第三章 微专题4 三次函数的图象与性质 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三次函数的图象与性质”专题，依据高考评价体系梳理了导数应用、对称中心、零点问题三大核心考点，通过2024年新高考Ⅱ卷真题分析，明确了“极值点判断”“对称中心应用”等高频考点的考查权重，归纳了多选、零点个数判断等常考题型，构建了系统的知识网络。 课件亮点在于“真题引领+一题多解+核心素养培养”的备考模式，如以2024年真题选项D为例，通过二阶导数零点、对称中心二级结论等方法解析，培养学生的数学思维与逻辑推理能力。强化训练中“对称中心求m+n”等典型题型，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

微专题　三次函数的图象与性质 　　三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的定义域为R，值域为 R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值；f'（x）＝3ax2＋2bx＋c， 其判别式Δ＝4b2－12ac. a＞0 a＜0 f（x） 的图象 f'（x） 的图象 Δ＞0 Δ≤0 Δ＞0 Δ≤0 f（x）的对称中心 三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的对称中心为点（－ ，f（－ ）），其横坐标为二阶导数的零点 高中总复习·数学 〔一题多解〕〔多选〕（2024·新高考Ⅱ卷11题）设函数f（x）＝2x3－ 3ax2＋1，则（　　） A. 当a＞1时，f（x）有三个零点 B. 当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点 C. 存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴 D. 存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心 √ √ 高中总复习·数学 解析： 　因为f（x）＝2x3－3ax2＋1，所以f'（x）＝ 6x2－6ax＝6x（x－a）.对于选项A，令f'（x）＞0，则x ＞a或x＜0；令f'（x）＜0，则0＜x＜a.所以f（x）在 （－∞，0）和（a，＋∞）上单调递增，在（0，a）上单 调递减.又因为f（0）＝1，f（a）＝2a3－3a3＋1＝1－a3＜0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，所以f（x）的大致图象如图，所以f（x）有三个零点，故选项A正确；对于选项B，令f'（x）＞0，则x＜a或x＞0；令f'（x）＜0，则a＜x＜0.所以x＝0是f（x）的极小值点，故选项B错误；对于选项C，法一　三次函数为中心对称函数，其图象无对称轴，故选项C错误；法二　当x→＋∞时，f（x）→＋∞，当x→－∞时，f（x）→－∞，故曲线y＝f（x）必不存在对称轴，C错 误；对于选项D，法一（排除法）　由于是多项选择题A正确，B、C错误，则D一定正确. 高中总复习·数学 法二（利用对称中心的二级结论）　f（1）＝3－3a，若 存在a，使得（1，3－3a）为f（x）的对称中心，则f （x）＋f（2－x）＝6－6a，事实上，f（x）＋f（2－ x）＝2x3－3ax2＋1＋2（2－x）3－3a（2－x）2＋1＝ （12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，于是6－6a＝ （12－6a）x2＋（12a－24）x＋18－12a，即 解得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确.法三（利用拐点）　任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是 二阶导数的零点，f（x）＝2x3－3ax2＋1，f'（x）＝6x2－6ax，f″（x）＝12x－6a，由f″（x）＝0⇔x＝ ，于是该三次函数的对称中心为（ ，f（ ）），由题意（1，f（1））也是对称中心，故 ＝1⇔a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D选项正确. 高中总复习·数学 法四（三次函数对称中心的二级结论）　任意三次函数f （x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象均关于点（－ ，f（－ ））成中心对称，又f（x）＝2x3－3ax2＋1， 对比系数可得－ ＝ ，由题意（1，f（1））也是对称中心，故 ＝1，得a＝2，即存在a＝2使得（1，f（1））是f（x）的对称中心，D正确.故选A、D. 高中总复习·数学 1. （2026·湖南长沙模拟）已知f（x）＝x3＋3x2＋6x＋14，且f（m）＝ 1，f（n）＝19，则m＋n＝（　　） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 √ 解析： 　因为三次函数的对称中心为点（－ ，f（－ ）），－ ＝ －1，f（－1）＝10.故函数f（x）的对称中心为点（－1，10）.因为f （m）＋f（n）＝2×10，所以m＋n＝2×（－1）＝－2. 高中总复习·数学 2. （2026·广西南宁质检）设ab≠0，若a为函数f（x）＝a（x－a）2 （x－b）的极大值点，则（　　） A. a＜b B. a＞b C. ab＜b2 D. ab＞b2 √ 解析： 　由三次函数的性质可知，要使a为函 数f（x）＝a（x－a）2（x－b）的极大值 点，则当a＞0时，函数f（x）的大致图象如图 1所示，则0＜a＜b，此时ab＜b2；当a＜0 时，函数f（x）的大致图象如图2所示，则b＜a＜0，此时ab＜b2.综上，ab＜b2. 高中总复习·数学 3. 〔多选〕（2026·山东临沂模拟）设函数f（x）＝x3－3x－2，则 （　　） A. f（x）有3个零点 B. 过原点作曲线y＝f（x）的切线，有且仅有一条 C. y＝f（x）与y＝ax－2交点的横坐标之和为0 D. f（x）在区间（－2，2）上的取值范围是[－4，0） √ √ 高中总复习·数学 解析： 　令f'（x）＝3x2－3＝0，解得x＝±1，当x变化时，f'（x）， f（x）的变化情况如表所示. x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 单调递增 0 单调递减 －4 单调递增 高中总复习·数学 所以f（x）有2个零点，A错误；对于选项B，设切点为（x0， －3x0－ 2），则切线方程为y－（ －3x0－2）＝（3 －3）（x－x0），代入原 点，整理得x0＝－1，故切线有且仅有一条，B正确；对于选项C，由题意 得x3－3x－2＝ax－2，x3＝（a＋3）x，得x＝0或x2＝a＋3，若a＋ 3≥0，根据对称性知，根之和为0，若a＋3＜0，方程只有一个根为0，C正 确；对于选项D，f（－2）＝－8＋6－2＝－4，f（2）＝8－6－2＝0，又f （－1）＝0，f（1）＝－4，故f（x）在区间（－2，2）上的取值范围是 [－4，0]，D错误.故选B、C. 高中总复习·数学 4. 若函数f（x）＝－ x3＋2x2－3x＋t有且仅有一个零点，则实数t的取 值范围为 ⁠. 解析：由f（x）＝－ x3＋2x2－3x＋t，得f'（x）＝－x2＋4x－3，当x＞ 3或x＜1时，f'（x）＜0，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在 （－∞，1），（3，＋∞）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以f （x）极大值＝f（3）＝t，f（x）极小值＝f（1）＝t－ ，又x→＋∞时，f （x）→－∞，x→－∞时，f（x）→＋∞，因此，为使曲线y＝f（x） 与x轴仅有一个交点，结合f（x）的单调性，得f（x）极大值＝t＜0或f （x）极小值＝t－ ＞0，所以t＜0或t＞ ，即当t＜0或t＞ 时，使得曲线 y＝f（x）与x轴有且仅有一个交点. （－∞，0）∪（ ，＋∞）　 高中总复习·数学 $