共有6种等可能的结果，其中选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的结果有4种， 选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率为 17. 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元 （2）购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元 【解析】 【分析】（1）设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元，根据“花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元，先求出a的取值范围，再求出的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元； 【小问2详解】 解：设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元， 根据题意，得：， 解得，， ， ， 随的增大而减小， ∵，a为整数， 当时，取得最小值， 此时（万元）， 答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元． 18. 如图，是的弦，直径，垂足为点为弧上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据已知条件证明，得到，即可得证； （2）作于点，则，得到，设，，则，利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， ， ， ，，且， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：作于点，则， ， ， ， 设，，则， 在中，，即：， ， ， 的半径为5． 19. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． （1）求直线上的“双倍点”的坐标； （2）反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； （3）已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； （4）若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）不存在“双倍点”，理由见解析 （3）或 （4）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据“双倍点”的定义设直线上的“双倍点”的坐标，可得，解方程求出的值即可； （2）设在反比例函数图象上，把代入可得，根据平方的非负数性质得出得出该方程无实数解，可得不存在“双倍点”； （3）根据二次函数解析式得出与轴的交点坐标是，根据“双倍点”的定义得出，根据“双倍二次函数”的定义得出顶点坐标为，根据“双倍点”的定义求出或，即可得出答案； （4）根据“双倍二次函数”的得出及“双倍点”的定义求出二次函数解析式为，分，，三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可得答案． 【小问1详解】 解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． 【小问2详解】 解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． 【小问4详解】 解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 20. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点． （1）如图1，连接，，则的值为______． （2）如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接， ①的长度为______． ②求证：， （3）若直线，交于点，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；②见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到； （2）①根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到； ②如图1，过点作于点，由旋转可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分根据角平分线的性质得到由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到； （3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形．如图，令与的交点为，根据三角函数的定义得到，如图，同理可得 【小问1详解】 解：由旋转的性质知，，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：四边形是矩形， ，， ， ， 故答案为：； ②证明：如图1，过点作于点， 由旋转可知，， ， ， ， ， 平分 又，， 由旋转可知，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：的长为或，理由如下， 由旋转得，，， ， ， ， 在四边形中，， ， ， 为等边三角形， 同理为等边三角形． 如图2，令与的交点为， ，， ， ， 如图3，同理可得， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $