3.4 三次函数的图象与性质 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三次函数的图象与性质，覆盖单调性、极值、零点、切线、对称性等高考核心考点，依据高考评价体系分析导数应用在函数模块的高频考查要求，归纳由单调性求参数、切线方程求解、零点个数讨论等常考题型，构建系统的知识网络与解题框架。 课件亮点在于“考点精讲+真题训练+素养提升”的备考模式，如例3结合韦达定理解决极值点问题，培养数学思维中的逻辑推理能力，例4通过切线方程转化为函数零点问题，训练数学语言表达与模型构建。特设易错点分析（如切线与导数关系）和答题模板，助力学生掌握分类讨论、导数应用等得分技巧，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

三次函数的图象与性质 1.三次函数的概念 形如 的函数叫做三次函数.其导函数f'(x)= ，把Δ=4b2-12ac叫做三次函数导函数的判别式.当Δ>0时， 令f'(x)=0，记两根为x1=，x2=. 2.三次函数的图象和性质 (1)定义域为 . (2)值域为 ，函数在整个定义域上 最大值、最小值. f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) 3ax2+2bx+c R R 无 (3)图象 a的符号 a>0 a<0 判别式 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0 图象 f'(x)         f(x)         三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个. (4)奇偶性 ①f(x)不可能为偶函数；②当且仅当 时是奇函数. (5)对称性 三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是 . b=d=0 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是三次函数.(　　) (2)三次函数可以是偶函数.(　　) (3)三次函数至少有一个零点.(　　) (4)当点在三次函数的图象上时，过此点的切线仅有一条.(　　) 自主诊断 × × √ × 2.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是 A.(-∞，-]∪[，+∞) B.[-，] C.(-∞，-)∪(，+∞) D.(-，) √ 解析　由f(x)=-x3+ax2-x-1，得f'(x)=-3x2+2ax-1， 因为函数在R上是单调函数， 所以f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立， 则Δ=4a2-12≤0⇒-≤a≤， 所以实数a的取值范围是[-，]. 3.已知三次函数f(x)=2x3+ax2+6x+1的极小值点为b，极大值点为2b，则a+b等于 A.4　　　B.-4　　　C.±4　　　D.±5 √ 解析　由题意，得f'(x)=6x2+2ax+6，关于x的一元二次方程6x2+2ax+6=0的两根为b，2b， 又极小值点为b，极大值点为2b，所以2b<b，即b<0， 由根与系数的关系得 所以b=-，a=-9b，则a+b=-8b=4. 4.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=　 　.  1 解析　由题意知，a≠0，f'(x)=3ax2+2bx+c， 由f(x)的图象知f'(x)=3ax2+2bx+c=3a(x+1)(x-2)， ∴f'(0)=-6a，f'(1)=-6a，∴=1. 返回 例1　已知函数f(x)=x3-ax2(a≠0). (1)讨论f(x)的单调性； 题型一　三次函数的单调性、最值、零点 解　f(x)的定义域为R，f'(x)=x2-ax=x(x-a). 若a>0，令f'(x)>0，得x<0或x>a，令f'(x)<0，得0<x<a； 若a<0，令f'(x)>0，得x<a或x>0，令f'(x)<0，得a<x<0. 综上，当a>0时，f(x)在(-∞，0)，(a，+∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减； 当a<0时，f(x)在(-∞，a)，(0，+∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减. 例1　已知函数f(x)=x3-ax2(a≠0). (2)当a=1时，g(x)=f(x)-2x+b，b∈R，讨论g(x)的零点个数. 解　当a=1时，g(x)=x3-x2-2x+b， 令g(x)=0，则b=-x3+x2+2x， 令h(x)=-x3+x2+2x， 则h'(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1). 当x<-1或x>2时，h'(x)<0，h(x)单调递减； 当-1<x<2时，h'(x)>0，h(x)单调递增. 所以h(x)的极小值为h(-1)=-，h(x)的极大值为h(2)=， 例1　已知函数f(x)=x3-ax2(a≠0). (2)当a=1时，g(x)=f(x)-2x+b，b∈R，讨论g(x)的零点个数. 解　画出函数y=h(x)的大致图象，如图， 由图可知， 当b<-或b>时，函数g(x)有1个零点； 当b=-或b=时，函数g(x)有2个零点； 当-<b<时，函数g(x)有3个零点. 对于三次函数的考查往往围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，经常涉及求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数范围等问题. 思维升华 跟踪训练1　已知函数f(x)=x3+mx2+nx+1(m，n∈R)，若不等式f(x)>0的解集为{x|x>a且x≠1}，则函数f(x)的单调递减区间为 A. B.(-1，1) C. D. √ 解析　不等式f(x)>0的解集为{x|x>a且x≠1}， 所以f(x)=(x-1)2(x-a)，且a<1， 即f(x)=(x-a)(x2-2x+1)=x3-(a+2)x2+(2a+1)x-a， 所以解得 则f(x)=x3-x2-x+1， 所以f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)，由f'(x)<0，解得-<x<1， 因此函数f(x)的单调递减区间为. 例2　(链接教材，人教A版必修第一册P87习题3.2 T13)设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0). 求证：三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是. 题型二　三次函数的性质 命题点1　对称性 证明　设f(m-x)+f(m+x)=2n， 得[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n，整理得(6am+2b)x2+ (2am3+2bm2+2cm+2d)=2n. 根据多项式恒等对应系数相等，可得m=-且n=am3+bm2+cm+d，从而三次函数的图象是 中心对称曲线，且由n=f(m)知其对称中心(m，f(m))仍然在曲线上. 故对称中心为. 例3　设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3. 求证：x1+x2+x3=-，x1x2+x2x3+x3x1=，x1x2x3=-. 命题点2　三次函数中的根与系数的关系 证明　由题意知ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3) =ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3. 比较系数可得x1+x2+x3=-，x1x2+x2x3+x3x1=，x1x2x3=-. 若y=f(x)的图象关于点(m，n)对称，则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称.中心对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是中心对称函数.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 思维升华 跟踪训练2　已知函数y=x3+3x2+x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，就恒有y1+y2的值为定值y0，则y0的值为　 　.  2 解析　因为P为定点，y1+y2=y0为定值，所以M，N两点关于点P对称， 即点P为曲线C的对称中心， 由-=-=-1， 当x=-1时，y=-1+3-1=1， 所以点P(-1，1)， 所以y1+y2=2，即y0=2. 例4　已知函数f(x)=-x3-x2+mx+3在x=0处取得极值. (1)求实数m的值； 题型三　三次函数的切线 解　因为f(x)=-x3-x2+mx+3， 所以f'(x)=-x2-2x+m， 因为f(x)在x=0处取得极值，所以f'(0)=m=0. 经验证m=0符合题意. 例4　已知函数f(x)=-x3-x2+mx+3在x=0处取得极值. (2)若过点(2，t)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数t的取值范围. 解　由(1)知f(x)=-x3-x2+3， 设切点坐标为， 得f'(x0)=--2x0， 所以切线方程为y-=(x-x0)， 将点(2，t)代入切线方程，得t=-4x0+3. 例4　已知函数f(x)=-x3-x2+mx+3在x=0处取得极值. (2)若过点(2，t)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数t的取值范围. 解　令g(x)=-4x+3，则g'(x)=x2-4， 令g'(x)=x2-4=0，解得x=±2. 当x<-2或x>2时，g'(x)>0， 所以g(x)在(-∞，-2)，(2，+∞)上单调递增； 当-2<x<2时，g'(x)<0， 所以g(x)在(-2，2)上单调递减. 所以g(x)的极大值为g(-2)=，g(x)的极小值为g(2)=-. 例4　已知函数f(x)=-x3-x2+mx+3在x=0处取得极值. (2)若过点(2，t)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数t的取值范围. 解　因为有三条切线，所以方程t=g(x)有三个不同的解， 即y=t与y=g(x)的图象有三个不同的交点， 所以-<t<， 即实数t的取值范围是. (1)三次函数切线条数的判断方法 ①设切点为(t，f(t))，写出切线方程并代入点的坐标，得到关于t的三次方程； ②分析该三次方程的实根数，通过其导数的极值点处的函数值符号来判断实根数. (2)已知切线条数求参数范围的方法 ①根据所需的实根数，建立条件不等式，即三次方程的两个极值点处的函数值异号； ②解这个不等式，得到参数的取值范围. 思维升华 跟踪训练3　(2025·新余模拟)过y轴上一点(0，a)可以作函数f(x)=x3+x2-x图象的3条切线，则a的取值范围是 A. B. C. D. √ 解析　因为f(x)=x3+x2-x，所以f'(x)=3x2+2x-1， 设切点为(x0，+-x0)，则切线方程为y=(3+2x0-1)(x-x0)++-x0， 将点(0，a)代入方程得a=-2-， 令g(x)=-2x3-x2，则g'(x)=-6x2-2x， 令g'(x)<0，得x∈∪(0，+∞)，所以g(x)在，(0，+∞)上单调递减； 令g'(x)>0，得x∈， 解析　所以g(x)在上单调递增， 故g(x)有极小值g=-，有极大值g(0)=0， 则a的取值范围是. 返回 一、单项选择题 1.函数f(x)=2x3-6x+3的极小值为 A.-33　　　B.-7　　　C.-1　　　D.7 √ 知识过关 解析　由题意得，f'(x)=6x2-6=6(x-1)(x+1)，x∈R， 令f'(x)=0，解得x=-1或x=1， 当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(-1，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x=1时，f(x)取得极小值，极小值为f(1)=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 2.函数f(x)=x3+x2+x+c的零点个数为 A.1　　　B.1或2　　　C.2或3　　　D.1或2或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析　因为函数f(x)=x3+x2+x+c，所以f'(x)=3x2+2x+1， 因为f'(x)=0对应的判别式Δ=4-12=-8<0， 所以f'(x)>0， 从而f(x)在R上单调递增， 又当x→-∞时，f(x)→-∞， 当x→+∞时，f(x)→+∞， 由函数零点存在定理得，函数f(x)=x3+x2+x+c有且只有1个零点. 3.如果函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在(1，4)上单调递减，在(6，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(-∞，5] B.[5，7] C.[7，+∞) D.(-∞，5]∪[7，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　f'(x)=x2-ax+(a-1)=[x-(a-1)](x-1). 依题意知，当x∈(1，4)时，f'(x)<0； 当x∈(6，+∞)时，f'(x)>0， 因此，4≤a-1，6≥a-1，解得5≤a≤7. 4.已知函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)的单调递减区间为(a，b)，若b-a≤2，则m的最大值为 A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 解析　由f(x)=2x3-mx2+2(m>0)， 可得f'(x)=6x2-2mx(m>0)， 令f'(x)=6x2-2mx<0，解得0<x<，即函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)的单调递减区间为，∴b-a=≤2， ∴0<m≤6，即m的最大值为6. 5.过坐标原点作曲线f(x)=x(x-c)2(c≠0)的两条切线，记其斜率分别为k1，k2，则|k1-k2|等于 A.c　　　B.c2　　　C.c3　　　D.c4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由题意知f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x，则f'(x)=3x2-4cx+c2，设切点坐标为(x1，x1)，则切线方程为y-x1=(3-4cx1+c2)(x-x1)，又切线过原点，则-x1=-x1(3-4cx1+c2)，解得x1=0或x1=c，当x1=0时，f'(0)=c2，当x1=c时，f'(c)=0，故|k1-k2|=c2. 6.(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-a-2b)，a，b∈R，且ab≠0，若当x≥0时，f(x)≥0，则a的取值范围是 A.(-∞，0) B.(-∞，2] C.[2，+∞) D.(0，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为ab≠0，所以a≠0，b≠0， 则f(x)的零点是x1=a，x2=b，x3=a+2b， 要使f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，如图1， 当三个零点都小于零时，符合题意； 当方程f(x)=0存在正根时，则必定是重根(即方程f(x)=0有两个正根，一个负根)，如图2， 当a=b>0时，a+2b>0，不符合题意； 当a+2b=a>0时，b=0，不符合题意； 当a+2b=b>0时，a=-b<0，符合题意. 综上，a<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 二、多项选择题 7.已知函数f(x)=-x3+3x-1，下列说法正确的是 A.f(x)在x=-1处取得极小值 B.f(x)有3个零点 C.f(x)在区间(-2，2)上的值域为(-3，1) D.曲线y=f(x)的对称中心为(0，-1) √ √ √ 解析　由f(x)=-x3+3x-1，可得f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)， 当x<-1或x>1时，f'(x)<0；当-1<x<1时，f'(x)>0， 则函数f(x)在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递减，在(-1，1)上单调递增. 对于A，由以上分析知f(x)在x=-1处取得极小值，故A正确； 对于B，结合以上分析，因为f(-2)=1>0，f(-1)=-3<0，f(1)=1>0，f(2)=-3<0， 由函数零点存在定理及三次函数的图象知，f(x)有3个零点，故B正确； 对于C，因为f(x)在(-2，-1)上单调递减，在(-1，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减， 而f(-2)=f(1)=1，f(-1)=f(2)=-3，故f(x)在区间(-2，2)上的值域为[-3，1]，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于D，因为f(-x)+f(x) =-(-x)3+3(-x)-1+(-x3+3x-1) =x3-3x-1-x3+3x-1=-2， 故曲线y=f(x)的对称中心为(0，-1)，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 8.(2026·南通模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有3个零点和2个极值点，则 A.f(x)的3个零点之和等于-a B.f(x)的3个零点之积等于c C.f(x)在3个零点处的切线的斜率之和大于零 D.f(x)的3个零点的平均数和2个极值点的平均数相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由题设，令3个零点分别为x1，x2，x3， 则f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3， 又f(x)=x3+ax2+bx+c，则x1+x2+x3=-a，x1x2x3=-c，A正确，B错误； 对函数求导得f'(x)=3x2+2ax+b，显然f'(x)=0对应的判别式Δ=4a2-12b>0，即a2-3b>0， 若2个极值点分别为m，n，则m+n=-，故=-=，D正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　3个零点处的切线斜率之和为f'(x1)+f'(x2)+f'(x3) =3(++)+2a(x1+x2+x3)+3b， 又x1x2+x1x3+x2x3=b，且=+++2x1x2+2x1x3+2x2x3， 所以++=-2(x1x2+x1x3+x2x3)=a2-2b， 所以f'(x1)+f'(x2)+f'(x3)=3a2-6b-2a2+3b=a2-3b>0，C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 9.函数f(x)=x3-(m+1)x2+2(m-1)x(m∈R)在(0，4)上无极值，则m=　 　. 3 解析　函数f(x)在(0，4)上无极值即导函数f'(x)在(0，4)上无变号零点. 而f'(x)=x2-(m+1)x+2(m-1)=(x-2)[x-(m-1)]， 令f'(x)=0，得x=2或x=m-1， 则当x∈(0，4)时，恒有f'(x)≥0， ① 当m-1>2时，①式的解为x≤2或x≥m-1， 显然当x∈(0，4)时，①式不恒成立； 当m-1<2时，①式的解为x≤m-1或x≥2， 显然当x∈(0，4)时，①式不恒成立； 当m-1=2时，①式的解为x∈R， 当x∈(0，4)时，①式恒成立，此时m=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 10.已知b，c，d均为实数，若x3+bx2+cx+d>0的解集是{x|x>a且x≠a+1}， 则函数f(x)=x3+bx2+cx+d的极大值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为原不等式的解集是{x|x>a且x≠a+1}， 故x=a，x=a+1为f(x)=x3+bx2+cx+d的零点，且f(x)=(x-a)[x-(a+1)]2， 则f'(x)=[x-(a+1)]2+2(x-a)[x-(a+1)]=[x-(a+1)](3x-3a-1)， 令f'(x)>0，得x<a+或x>a+1； 令f'(x)<0，得a+<x<a+1， 则f(x)在和(a+1，+∞)上单调递增，在上单调 递减， 则f(x)的极大值为f=×=. 四、解答题 11.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a，b∈R)，且f(x)在x=1和x=3处取得极值. (1)求函数f(x)的解析式； 解　f'(x)=3ax2+2bx-3， 因为f(x)在x=1和x=3处取得极值， 所以x=1和x=3是方程f'(x)=0的两个根， 则解得经检验符合条件， 所以f(x)=-x3+2x2-3x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a，b∈R)，且f(x)在x=1和x=3处取得极值. (2)设函数g(x)=f(x)+t，若g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点，求实数t的取值范围. 解　由题意知g(x)=-x3+2x2-3x+t，g'(x)=-x2+4x-3， 当x<1或x>3时，g'(x)<0， 当1<x<3时，g'(x)>0， 所以函数g(x)在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递减，在(1，3)上单调递增， 所以g(x)极大值=g(3)=t，g(x)极小值=g(1)=t-， 因为g(x)有且仅有一个零点，结合g(x)的单调性， 得g(x)极大值=t<0或g(x)极小值=t->0，所以t<0或t>， 故实数t的取值范围是(-∞，0)∪. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1. (1)若函数y=f(x)图象的对称中心为(-1，2)，求函数y=f(x)的解析式； 解　由题意知g(x)=f(x-1)-2为奇函数，则f(-x-1)-2+f(x-1)-2=0恒成立. 即(-x-1)3+a(-x-1)2+b(-x-1)+1-2+(x-1)3+a(x-1)2+b(x-1)+1-2=0， 整理得(2a-6)x2+(2a-2b-4)=0恒成立， 故解得 故f(x)=x3+3x2+x+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1. (2)由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)在复数集内的根为x1，x2，则方程a2x2+a1x+a0=0 可变形为a2(x-x1)(x-x2)=0，展开得a2x2-a2(x1+x2)x+a2x1x2=0，则有 即 类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系. ①若a=0，方程f(x)=k在复数集内的根为x1，x2，x3，当k∈[0，1]时，求++的最大值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解　若a=0，则f(x)=x3+bx+1， 由题意有f(x)-k=0的三个根为x1，x2，x3， 则x3+bx+(1-k)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)， 展开得x3+bx+(1-k)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3， 故x1+x2+x3=0， 则++=(k-1)-bx1+(k-1)-bx2+(k-1)-bx3=3k-3， 又k∈[0，1]，故3k-3∈[-3，0]， 综上，当k∈[0，1]时，++的最大值为0. 12.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1. (2)由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)在复数集内的根为x1，x2，则方程a2x2+a1x+a0=0 可变形为a2(x-x1)(x-x2)=0，展开得a2x2-a2(x1+x2)x+a2x1x2=0，则有 即 类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系. ②若a=-3，b=-2，函数y=f(x)的零点分别为x1，x2，x3，求++的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解　当a=-3，b=-2时，f(x)=x3-3x2-2x+1，由f(x)=0，有x3-3x2-2x+1=0， 因为f(0)≠0，所以x1，x2，x3均不为0，方程两边同时除以x3得，1--+=0， 令=t1，=t2，=t3， 由题意知t1，t2，t3是方程t3-2t2-3t+1=0的三个根， 则t3-2t2-3t+1=(t-t1)(t-t2)(t-t3)， 展开得 则++=++=(t1+t2+t3)2-2(t1t2+t1t3+t2t3)=4+6=10. 13.已知函数f(x)=2x3-3x2+9x-，则f+f+f+…+f等于 A.2 024 B. C.2 025 D.2 026 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 能力拓展 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由f(x)=2x3-3x2+9x-， 可得-=-=， 又f=2×-3×+9×-=，所以f(x)图象的对称中心为， f+f=1，f+f=1，…，f+f=1，f=， f+f+f+…+f=1 012×1+=. 14.已知三次函数f(x)有三个零点x1，x2，x3，且在点(xi，f(xi))处切线的斜率 为ki(i=1，2，3)，则++=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 0 解析　令f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)，其中a≠0，x1，x2，x3互不相等. 则f'(x)=a[(x-x2)(x-x3)+(x-x1)(x-x3)+(x-x1)(x-x2)]， ++= ==0. 返回 $