第三章 微专题3 两曲线的公切线问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“两曲线的公切线问题”专题，依据高考评价体系梳理了共切点、不同切点两类核心考查方向，通过真题与模拟题分析明确其作为导数几何意义应用的高频考点地位，归纳出求参数值、公切线方程等常考题型。 课件亮点在于“类型梳理+真题突破+思维建模”的备考策略，如以2024新高考Ⅰ卷13题为例，示范“设切点、求导得斜率、联立方程求解”的解题步骤，培养学生的数学思维与运算能力。提供通用思路模板和强化训练，助力学生掌握解题技巧，教师可据此开展针对性复习。

微专题　两曲线的公切线问题 　　两曲线的公切线问题是高考的热点题型之一.其中单一曲线的切线问 题相对简单，但两曲线的公切线问题相对较复杂，其解题关键是“公切 线”这一条件的转化，即f'（x1）＝g'（x2）＝ . 共切点的公切线问题 （2026·山东济南质量监测）已知曲线y＝ln x与曲线y＝a（x－ ） 在交点（1，0）处有相同的切线，则a＝（　　） A. 1 B. C. － D. －1 √ 高中总复习·数学 解析： 由题知曲线y＝ln x和曲线y＝a（x－ ）在交点（1，0）处有 相同的切线，即斜率k相等.对曲线y＝ln x，求导得y'＝ ，所以该曲线在 点（1，0）处的切线斜率k＝1，对曲线y＝a（x－ ），求导得y'＝a（1 ＋ ），所以a（1＋ ）＝1，得a＝ ，故B正确. 高中总复习·数学 求共切点的公切线的一般思路 （1）设两曲线的公共切点P0（x0，y0）； （2）列关系式 （3）求公共切点P0的横坐标x0，再代入y＝f（x）或y＝h（x），求 y0； （4）所求公切线方程为y－y0＝f'（x0）（x－x0）或y－y0＝h'（x0）（x －x0）. 高中总复习·数学 不同切点的公切线问题 （1）与曲线y＝ex和y＝－ 都相切的直线方程为 ⁠； 解析： 设所求直线与曲线y＝ex相切于点（x1， ）.因为y'＝ex，所以 该直线的方程为y－ ＝ （x－x1），即y＝ x＋ （1－x1）.设 所求直线与曲线y＝－ 相切于点（x2，－ ）.因为y'＝－ ，所以该直 线的方程为y＋ ＝－ （x－x2），即y＝－ x＋ ，所以 解得x1＝0，x2＝－2，所以直线方程为y＝x＋1. y＝x＋1　 高中总复习·数学 （2）（2024·新高考Ⅰ卷13题）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也 是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝ ⁠. 解析： 由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在 （0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝ ，设 切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），由 两曲线有公切线得y' ＝ ＝2，解得x0＝－ ，则切点为（－ ， a＋ln ），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln ＝0，故a＝ln 2. ln 2　 高中总复习·数学 求两曲线不同切点的公切线的一般思路 （1）分别设出两曲线的切点P1（x1，y1），P2（x2，y2）； （2）分别求两曲线在切点处的方程y＝h1（x），y＝h2（x）； （3）由公切线转化为两切线方程对应项系数相等，列方程组消元求解x1 或x2，再求公切线方程. 高中总复习·数学 1. 已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－ 4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则m＝ （　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 √ 高中总复习·数学 解析： 　依题意，设曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点（x0，y0） 处的切线相同.∵f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，∴f'（x）＝ 2x，h'（x）＝ －4，∴ 即 ∵x0＞0，∴x0＝1，m＝5. 高中总复习·数学 2. 已知f（x）＝ex－1，g（x）＝ln x＋1，则f（x）与g（x）的公切线 有（　　） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 √ 高中总复习·数学 解析： 　根据题意，设直线l与f（x）＝ex－1相切于点（m，em－ 1），与g（x）＝ln x＋1相切于点（n，ln n＋1），对于f（x）＝ex－ 1，有f'（x）＝ex，则直线l的斜率k＝em，则直线l的方程为y＋1－em＝ em（x－m），即y＝emx＋（1－m）em－1，对于g（x）＝ln x＋1，有 g'（x）＝ ，则直线l的斜率k＝ ，则直线l的方程为y－（ln n＋1）＝ （x－n），即y＝ x＋ln n，则 可得（1－m） （em－1）＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝ex－1或y＝x，故f （x）与g（x）的公切线有2条. 高中总复习·数学 3. （2026·福建福州模拟）若曲线y1＝ x3与曲线y2＝aln x相切，则a ＝ ⁠. 解析：由已知得y'1＝x2，y'2＝ ，设切点为（b， ），b＞0，则该点也 在曲线y2＝aln x上，故 ＝aln b，因为两曲线相切，所以两曲线在切点 处的切线相同，因为y'1｜x＝b＝b2，y'2｜x＝b＝ ，所以b2＝ ，则a＝ b3，a＞0，代入 ＝aln b，得 ＝aln b，所以ln b＝ ，解得b＝ ，则 a＝e. e　 高中总复习·数学 4. （2026·江苏南通部分学校联考）若存在直线与曲线f（x）＝x3－x，g （x）＝x2＋a都相切，则a的取值范围为 ⁠. 解析：设直线与曲线f（x）相切于点（x1， －x1），因为f'（x）＝3x2 －1，所以切线方程为y－（ －x1）＝（3 －1）（x－x1），即y＝ （3 －1）x－2 ，设直线与曲线g（x）相切于点（x2， ＋a），因 为g'（x）＝2x，所以切线方程为y－（ ＋a）＝2x2（x－x2），即y＝ 2x2x－ ＋a，根据题意有 所以a＝ －2 ＝ [－1，＋∞）　 高中总复习·数学 （ ）2－2 ＝ －2 － ＋ ，令h（x）＝ x4－2x3－ x2＋ ，h'（x）＝9x3－6x2－3x＝3x（3x＋1）（x－1），所以函数h（x） 在（－∞，－ ），（0，1）上单调递减，在（－ ，0），（1，＋∞）上 单调递增，且h（1）＝－1，h（－ ）＝ ，所以h（x）min＝h（1）＝ －1，所以a≥－1，故a的取值范围为[－1，＋∞）. 高中总复习·数学 $