三次函数的图象与性质课件-2027届高三数学一轮复习

2　三次函数的图象与性质 1 一、教材题组·加固练 人教A版选择性必修第二册 1 2 3 4 P87·例3 P91·例5 P93·例6 P104·9题 【选题说明】本组题中的4个小题均以三次函数为载体,考查三次函数的单调性、极值、最值问题,以及含有参数问题的解法.可以通过改编条件或设问,将教材问题变换为高考试题. 【题1】　求函数f(x)=x3-x2-2x+1的单调区间. 函数f(x)=x3-x2-2x+1的定义域为R.对f(x)求导数,得f'(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2).令f'(x)=0,解得x=-1,或x=2.x=-1和x=2把函数定义域划分成三个区间,f'(x)在各区间上的正负,以及f(x)的单调性如表所示. 解 x (-∞,-1) -1 (-1, 2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 f(-1)= 单调递减 f(2)=- 单调递增 所以,f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)内单调递减,如图所示. 解 【题2】　求函数f(x)=x3-4x+4的极值. 因为f(x)=x3-4x+4,所以f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2).令f'(x)=0,解得x=-2,或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示. 解 x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 单调递减 - 单调递增 因此,当x=-2时,f(x)有极大值,并且极大值为f(-2)=;当x=2时,f(x)有极小值,并且极小值为f(2)=-.函数f(x)=x3-4x+4的图象如图所示. 解 【题3】　求函数f(x)=x3-4x+4在区间[0,3]上的最大值与最小值. 由上题可知,在区间[0,3]上,当x=2时,函数f(x)=x3-4x+4有极小值,并且极小值为f(2)=-.又由于f(0)=4, f(3)=1,所以函数f(x)=x3-4x+4在区间[0,3]上的最大值是4,最小值是-.上述结论可以从函数f(x)= x3-4x+4在区间[0,3]上的图象得到直观验证. 解 【题4】　已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,求c的值. f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c).解法一:当f'(x)=0,即x=或x=c,函数f(x)可能有极值.由题意,当x=2时,函数f(x)有极大值,所以c>0.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 解 x c (c,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以,当x=时,函数f(x)有极大值,此时=2,所以c=6. 解法二:因为f(x)在x=2处有极值,所以f'(2)=0,得c=2或c=6.当c=2时,f'(x)=(x-2)(3x-2),所以,当<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=2处取得极小值,不合题意.当c=6时,经检验符合题意,所以c=6. 解析 【知识链接】　三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R,且a≠0)的图象性质: (1)性质一:定义域为R. (2)性质二:值域为R,函数在整个定义域上没有最大值、最小值. (3)性质三:单调性和图象:f'(x)=3ax2+2bx+c,其判别式Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac). (4)三次函数的对称中心为,无对称轴.   a>0 a<0 图象 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0         二、创新变式·提升练 【变式1】　若函数f(x)=x3-ax的减区间为[-1,1],则a的值为(　　) A.3 B.1 C.-1 D.-3 解析 【变式2】　(多选题)已知函数f(x)=x3-3x,则(　　) A.f(x)在(-1,1)上单调递减 B.f(x)的极大值点是x=2 C.f(x)的图象关于(0,0)对称 D.方程f(x)=0有三个实数根 函数f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,对于A,f'(x)>0,解得x<-1或x>1,f'(x)<0,解得 -1<x<1,所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 解析 故A正确;对于B,x=-1时,f(x)有极大值,f(-1)=2,即f(x)的极大值点是x= -1,故B错误;对于C,f(x)=x3-3x的定义域为R,f(-x)=(-x)3-3(-x)=-(x3-3x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,图象关于(0,0)对称,故C正确;对于D,x=-1时f(x)有极大值f(-1)=2,x=1时f(x)有极小值f(1)=-2,又f(-2)=-2, f(2)=2,所以函数f(x)的图象与x轴有三个交点,即方程f(x)=0有三个实数根,故D正确.故选ACD. 解析 【变式3】　已知函数f(x)=(x-a)(x-b)2,其中a<b,5为f(x)的极小值点.若f(x)在(a,a+3)内有最大值,则a的取值范围是(　　) A.(-4,5) B.(-4,5] C. D. 解析 三、链接高考·体验练 1.(2024·新课标Ⅰ卷)(多选题)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) 因为f(x)=(x-1)2(x-4),所以f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3),令f'(x)=0,解得x=1或x=3,当x<1或x>3时,f'(x)>0,当1<x<3时,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(3,+∞),单调递减区间为(1,3),故 解析 x=1是函数f(x)的极大值点,x=3是函数f(x)的极小值点,所以A正确.当0<x<1时,x-x2=x(1-x)>0,即0<x2<x<1,又函数f(x)在(0,1)上单调递增,所以f(x2)<f(x),所以B错误.当1<x<2时,1<2x-1<3,函数f(x)在(1,3)上单调递减,所以-4=f(3)<f(2x-1)<f(1)=0,所以C正确.当-1<x<0时,f(2-x)-f(x)=(2-x-1)2(2-x-4)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(-x-2)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(-2x+2)= -2(x-1)3>0,所以f(2-x)>f(x),所以D正确.综上,选ACD. 解析 2.(2024·新课标Ⅱ卷)(多选题)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(　　) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 由题可知,f'(x)=6x(x-a).对于A,当a>1时,由f'(x)<0得0<x<a,由f'(x)>0得x<0或x>a,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,且当x→-∞时,f(x)→-∞,f(0)=1,f(a)=-a3+1<0,当x→+∞时,f(x) →+∞,故f(x)有三个零点,A正确;对于B,当a<0时,由f'(x)<0得a<x<0,由f'(x)>0得x>0或x<a,则f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故x=0是f(x)的极小值点,B错误;对于C,当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→-∞时,f(x)→-∞,故曲线y=f(x)必不存在对称轴,C错 解析 解析 由函数f(x)=x3-ax,可得f'(x)=3x2-a,因为函数f(x)=x3-ax的减区间为[-1,1],即不等式3x2-a≤0的解集为[-1,1],所以a>0,且3x2-a≤0,解得-≤x≤,所以-=-1且=1,解得a=3.故选A. 由题设f'(x)=(x-b)2+2(x-a)(x-b)=3(x-b),由a<b,所以<b,当x<或x>b时,f'(x)>0,即f(x)在,(b,+∞)上单调递增,当<x<b时,f'(x)<0,即f(x)在上单调递减,所以极小值点为x=b=5,极大值点为x=,而f==-,且f==-,所以,只需a<<a+3≤ ,即a<<a+3≤,所以-4<a≤.故选D. 误;对于D,解法一(配方、平移):f(x)=2x3-3ax2+1=2-a2+1-,令t=x-,则f(x)可转化为g(t)=2t3-a2t+1-,由y=2t3-a2t为奇函数,且其图象关于原点对称,可知g(t)的图象关于点对称,则f(x)的图象关于点对称,故存在a=2,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心,D正确.解法二(二级结论):任意三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象均关于点成中心对称,则=1,a=2,D正确.故选AD. $