精品解析：2026年辽宁省抚顺市新宾县北四平乡中学5月份中考数学质量检测

5月份质量检测数学 （满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在数学史上，希帕索斯发现了无理数，这一发现触发了第一次数学危机．下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．，是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是有理数，不符合题意； D．是无限不循环小数，是无理数，符合题意． 2. 某商场的橱窗设计中，用下列四种基础图形进行装饰，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3. 用若干个大小相同的正方体搭成几何体，其俯视图、左视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由俯视图可知，选项B，C，D符合题意，由左视图可知，选项B符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 5. 某快递公司的配送费（单位：元）与配送距离（单位：）满足一次函数关系．若配送收费10元，配送收费14元，则和满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设和满足的关系式为， 将点代入关系式，得 ， 解得， ∴和满足的关系式为． 6. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论：①当方程是关于的一元一次方程时，②当方程是关于的一元二次方程时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当方程是关于的一元一次方程时， ， 解得， ∴原方程为，，符合题意； ②当方程是关于的一元二次方程时， 且， 解得且． 综上所述，的取值范围是． 7. 操作性试题，如图，在正方形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，由作图可知，即可得出，可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ， ∵分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 8. 如图，2026年央视春晚舞台上，有一座大型灯光装饰塔．为保证舞台效果，工作人员从地面点处测得塔顶的仰角为，沿水平方向向塔底方向前进到达点，此时测得塔顶的仰角为．若塔底 在同一条直线上，且 ，则这座灯光装饰塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据列式求出这座灯光装饰塔的高度即可． 【详解】解：根据题意，得． ． 在中， ． ∴． 在中， ． ． 答：这座灯光装饰塔的高度为． 9. 在中，弦所对的圆心角，点在上（不与点，重合），则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分点在优弧上和点在劣弧上两种情况，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，当点在优弧上时， ∵， ∴； 如图，当点在劣弧上时，在优弧上取一点，连接，， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 综上所述，的度数为或． 10. 如图，将（其中）绕着直角顶点逆时针方向旋转至，使点恰好落在线段上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由旋转得，，，勾股定理算出，再用直角三角形等面积法，求出垂线，接着在中，根据勾股定理，得，最后由等腰三角形三线合一得． 【详解】如图，过点作于点， 由旋转的性质，得，，， 在中，根据勾股定理，得， ， ∵， ， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理，得， ， ，， ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：____． 【答案】 【解析】 【分析】综合运用提公因式及平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 12. 某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖．活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如表： 投掷次数 20 50 100 140 160 200 500 1000 2000 5000 投中的次数 13 26 49 74 82 101 250 510 1000 2500 投中的频率 0.65 0.52 0.49 0.53 0.51 0.51 0.50 0.51 0.50 0.50 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为_____．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】结合题中表格数据，由频率估算概率即可． 【详解】解：随着投壶次数的增加，投中的频率稳定在附近，则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为． 13. 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 14. 下列命题：①内错角相等；②三角形的中线相交于三角形的内部；③过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤两点之间，直线最短．其中正确的有_____．（填序号） 【答案】②④ 【解析】 【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误； ②三角形的中线相交于三角形的内部，原命题正确； ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故原命题错误； ④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加，原命题正确； ⑤两点之间，线段最短，故原命题错误． 综上所述，正确的有②④． 15. 如图，在矩形中，为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，则点到边的距离为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】利用折叠，；勾股求，面积法求到的高，算出离的距离；设到距离为，在和中，根据勾股定理，得到到距离． 【详解】如图，过点作于点，于点，连接交于点． ． ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形． ． ∵为的中点， ∴． 由折叠的性质，得，， ． 在Rt中，根据勾股定理，得 ． ， ． ．． 设 ，则 ， ． 在Rt中，根据勾股定理，． 在Rt中，根据勾股定理，． ． ， 解得， ， 点到的距离为． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程组、计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原方程组为， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某学校组织九年级学生前往沈阳故宫开展研学活动，现有A，B两种购票方案可供选择．方案A：每人票价40元，若人数超过50人，超出部分每人可享受八折优惠；方案B：每人票价38元，无人数限制，且总费用不得低于1900元． （1）若该校九年级有60名学生参加研学活动，则选择哪种方案更省钱？请说明理由； （2）若该校九年级参加研学活动的学生人数为，且选择方案A的总费用不高于方案B的总费用，则九年级参加研学活动的人数最少为多少人？ 【答案】（1）选择方案B更省钱． 理由如下： 方案A的总费用为（元）， 方案B的总费用为（元），符合方案B的要求， ， 方案B更省钱； （2）最少为67人 【解析】 【分析】（1）分别计算方案A和方案B的费用，比较大小即可得到答案； （2）由题表示出方案A和方案B的费用，按照题意列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：该校九年级参加研学活动的学生人数为， 则方案A的总费用为（元）；方案B的总费用为（元）， 当时，方案B总费用，满足方案B的要求， 选择方案A的总费用不高于方案B的总费用， ∴，解得， 综上所述，， 为正整数， 的最小值为， 九年级参加研学活动的人数最少为人． 18. 跳绳是我国的民间传统体育项目，它既可以促进青少年的健康发育，又可以培养身体的平衡感，“一分钟跳绳”不仅是学生体育测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的选考项目之一．某校为了解七年级600名学生跳绳情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并对测试成绩（不低于50个）进行统计分析，得到不完整的统计图表： 跳绳个数 频数 15 40 70 20 所占百分比 请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机抽取了 名学生进行1分钟跳绳测试，表中 ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）测试成绩的中位数落 在范围内； （4）若跳绳个数超过140个为优秀，则该校七年级学生1分钟跳绳成绩优秀的约有多少人？ 【答案】（1）200；55； （2）解：由题中数据可知，的频数是， 补全频数分布直方图如下： （3） （4）270人 【解析】 【分析】（1）由中的频数及所占百分比计算即可，同理求解即可得到； （2）由统计表中数据得到的频数是，补全频数分布直方图即可； （3）由统计表中数据，结合中位数求法即可得到答案； （4）由样本中的数据估算总体即可． 【小问1详解】 解：（名），即本次随机抽取了200名学生进行1分钟跳绳测试； 表中 ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知，本次随机抽取了名学生，将测试成绩按从小到大的顺序排列后，中位数是第名学生成绩与第名学生成绩的平均数， 和频数是；和频数是， 位于最中间的两个成绩都落在范围内， 故测试成绩的中位数落在范围内； 【小问4详解】 解：（人）， 答：该校七年级学生1分钟跳绳成绩优秀的约有270人． 19. 某工厂设计一座抛物线形通道，如图，以通道底面中点为原点，水平地面为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系．已知通道底部总宽度为，拱顶距离地面的高度为． （1）求抛物线的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）在通道内部对称安装两根竖直支撑杆，两根支撑杆之间的水平距离为 ．设两根支撑杆的总长度为，求关于的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若工厂要求两根支撑杆总长度不小于10m，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入，得，再求即可； （3）当时，，解得 ，，根据题意，得，故可求的取值范围是 【小问1详解】 解：根据题意可得，抛物线与轴交于点 ，与轴交于点． 设抛物线的解析式为． 将点代入，得．解得， 抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：根据题意可得，两根竖直支撑杆关于轴对称． 两根支撑杆之间的水平距离为， 当时， ， ， ∵， ∴； 【小问3详解】 解： ， 当时， ， 解得 ， ， 根据题意，得 ． ，， ， 当 时，的取值范围是 ． 20. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，将该函数图象沿轴向下平移个单位长度得到新函数的图象，新图象与轴相交于点． （1）求点（用含的代数式表示）的坐标； （2）当的面积为时，求的值； （3）在的条件下，在轴上找一点，使得为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1），， （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）分别把和代入一次函数中可求出点的坐标，把代入一次函数可求出点的坐标； （2）利用三角形面积公式解答即可求解； （3）由（2）可得，，再根据等腰三角形的定义分三种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：在中，令，得， ∴， 令，得， 解得， ， 平移后的表达式为中，令，得， 解得， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ，， ， 的面积为， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知，，， ∴，， ， 当时，， 在中，由勾股定理得，， 点的坐标为或； 当时，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴点的坐标为或； 当时， ∵， ∴点不在轴上，此种情况不存在； 综上所述，点的坐标为或或或． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点在的延长线上，连接，且，， （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由直径得，再结合等腰三角形，以及三角形内角和算出，最后用圆内接四边形对角互补求； （2）连接半径，证两组相似得两组等积式，利用等量代换，列方程求． 【小问1详解】 解：是的直径， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ； 【小问2详解】 如图，连接， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）． 【点睛】第（1）问根据直径推直角，结合等腰、圆内接四边形对角互补求解，第（2）问构造半径辅助线，双相似加等线段替换，化等积式为方程解题． 22. 在Rt中，，点在边上，连接，过点作于点，延长交边于点． （1）如图1，若 为的中点，求的值； （2）如图2，点在的延长线上，．求证：； （3）若为的四等分点， ，求的长． 【答案】（1） （2）证明：在的延长线上取点，使，如图1， ， ， ∴， 是的外角， ∴， ，， ， 在和中， ∴， ∴， ； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）先由含直角三角形性质得到相关边的关系及角度，再由等边三角形的判定与性质得到相关边及角，然后解直角三角形求解即可； （2）在的延长线上取点，使，由直角三角形两锐角互余及外角性质得到相关角度关系，再由两个三角形全等的判定与性质求证即可； （3）根据题意，分或两种情况，分别运用相似三角形的判定与性质、解直角三角形及勾股定理等知识逐步求解相关线段长度即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ∵为的中点， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， 在中，， ， 在中，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为的四等分点， 或， 当时，过点作，交的延长线于点，如图2， ，， ，， 在中，，则， ∴， 根据勾股定理，得， ， ∵， ∴， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， 当时，过点作，交的延长线于点，如图3， 同理上面情况，得，，， ， 同理上面情况，得， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ， ， 综上所述，的长为或． 23. 【定义与性质】 记二次函数的图象为抛物线，其顶点为． 定义：若存在另一条抛物线，其解析式为，且顶点在抛物线上，则称抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． （1）【理解与运用】：已知抛物线，若抛物线是抛物线的“镜像抛物线”，求的值； （2）【思考与探究】：设抛物线（为任意实数），抛物线，且抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． ①若抛物线与轴交于，两点，且满足，求的值； ②设是“镜像抛物线”的顶点，是抛物线的顶点，当点在点的右侧，且时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）①或；②． 【解析】 【分析】（1）将抛物线的顶点代入抛物线的解析式即可求解； （2）①令抛物线的解析式为结合条件即可得到的值；②用配方法求出“镜像抛物线”的顶点的表达式，将其代入抛物线的解析式可得抛物线，故，当时，过点作，交的延长线于点，作轴于点，过点作，交的延长线于点，利用可得，设直线的解析式为，将代入，得直线的解析式为，把代入得，解方程后可得到点的横坐标，即，结合且点在点的右侧即可得到的取值范围． 【小问1详解】 根据题意可得，抛物线的顶点在抛物线上， 将点代入，得； 【小问2详解】 ①在中，令，得， 解得， ， ，， ， ， ， 解得或， ②， 抛物线的顶点为， 抛物线是抛物线的“镜像抛物线”， 点在抛物线上， ，且此式对任意均成立， ，， 抛物线， 为抛物线的顶点， ， 当时，过点作，交的延长线于点，作轴于点，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，点的纵坐标为， ， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 直线的解析式为， 把代入得， 解得，，（不符合题意，舍去） 点的横坐标为， ， ， ，且点在点的右侧， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5月份质量检测数学 （满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在数学史上，希帕索斯发现了无理数，这一发现触发了第一次数学危机．下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 某商场的橱窗设计中，用下列四种基础图形进行装饰，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 3. 用若干个大小相同的正方体搭成几何体，其俯视图、左视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某快递公司的配送费（单位：元）与配送距离（单位：）满足一次函数关系．若配送收费10元，配送收费14元，则和满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 操作性试题，如图，在正方形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，2026年央视春晚舞台上，有一座大型灯光装饰塔．为保证舞台效果，工作人员从地面点处测得塔顶的仰角为，沿水平方向向塔底方向前进到达点，此时测得塔顶的仰角为．若塔底 在同一条直线上，且 ，则这座灯光装饰塔的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，弦所对的圆心角，点在上（不与点，重合），则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，将（其中）绕着直角顶点逆时针方向旋转至，使点恰好落在线段上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：____． 12. 某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖．活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如表： 投掷次数 20 50 100 140 160 200 500 1000 2000 5000 投中的次数 13 26 49 74 82 101 250 510 1000 2500 投中的频率 0.65 0.52 0.49 0.53 0.51 0.51 0.50 0.51 0.50 0.50 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为_____．（结果精确到） 13. 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 14. 下列命题：①内错角相等；②三角形的中线相交于三角形的内部；③过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加；⑤两点之间，直线最短．其中正确的有_____．（填序号） 15. 如图，在矩形中，为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，则点到边的距离为_____ 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程组、计算： （1） （2） 17. 某学校组织九年级学生前往沈阳故宫开展研学活动，现有A，B两种购票方案可供选择．方案A：每人票价40元，若人数超过50人，超出部分每人可享受八折优惠；方案B：每人票价38元，无人数限制，且总费用不得低于1900元． （1）若该校九年级有60名学生参加研学活动，则选择哪种方案更省钱？请说明理由； （2）若该校九年级参加研学活动的学生人数为，且选择方案A的总费用不高于方案B的总费用，则九年级参加研学活动的人数最少为多少人？ 18. 跳绳是我国的民间传统体育项目，它既可以促进青少年的健康发育，又可以培养身体的平衡感，“一分钟跳绳”不仅是学生体育测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的选考项目之一．某校为了解七年级600名学生跳绳情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，并对测试成绩（不低于50个）进行统计分析，得到不完整的统计图表： 跳绳个数 频数 15 40 70 20 所占百分比 请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机抽取了 名学生进行1分钟跳绳测试，表中 ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）测试成绩的中位数落 在范围内； （4）若跳绳个数超过140个为优秀，则该校七年级学生1分钟跳绳成绩优秀的约有多少人？ 19. 某工厂设计一座抛物线形通道，如图，以通道底面中点为原点，水平地面为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系．已知通道底部总宽度为，拱顶距离地面的高度为． （1）求抛物线的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）在通道内部对称安装两根竖直支撑杆，两根支撑杆之间的水平距离为 ．设两根支撑杆的总长度为，求关于的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若工厂要求两根支撑杆总长度不小于10m，求的取值范围． 20. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，将该函数图象沿轴向下平移个单位长度得到新函数的图象，新图象与轴相交于点． （1）求点（用含的代数式表示）的坐标； （2）当的面积为时，求的值； （3）在的条件下，在轴上找一点，使得为等腰三角形，求点的坐标． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点在的延长线上，连接，且，， （1）求的度数； （2）若，求的长． 22. 在Rt中，，点在边上，连接，过点作于点，延长交边于点． （1）如图1，若 为的中点，求的值； （2）如图2，点在的延长线上，．求证：； （3）若为的四等分点， ，求的长． 23. 【定义与性质】 记二次函数的图象为抛物线，其顶点为． 定义：若存在另一条抛物线，其解析式为，且顶点在抛物线上，则称抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． （1）【理解与运用】：已知抛物线，若抛物线是抛物线的“镜像抛物线”，求的值； （2）【思考与探究】：设抛物线（为任意实数），抛物线，且抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． ①若抛物线与轴交于，两点，且满足，求的值； ②设是“镜像抛物线”的顶点，是抛物线的顶点，当点在点的右侧，且时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $