第十章 二元一次方程组期末复习检测卷 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组，分层设计基础巩固、综合应用、创新拓展三阶练习，覆盖概念理解到跨学科实践，适配期末复习需求，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二元一次方程概念、解的意义、基本解法|单选1-4考查概念辨析，解答题16强化加减消元运算，夯实基础| |进阶层|实际问题建模、综合解题|单选5-6结合《九章算术》与礼盒分装，解答题19水果销售问题，培养应用意识| |拓展层|创新情境与跨学科探究|解答题22板材裁切方案设计，融合几何直观与优化思想；解答题23换元法体现推理意识，提升高阶思维|

第十章 二元一次方程组期末复习单元卷 一、单选题 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于x，y的二元一次方程，m的值为（     ） A．1 B．2 C． D．1或 3．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B．1 C．7 D．9 4．在解方程组时，用加减消元法消去y的做法正确的是（     ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可以列出方程组为（     ） A． B． C． D． 6．为推广某农作物玉米品牌，计划将100千克的玉米粉分装成3千克和5千克“玉米粉礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于10盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 7．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 8．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 9．已知关于，的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2026 D．1 10．在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将线段平移得到线段，使得点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，则四边形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D．48 二、填空题 11．已知，用含x的代数式表示y，则________． 12．已知，则_____________． 13．今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀、燕二十五只，并重二斤一十三铢．问：燕、雀各几何？题目大意如下：1只雀重33铢，1只燕重29铢．雀和燕一共有25只，共重781铢．燕、雀各有多少只？设雀有只，燕有只，可列方程组：______． 14．已知方程组的解满足，则k的值为_____． 15．已知的解是，则的解为_______． 三、解答题 16．二元一次方程计算 (1) (2) 17．下面是阳阳解二元一次方程组的过程，请阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得……第一步 ，得……第二步 ……第三步 把代入，得……第四步 ∴原方程组的解为……第五步 (1)任务一： 上述材料中阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是________（填序号即可）； A．公式法    B．换元法    C．代入法    D．加减法 上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是________（填序号即可）； A．数形结合    B．公理化    C．演绎    D．转化 第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2) 任务二：请你写出正确的求解过程． 18．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 19．问题情境：某水果店3月份购进甲、乙两种水果共花费1600元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果10元/千克，全部售完；4月份，这两种水果的进价上调为甲种水果10元/千克，乙种水果13元/千克．该店4月份购进这两种水果的数量与3月份都相同，却多花费440元． 问题解决： (1)问该店4月份分别购进甲、乙两种水果多少千克？ (2)该店4月份甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为18元/千克，在甲种水果出售一半、乙种水果全部售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为695元，问剩余甲种水果打几折销售？ 20．在现代高等代数领域中，可以将关于，的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； 21．根据以下素材，探索完成任务． 素材1“浙BA”的门票分为A，B，C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票需要64元；购买2张A档门票和3张B档门票需要110元；购买1张C档门票需要8元． 素材2某购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． (1)求A档和B档门票的单价． (2)某篮球俱乐部组织30名同学观看比赛． ①若购买A档门票8张、B档门票10张，其余都是C档门票，求俱乐部购买门票需要多少元? ②若该俱乐部购买门票共花了420元（三种门票都有购买），且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 22．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．    素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背 ___________ 张和座垫 ___________ 张． 方法三：裁切靠背 ___________ 张和座垫 ___________ 张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成 ___________ 张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． (1)任务一：若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背___________张和座垫___________张． 方法三：裁切靠背 ___________张和座垫___________张． (2)若该工厂购进110张该型号板材，能制作成___________张学生椅？ (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 23．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组期末复习单元卷 答案 一、单选题 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【详解】解：根据二元一次方程的定义，选项中只有是二元一次方程． 2．已知方程是关于x，y的二元一次方程，m的值为（     ） A．1 B．2 C． D．1或 【答案】C 【知识点】绝对值方程、二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数都为1，含有两个未知数（即未知数的系数不为0），列出式子，求解即可． 【详解】解：方程是关于x，y的二元一次方程， 则，且， 解得，且， ∴． 3．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B．1 C．7 D．9 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】根据二元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，将已知的代入方程即可计算出的值． 【详解】∵是方程的解， ∴将代入方程得：， ∴． 4．在解方程组时，用加减消元法消去y的做法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】加减消元法 【分析】观察未知数的系数特征，即可判断正确做法． 【详解】解：对于方程组， ①中的系数为，②中的系数为，两个系数互为相反数， 将①②，即可消去，得到关于的一元一次方程，符合要求． 5．《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可以列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意可知每枚黄金重两，每枚白银重两，根据“甲袋原有9枚黄金，乙袋原有11枚白银，两袋重量相等”，得出第一个方程 ，交换1枚后，甲袋变为8枚黄金加1枚白银，总重量为，乙袋变为10枚白银加1枚黄金，总重量为，根据交换后甲袋比乙袋轻13两，即乙袋重量减去甲袋重量等于13，即可得第二个方程，据此即可建立方程组． 【详解】解：根据题意可得方程组． 6．为推广某农作物玉米品牌，计划将100千克的玉米粉分装成3千克和5千克“玉米粉礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于10盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】先设两种礼盒的盒数，根据总重量列二元一次方程，再结合两种礼盒盒数不少于10盒的限制，找出所有符合条件的正整数解，统计方案数即可. 【详解】解：设3千克装礼盒有x盒，5千克装礼盒有y盒，x，y均为正整数， 根据题意得 ，且 ， ∴， 又∵x，y均为正整数，且 ， ∴当时，； 当时，； 当时，（舍去）； 故准备方案共有2种. 7．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 【答案】C 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意可得，，，先求出，进而得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则，的值分别为，． 8．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设小长方形的长为，宽为，则根据图形，列二元一次方程组，求得小长方形的长和宽，再根据阴影部分面积等于长方形减去5个小长方形的面积，即可求得答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得： ， 解得：， 阴影部分图形的总面积为：． 9．已知关于，的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2026 D．1 【答案】D 【知识点】方程组相同解问题、已知式子的值，求代数式的值 【详解】解：∵关于，的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组， 解得， 代入，得， 解得：， ∴． 10．在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将线段平移得到线段，使得点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，则四边形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D．48 【答案】B 【知识点】加减消元法、已知图形的平移，求点的坐标、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】先解二元一次方程组得到a，b的值，确定A，B坐标，再根据平移性质得到C，D坐标，最后利用对角线垂直的四边形面积公式计算面积． 【详解】解：解方程组得， ∴，． ∵点的对应点在轴，点的对应点在轴， ∴线段向左平移个单位，向下平移个单位，得，． ∵四边形的对角线在轴上，长度为，对角线在轴上，长度为，且， ∴面积． 二、填空题 11．已知，用含x的代数式表示y，则________． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】利用等式的性质，对方程变形，将单独放在等号的一侧即可求解． 【详解】解：移项得， 系数化为得． 12．已知，则_____________． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、加减消元法、乘方运算的符号规律、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】首先由绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 13．今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀、燕二十五只，并重二斤一十三铢．问：燕、雀各几何？题目大意如下：1只雀重33铢，1只燕重29铢．雀和燕一共有25只，共重781铢．燕、雀各有多少只？设雀有只，燕有只，可列方程组：______． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据雀和燕一共有25只，1只雀重33铢，1只燕重29铢，共重781铢，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：∵雀和燕一共有25只， ∴， ∵1只雀重33铢，1只燕重29铢，共重781铢， ∴， ∴． 14．已知方程组的解满足，则k的值为_____． 【答案】2 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【详解】解：， 得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴k的值为2． 15．已知的解是，则的解为_______． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题利用整体换元思想，对比两个方程组的结构，将新方程组中的和看作整体，对应原方程组的未知数，结合原方程组的解即可求出新方程组的解． 【详解】解： 已知的解是 令，， 则新方程组可化为 因此可得 即 解得． 三、解答题 16．二元一次方程计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：原方程组化简为， ，得， 解得， 把代入④，得， 解得， ∴方程组的解为 . 17．下面是阳阳解二元一次方程组的过程，请阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得……第一步 ，得……第二步 ……第三步 把代入，得……第四步 ∴原方程组的解为……第五步 (1)任务一： 上述材料中阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是________（填序号即可）； A．公式法    B．换元法    C．代入法    D．加减法 上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是________（填序号即可）； A．数形结合    B．公理化    C．演绎    D．转化 第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)任务二：请你写出正确的求解过程． 【答案】(1)①D ②D ③一；①时等号右边的4没有乘2（言之有理即可）； (2)见解析 【知识点】加减消元法 【分析】（1）①根据题意可得阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是加减法； ②根据题意可得，消元过程中体现的数学思想是转化； ③根据题意可得第一步错误；理由为①时等号右边的没有乘． （2）将第一步改正，再按照加减消元法的步骤求解即可． 【详解】（1）①根据题意可得，阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是加减法， 故选：D； ②根据题意可得，消元过程中体现的数学思想是转化， 故选：D； ③根据题意可得第一步错误； 理由：①时等号右边的没有乘（言之有理即可） （2）解：①，得③， ②③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 18．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意加减消元法的应用． （1）将代入②，代入①得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值； （2）应用加减消元法，求出原方程组的正确解是多少即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得 ， 解得； （2）解：由上题，得， ①②，得， 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的正确解是． 19．问题情境：某水果店3月份购进甲、乙两种水果共花费1600元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果10元/千克，全部售完；4月份，这两种水果的进价上调为甲种水果10元/千克，乙种水果13元/千克．该店4月份购进这两种水果的数量与3月份都相同，却多花费440元． 问题解决： (1)问该店4月份分别购进甲、乙两种水果多少千克？ (2)该店4月份甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为18元/千克，在甲种水果出售一半、乙种水果全部售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为695元，问剩余甲种水果打几折销售？ 【答案】(1)该店4月份购进甲种水果100千克，乙种水果80千克 (2)剩余甲种水果打8.5折销售 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设该店4月份购进甲种水果千克，乙种水果千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）先求出总销售额，设剩余甲种水果打折销售，再根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该店4月份购进甲种水果千克，乙种水果千克， 由题意可得， 解得：， ∴该店4月份购进甲种水果100千克，乙种水果80千克； （2）解：甲种水果先卖出一半，即（千克）， 前期收入为（元）， 4月份购进水果的总成本为（元）， 总销售额为（元）， 设剩余甲种水果打折销售， 由题意可得：， 解得：， 故剩余水果打折销售． 20．在现代高等代数领域中，可以将关于，的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程的定义、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】（1）直接按规则将二元一次方程组的系数和常数项按顺序填入矩阵即可； （2）先根据矩阵写出对应的二元一次方程组，再将已知的解代入方程组，即可求出和的值． 【详解】（1）解： 根据题目给出的矩阵定义，二元一次方程组写成矩阵形式为； （2）解：矩阵对应的二元一次方程组为， 将代入方程组得： ， 解得： ． 21．根据以下素材，探索完成任务． 素材1“浙BA”的门票分为A，B，C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票需要64元；购买2张A档门票和3张B档门票需要110元；购买1张C档门票需要8元． 素材2某购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． (1)求A档和B档门票的单价． (2)某篮球俱乐部组织30名同学观看比赛． ①若购买A档门票8张、B档门票10张，其余都是C档门票，求俱乐部购买门票需要多少元? ②若该俱乐部购买门票共花了420元（三种门票都有购买），且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 【答案】(1)A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元 (2)①俱乐部购买门票需要436元；②设购买了张A档门票，张B档门票，则购买了张C档门票，根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， ∴共有两种购买方案， 方案1：购买10张A档门票，6张B档门票，4张C档门票； 方案2：购买5张A档门票，12张B档门票，8张C档门票． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元，再根据票价相等列出方程组，求出解即可； （2）①根据（1）中的单价可得总票价；②设购买m张A档门票，n张B档门票，可知C档门票为张，再根据总价相等得出二元一次方程，并根据整数解讨论方案即可． 【详解】（1）解：设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元； （2）解：①根据题意得： （元）． 答：俱乐部购买门票需要436元． ②略 22．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．    素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背 ___________ 张和座垫 ___________ 张． 方法三：裁切靠背 ___________ 张和座垫 ___________ 张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成 ___________ 张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． (1)任务一：若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背___________张和座垫___________张． 方法三：裁切靠背 ___________张和座垫___________张． (2)若该工厂购进110张该型号板材，能制作成___________张学生椅？ (3)现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案． 【答案】(1)8，3；0，6 (2)480张 (3)需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设一张该板材裁切靠背m张，座垫n张，根据题意得到，求出非负整数解即可； （2）用总长度除以一张学生椅所用的长度，即可得出结果； （3）设用x张板材裁切靠背8张和座垫3张，用y张板材裁切靠背0张和座垫6张，根据题意，列出方程组进行求解即可. 【详解】（1）解：设一张该板材裁切靠背m张，座垫n张， 由题意，， ∴， ∵m，n为非负整数， ∴或或， 故答案为：8，3；0，6； （2）解：∵（张）， ∴购进110张该型号板材，制作成480张学生椅； （3）解：设用x张板材裁切靠背8张和座垫3张，用y张板材裁切靠背0张和座垫6张， ， 解得， ∵（张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和座垫3张，用73张板材裁切靠背0张和座垫6张． 23．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 【答案】(1) (2)购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的应用 【分析】（1）根据题中所给的换元法进行求解即可； （2）设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可令，原方程组化为， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得： ， 得：， ∴； 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $