精品解析：广东省深圳市南山为明学校2025-2026学年第二学期九年级中考第三次学情自测数学试卷

深圳市南山为明学校2025-2026学年第二学期九年级中考三模 数学 考试：时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数等于（ ） A. B. C. D. 5 2. 生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体．如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在每个小方格均为小正方形的网格中，点都在格点上，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 6. 皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（ ） A. B. C. D. 7. 匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长，宽，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：______． 10. 方程的两个根为、，若，则的值为______． 11. 小诚和爸爸搭乘长途汽车回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是长途汽车座位示意图），则小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，将沿轴向上平移3个单位至，连接，若反比例函数的图象恰好过点与的中点，则______． 13. 如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分） 14. 计算： 15. 先化简，再从中取一个数代入求值． 16. 某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析．下面给出了部分信息： a．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下： b．酸碱度（值）为6和6.3的土壤中蒜苗高度的数据如表： 土壤的酸碱度（值） 蒜苗高度 平均数 中位数 6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 n 6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 m 12.4 c．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的方差如表： 值 5 6 6.3 6.8 8 10 方差 0.381 0.195 0.3625 0.364 0.425 0.4332 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出m，n的值，并补全条形统计图． （2）根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于的蒜苗有多少株． （3）请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（值）对蒜苗生长高度的影响． 17. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 18. 如图，为的直径，为圆上两点，． （1）尺规作图：作于（保留作图痕迹，不用写作图步骤）； （2）求证：是的切线； （3）若，的值． 19. （1）如图1，在正方形中，E、F分别为、边上的点且，延长至G使得，延长交于点H，求证：； （2）如图2，在矩形中，，，将绕点B顺时针旋转至，且点E落在上，求的值； （3）如图3，在四边形中，，，，，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 20. 抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点． （1）求的值； （2）试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； （3）记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市南山为明学校2025-2026学年第二学期九年级中考三模 数学 考试：时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数等于（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴的倒数是． 2. 生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体．如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A: 内部的小圆是虚线，不符合“能看到”的特征，错误； B: 由一个大圆和一个中心的实线小圆组成，完全符合俯视图的特征，正确； C: 只有一个大圆，没有体现顶部的凸起部分，错误； D: 这是电池的主视图（正视图），不是俯视图，错误． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式等对应法则逐项判断即可． 【详解】解：A ∵与不是同类项，不能合并， ∴ A错误，不符合题意； B ∵， ∴ B错误，不符合题意； C ∵，计算正确， ∴ C正确，符合题意； D ∵， ∴ D错误，不符合题意． 4. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ．     故选：A． 5. 如图，在每个小方格均为小正方形的网格中，点都在格点上，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正切函数的定义，勾股定理及其逆定理，正确理解正切函数的定义和勾股定理及其逆定理是解答本题的关键，先根据勾股定理计算，，的值，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切函数的定义，即可得到答案． 【详解】根据勾股定理计算得 ， ， ， ， ， ， 故选A． 6. 皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得位似比为，由道具上的点可得对应到幕布上的点的坐标． 【详解】解：∵皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为， ∴位似比为， ∴道具上的另一点对应到幕布上的点为． 7. 匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长，宽，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设外框的宽度为 ，根据题意可知，加上外框后，整个矩形的长变为 ，宽变为，利用矩形面积公式（长×宽=总面积）即可列出方程． 【详解】解：∵ 匾额原长为 ，宽为 ，且在四周加宽度为的外框， ∴制成后的总长度为，总宽度为 ， ∵制成后的总面积为， ∴根据矩形面积公式可列方程：． 8. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】欲求的长，需要找出与相关联的（或转化为求）．经过观察发现．则，只需求出长即可进一步解出的长度． 【详解】是菱形， ， ， ， 由拆叠可知， ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称图形的性质、三角形相似的判定及性质，找到已知线段长与所求线段长的比例关系是解本题的关键． 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． 先提取公因式m，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 10. 方程的两个根为、，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据已知的两根之和求出参数的值，再代入计算两根之积即可． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴， 解得：， 又根据根与系数的关系可得， 将代入得． 11. 小诚和爸爸搭乘长途汽车回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是长途汽车座位示意图），则小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 一共有种可能的情况，小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座的情况有种， ∴小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是：， 故答案为： 12. 如图，在平面直角坐标系中，，将沿轴向上平移3个单位至，连接，若反比例函数的图象恰好过点与的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交x轴于点E，根据平移的性质可证明四边形是菱形，从而得到轴，设点A的坐标为，则点，，可得点D的坐标为，再由反比例函数图象的性质可得，可求出点A的坐标为，即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， ∵将沿轴向上平移3个单位至， ∴， ∴四边形是平行四边形，点C的坐标为， ∵， ∴四边形是菱形， ∴轴，， 即轴， 设点A的坐标为，则点，， ∵点D为的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好过点与的中点， ∴， 解得：， ∴（负值舍去）， ∴点A的坐标为， 把点代入得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，根据题意准确得到四边形是菱形是解题的关键． 13. 如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解，，如图，过作于，过作于，过作于，求解，，，证明，求解，，进一步求解，证明，再利用相似三角形的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 如图，过作于，过作于，过作于， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质结合绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再从中取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 16. 某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析．下面给出了部分信息： a．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下： b．酸碱度（值）为6和6.3的土壤中蒜苗高度的数据如表： 土壤的酸碱度（值） 蒜苗高度 平均数 中位数 6 13.6 12.8 14 12.8 12.9 12.7 13.3 13.5 13.2 n 6.3 12.8 11.9 11.7 12.5 11.3 13.3 12.3 12.6 m 12.4 c．不同酸碱度（值）的土壤中蒜苗高度的方差如表： 值 5 6 6.3 6.8 8 10 方差 0.381 0.195 0.3625 0.364 0.425 0.4332 根据以上信息，回答下列问题： （1）请直接写出m，n的值，并补全条形统计图． （2）根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于的蒜苗有多少株． （3）请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（值）对蒜苗生长高度的影响． 【答案】（1）；；见解析； （2）这块试验田中高度不低于的蒜苗有60株； （3）见解析； 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义求解，即可补全条形统计图； （2）先求出当酸碱度（值）为6时，蒜苗高度不低于的占比为，再用120乘以占比即可； （3）根据条形统计图以及平均数、中位数和方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 将值为6的8个数据从小到大排列为：12.7，12.8，12.8，12.9，13.3，13.5，13.6，14， ∴中位数 ， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，则： 根据实验数据可得，当酸碱度（值）为6时，蒜苗高度不低于的占比为， ∴（株） 答：这块试验田中高度不低于的蒜苗有60株； 【小问3详解】 解：①从平均数角度分析：土壤的酸碱度（值）为6时，蒜苗生长高度的平均数最高，说明该酸碱度下蒜苗的整体生长水平最优；当值偏离6（无论升高或降低），平均数均呈下降趋势； ②从中位数角度分析：土壤的酸碱度（值）为6时，蒜苗生长高度的中位数最高，与平均数趋势一致，进一步验证该酸碱度下蒜苗的中等生长高度也最优； ③从方差角度分析：土壤的酸碱度（值）为6时方差最小，说明该酸碱度下蒜苗个体间的高度差异最小，生长状态最稳定；土壤的酸碱度（值）为10时方差最大，说明该酸碱度下蒜苗个体生长差异最大，生长状态最不稳定． 17. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 （2）购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．根据题意得： 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 此时； 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 【小问2详解】 解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． ∵， 解得：， 设共花费w元，则 ， ∵ ∴w随m的减小而减小 ∴当时，w最小，最小值为11200， 此时， 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 18. 如图，为的直径，为圆上两点，． （1）尺规作图：作于（保留作图痕迹，不用写作图步骤）； （2）求证：是的切线； （3）若，的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，切线的判定和性质，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）连接，则，根据平行线的判定定理得到，求得，根据切线的判定定理即可得到是的切线； （3）根据圆周角定理得到，，根据相似三角形的性质得到，设，则，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示：以为圆心，任意长为半径画弧交或的延长线于，在分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交的延长线于， 则即为所求， ； 【小问2详解】 证明：连接， ， 则， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问3详解】 解：， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得，（不合题意舍去）， ， ， ， ，即， ， ， ． 19. （1）如图1，在正方形中，E、F分别为、边上的点且，延长至G使得，延长交于点H，求证：； （2）如图2，在矩形中，，，将绕点B顺时针旋转至，且点E落在上，求的值； （3）如图3，在四边形中，，，，，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）连接，根据勾股定理求出，根据旋转得出，，，过点B作，垂足为H，，，求出，即可求出结果； （3）分两种情况，当，当，分别画出图形，作出辅助线，进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴在中，， ∵绕点B逆时针旋转至， ∴，，， ∴， ∴， 过点B作，垂足为H， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：①当时，作交于点H， 则， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 将绕点B顺时针旋转至，连接, 则， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②当时，作交于点H，以为底作等腰，使，连接，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，注意分类讨论． 20. 抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点． （1）求的值； （2）试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； （3）记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）①；②或 【解析】 【分析】(1) 将点代入抛物线解析式求． (2) 用表示，代入得到关于的一元二次方程，由判别式判断是否存在实数解． (3) ① 先确定抛物线顶点和对称轴，根据点在图象上确定的取值范围，再分最低点在处和处两种情况求． ② 分两种情况讨论最低点的位置，作出正方形后根据点在内部、点在外部以及建立方程求解． 【小问1详解】 解：∵ 抛物线过点， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 解：由(1)得抛物线解析式为， ∴ ，， ∴ ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 方程无实数根， ∴ 不存在实数使得． 【小问3详解】 ① 解：∵ ， ∴ 顶点，对称轴为直线， ∵ 点在图象上， ∴ ， ∴ ， ∵ 抛物线开口向下， ∴ 图象的最高点为，， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， ∴ ． ② 解：当时，最低点为 ，对称点 ， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当时，最低点为 ，对称点 ， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $