精品解析：黑龙江绥化市绥棱县第六中学2025-2026学年九年级下学期第四次阶段测试数学试卷

初四数学试题 一、选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分） 1. 计算：的结果是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 0 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的主视图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某校八年级一班4名团员的年龄（单位：岁）分别为13，14，14，15，一年后由这4名团员的年龄组成的数据不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 用一张半径为，圆心角为的扇形纸板做一个圆锥，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥的底面圆半径是（ ） A. B. C. D. 8. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是边上一点，且，连接．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 等边三角形是中心对称图形 B. 甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲成绩比乙的稳定 C. 在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等 D. 顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是菱形 11. 如图，直角梯形OABF中，，点 A在轴上，双曲线过点F，与交于E点，连接，若，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 12. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 13. 某平台大约有124600000名用户，将124600000用科学记数法表示为______． 14. 因式分解：__________． 15. 函数 的自变量x的取值范围是 ______． 16. 如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为 _____千米． 17. 化简：______． 18. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是________． 19. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 20. 如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接、，则的最小值是______． 21. 如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个小黑点，第4个图中有19个小黑点……，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为______． 22. 如图，矩形ABCD的边，，E是边上一点，将沿折叠得到，点D恰好落在边上点F处，将线段沿着射线方向平移得到对应线段，连接，当是等腰三角形时，平移的距离为______． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在中，， （1）用无刻度的直尺和圆规在图中作，使圆心O在边上，过点B且与边相切于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 24. 学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 25. 为了更好地保护河流，污水处理厂决定先购买A，B两种类型的污水处理设备共20台．每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型设备和2台B型设备每周共可以处理污水640吨，2台A型设备和3台B型设备每周共可以处理污水1080吨． （1）求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ （2）经预算，污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周的污水处理量不低于4500吨，共有几种购买方案？当购买A，B两种设备各多少台时，所需资金最少，最少资金是多少元？ （3）已知污水处理厂与污水设备制造厂相距300km，一辆出租车从污水处理厂出发往返于污水处理厂与污水设备制造厂两地，一辆运送污水设备的货车沿同一条公路从污水设备制造厂前往污水处理厂，两车同时出发，出租车到达污水设备制造厂后休息了一段时间，然后按原路原速返回，结果出租车比货车早半小时到达污水处理厂．如图是两车距污水处理厂的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数关系图象． ①出租车的行驶速度是______，出租车到污水设备制造厂后休息的时间为______h； ②直接写出两车出发多长时间相距100． 26. 如图，以 的直角边 为直径作，交斜边 于点 ，点 是 的中点，连接 . （1）求证：是 的切线； （2）若 ，求 的长； 27. 【操作发现】 （1）如图1，正方形纸片，点E是边上一点，将沿翻折，点A的对应点F落在正方形内部，延长交边于点G，连接，易知； 【深入探究】 （2）如图2，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，然后继续进行（1）中的操作，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在折痕上，其它条件不变，把纸片展开，连接，求的度数； 【类比迁移】 （3）①如图3，将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，点E在线段上，把沿折叠，点A的对应点F刚好落在直线上，，求的长； ②若点E在线段的延长线上，①中其它条件不变，直接写出的长； 【拓展应用】 （4）如图4，在菱形中，，边长为10，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的边上，且，直接写出的长． 28. 如图，二次函数的图象过点，与轴交于点A，，与轴交于点C． （1）求二次函数解析式； （2）D为线段上的一个动点，交于点E，交抛物线于点F，连接和，当直线把的面积分成两部分时，求出点D的坐标； （3）若点P在直线上，Q是平面内一点，是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学试题 一、选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分） 1. 计算：的结果是（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值的性质和零指数幂的运算性质，分别计算两部分的值，再求和即可得到结果． 【详解】解：∵ 根据绝对值的性质， 可得， 根据零指数幂的性质，任何非零数的次幂都等于，可得， ∴ 原式. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 3. 如图是某几何体的主视图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该几何体的主视图为三角形和长方形组成，易判断该几何体是由圆锥和圆柱组成． 【详解】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是 ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，，选项A正确； B、，选项B错误； C、，选项C错误； D、，选项D错误． 5. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性质得到，再根据平角的定义求解，即可解题． 【详解】解：如图， 直角三角板位于两条平行线间且， ， 又直角三角板含角， ， ， 故选：B． 6. 某校八年级一班4名团员的年龄（单位：岁）分别为13，14，14，15，一年后由这4名团员的年龄组成的数据不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、众数中位数、方差，根据定义求解判断即可． 【详解】解：八年级一班4名团员的年龄（单位：岁）分别为13，14，14，15， 平均数为：， 众数为：， 中位数为：， 方差为：； 一年后由这4名团员的年龄（单位：岁）分别为14，15，15，16， 平均数为：， 众数为：， 中位数为：， 方差为：； ∴数据不会改变的是方差， 故选：D 7. 用一张半径为，圆心角为的扇形纸板做一个圆锥，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥的底面圆半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先利用弧长公式求出扇形弧长，再根据圆的周长公式计算底面圆半径即可． 【详解】解：∵扇形半径为，圆心角为， ∴扇形弧长． ∵圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为， ∴，解得． 8. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，掌握相关量之间的数量关系是解题的关键． 先将物体B的体积表示出来，再根据物体A的密度是物体B密度的2倍，利用质量与体积关系列方程，即可． 【详解】解：物体A的体积是，物体B的体积比物体A的体积大， 物体B的体积为， 根据物体A的密度是物体B密度的2倍，得． 故选：A． 9. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是边上一点，且，连接．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，则垂直平分，则，证明是直角三角形，解即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ． ∵， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 等边三角形是中心对称图形 B. 甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，则甲成绩比乙的稳定 C. 在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等 D. 顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，圆的性质，方差与稳定性之间的关系，中点四边形，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、等边三角形不是中心对称图形，原命题错误，不符合题意； B、∵， ∴乙成绩比甲的稳定，原命题错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角（在弦的同一侧）相等，原命题错误，不符合题意； D、如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，原命题正确，符合题意． 故选：D． 11. 如图，直角梯形OABF中，，点 A在轴上，双曲线过点F，与交于E点，连接，若，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据将的长度设出来，再利用平行于轴直线上的点纵坐标相等，平行于轴直线上的点的横坐标相等将四个点的坐标表示出来，再将线段求出来，结合的面积进行求解． 【详解】解： ， 设， ， 轴，轴， ， ， ， ． 12. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用时得到，把代入得到，然后利用可对③进行判断；利用二次函数当时有最小值可对④进行判断；由于二次函数与直线的一个交点为，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，从而得到，则可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， 即， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，所以①错误； ∵物线与x轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵时，， ∴， 而 ∴， ∵， ∴，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（t为任意实数）， 即，以④正确； ∵图象经过点时，方程的两根为， ∴二次函数与直线的一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与直线的另一个交点为， 即， ∴，所以⑤错误． ∴正确的结论是②③④，共3个， 故选：C 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 13. 某平台大约有124600000名用户，将124600000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数， ． 14. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底． 15. 函数 的自变量x的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围等知识．熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围是解题的关键． 由题意知，，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴函数的自变量x的取值范围是， 故答案为：． 16. 如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为 _____千米． 【答案】6 【解析】 【分析】证明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝3千米，在Rt△PBC中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案． 【详解】解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°， ∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°， ∴∠PAB＝∠APB， ∴AB＝PB， 在Rt△PAC中，∵AP＝6千米， ∴PC＝PA＝3千米， 在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝， ∴PB＝＝6千米． ∴AB＝6千米． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．注意在描述方向角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度.当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向． 17. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的除法与加法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 18. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是________． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、位似的性质等知识点，掌握位似的性质是解题的关键． 根据相似图形的性质可知两矩形的相似比为，由平面直角坐标系可知B点的坐标为，进而求得点的坐标． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴两矩形的相似比为， ∵由坐标系可得B点的坐标为， ∴点的坐标是或． 故答案为：或． 19. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 20. 如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，，可得是等边三角形，则，证明，可得，则，可得当、、、四点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，，则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当、、、四点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的最小值是． 21. 如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个小黑点，第4个图中有19个小黑点……，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为______． 【答案】45 【解析】 【分析】仔细观察图形，根据前面几个图形，找到图形变化的规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：第1个图案由个小黑点组成， 第2个图案由个小黑点组成， 第3个图案由个小黑点组成， 第4个图案由个小黑点组成， ……， 第个图案由个小黑点组成， 根据题意可得，解得：（不合题意，舍去），． n的值为45． 22. 如图，矩形ABCD的边，，E是边上一点，将沿折叠得到，点D恰好落在边上点F处，将线段沿着射线方向平移得到对应线段，连接，当是等腰三角形时，平移的距离为______． 【答案】2或3或 【解析】 【分析】根据矩形及折叠的性质得，，进而可求出的值，分类讨论：若，若，若，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∴， 如图，由平移可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 如图，过点作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 分三种情况讨论： 若， ∴， ∴， 即平移的距离为2； 若， ∵，， ∴， 即平移的距离为3； 若， 在中，， 设， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴平移的距离为； 综上所述，当是等腰三角形时，平移的距离为2或3或． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在中，， （1）用无刻度的直尺和圆规在图中作，使圆心O在边上，过点B且与边相切于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，可推出点在的角平分线与的交点处，再根据切线性质过点作的垂线； （2）根据切线的性质与证得，得到，再利用“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点F，交于点E ∵与相切， ∴． ∵， ∴． ∴． 则， ∴． ∵， ∴，解得． ∴的半径为． 24. 学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）， （2）144 （3） 【解析】 【分析】（1）利用选择A类的学生人数除以其所占的百分比求得样本总量，再利用总人数减去其他类的学生人数求得D类的学生人数，再补全条形统计图即可； （2）利用C类的学生人数除以样本的总人数求得其所占的百分比，再乘以即可求解； （3）画树状图可得共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：被调查学生总人数：（名）， D的人数（名）， 补全条形统计图见答案； 【小问2详解】 解：C“科技类”所对应的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 25. 为了更好地保护河流，污水处理厂决定先购买A，B两种类型的污水处理设备共20台．每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型设备和2台B型设备每周共可以处理污水640吨，2台A型设备和3台B型设备每周共可以处理污水1080吨． （1）求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ （2）经预算，污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周的污水处理量不低于4500吨，共有几种购买方案？当购买A，B两种设备各多少台时，所需资金最少，最少资金是多少元？ （3）已知污水处理厂与污水设备制造厂相距300km，一辆出租车从污水处理厂出发往返于污水处理厂与污水设备制造厂两地，一辆运送污水设备的货车沿同一条公路从污水设备制造厂前往污水处理厂，两车同时出发，出租车到达污水设备制造厂后休息了一段时间，然后按原路原速返回，结果出租车比货车早半小时到达污水处理厂．如图是两车距污水处理厂的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数关系图象． ①出租车的行驶速度是______，出租车到污水设备制造厂后休息的时间为______h； ②直接写出两车出发多长时间相距100． 【答案】（1）A种污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B种污水处理设备每周每台可以处理污水200吨 （2）购买A型污水处理设备13台，B型污水处理设备7台所需资金最少，最少资金为226万元 （3）①，1；②或或5h 【解析】 【分析】（1）利用“处理污水总数A种污水处理设备处理的污水总数 B种污水处理设备处理的污水总数”列二元一次方程组求解； （2）根据“处理污水总数A种污水处理设备处理的污水总数 B种污水处理设备处理的污水总数”与“购买设备的总价购买A种污水处理设备的总价购买B种污水处理设备的总价”列不等式组求解即可； （3）根据函数图像，求出货车和出租车的速度，再根据两车相遇前相距，相遇后相距，以及出租车返回时追货车时相距三种情况分别求解． 【小问1详解】 解：设A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水m吨和n吨． 根据题意，得解得 答：A种污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B种污水处理设备每周每台可以处理污水200吨． 【小问2详解】 解：设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备台． 根据题意，得解得． ∵a取整数， ∴，14，15； ∴共有3种购买方案． 设购买设备所需资金W万元，则 ∵， ∴W随a的增大而增大． ∴当时，W最小．最小值为（万元） 即购买A型污水处理设备13台，B型污水处理设备7台所需资金最少，最少资金为226万元． 【小问3详解】 解：①有图像知：出租车行驶使用了， 出租车的速度为； 出租车按原速返回， 返回使用时间为， 出租车来回共用时间， 休息时间为； ②由图可知，货车行驶，行驶了， 货车速度为， 当两车相向行驶过程中相距，此时两车共行驶了， 此时时间为； 当出租车到达污水设备制造厂时，货车与污水设备制造厂的距离为， 出租车到达污水设备制造厂前，两车相距， 此时时间为； 当出租车开始从污水设备制造厂向污水处理厂行驶时，货车与污水设备制造厂的距离为，货车与出租车相距，追及距离为， 此时时间为； 综上所述，两车相距的时间为． 26. 如图，以 的直角边 为直径作，交斜边 于点 ，点 是 的中点，连接 . （1）求证：是 的切线； （2）若 ，求 的长； 【答案】（1） 证明：连接， 在中，， 是的直径， 即， 在中，点是的中点， ， 又， ， ， 在上 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质，证明，再证明即可； （2）由（1）中结论，得，先根据三角函数及勾股定理求出的长，再证明即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中结论，得， 在中，， ， ， ， 又， ∴， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质与判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出是解本题的关键． 27. 【操作发现】 （1）如图1，正方形纸片，点E是边上一点，将沿翻折，点A的对应点F落在正方形内部，延长交边于点G，连接，易知； 【深入探究】 （2）如图2，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，然后继续进行（1）中的操作，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在折痕上，其它条件不变，把纸片展开，连接，求的度数； 【类比迁移】 （3）①如图3，将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，点E在线段上，把沿折叠，点A的对应点F刚好落在直线上，，求的长； ②若点E在线段的延长线上，①中其它条件不变，直接写出的长； 【拓展应用】 （4）如图4，在菱形中，，边长为10，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的边上，且，直接写出的长． 【答案】 （1）证明：四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得 ， ，， ∵， ∴； （2）； （3）①；②10； （4）或 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，推出，，由折叠的性质得，利用即可证明； （2）连接，证明为等边三角形，同理（1）得，即可解答； （3）①根据题意得点在线段的垂直平分线上，求出，，由折叠的性质得：，，在中，由勾股定理求得，易证四边形为矩形，求出，设，则，利用勾股定理即可求解；②根据题意画出示意图，同理①即可解答； （4）根据题意分两种情况讨论，①当点落在边上时，②当点落在边上时，利用菱形的性质结合折叠的性质，解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）连接， 由折叠的性质得 垂直平分，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 四边形是正方形， ， ∴， 同理（1）得， ∴； （3）①点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得 ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图， 同理得，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （4）①当点落在边上时，如图，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ②当点落在边上时，如图，过点作于点，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由翻折得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得： ， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 28. 如图，二次函数的图象过点，与轴交于点A，，与轴交于点C． （1）求二次函数解析式； （2）D为线段上的一个动点，交于点E，交抛物线于点F，连接和，当直线把的面积分成两部分时，求出点D的坐标； （3）若点P在直线上，Q是平面内一点，是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在．点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点，代入，得到b、m的值，从而求出二次函数解析式； （2）通过二次函数解析式确定、，进而确定直线、、的解析式，联立直线和直线的解析式确定点E坐标，根据面积之比和相似三角形的性质和判定确定点E横坐标，最后确定点D的坐标； （3）根据点P的位置不同进行分类讨论，再利用矩形的性质，建立线段长和点的坐标之间的关系，从而确定点Q的坐标． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵与轴交于点A，， ∴，解得，， ∴， ∵与轴交于点C， ∴， 设直线的解析式为， 将点、代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点、代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式，得， ∴， 将代入，得， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴或， 即或， 过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或， ∵， ∴， ∴或， 即或， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：第一种情况：过点B作，交延长线于点P，过点P作的垂线，过点A作的垂线，两线交于点Q，即， ， ∵，， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，将代入直线的解析式为，得， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况：过点B作，交线段于点P，过点B作的垂线，过点A作的垂线，两线交于点Q，即， ， ∵，， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 过点P作，过点Q作， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为，将代入得，，∴， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式，得， 解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $