命题大赛 山西省高一数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版必修二第六、七章）

**基本信息** 结合长治地方文化（八路军太行纪念馆）与科技前沿（“鹊桥二号”卫星）创设情境，通过向量、解三角形等知识考查数学眼光、思维与语言，适配高一年级阶段性能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、向量垂直、复数象限|基础概念与运算，如第3题复数共轭与象限判断| |多选|3/18|复数性质、三角形形状判断|多角度辨析，如第10题从不同条件判断钝角三角形| |填空|3/15|三角函数求值、向量数量积|地方情境应用，如14题以仿生机器人正三角形网格求数量积| |解答题|5/77|向量夹角、三角函数周期、卫星测控|跨知识综合，如18题结合“鹊桥二号”考查解三角形与向量最值，体现数学建模|

code_20260611 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 集合交集运算 0.85 2 单选题 5 向量平行、向量坐标运算 0.82 3 单选题 5 复数运算、共轭复数、复平面内点的位置 0.8 4 单选题 5 三角形面积公式、解三角形 0.78 5 单选题 5 向量模长、向量夹角、向量数量积 0.65 6 单选题 5 三角函数化简、三角求值/比较大小 0.62 7 单选题 5 解三角形实际应用（仰角测距） 0.6 8 单选题 5 平面向量线性运算、向量综合计算 0.45 9 多选题 6 复数模、共轭复数、纯虚数性质 0.66 10 多选题 6 利用正余弦定理判断钝角三角形 0.63 11 多选题 6 向量基底、单位向量、向量垂直、投影向量 0.58 12 填空题 5 分段函数求值、函数基本性质 0.83 13 填空题 5 向量模长、向量数量积运算 0.64 14 填空题 5 平面向量线性运算、数量积（几何模型） 0.42 15 解答题 13 向量数量积、向量夹角、向量平行综合计算 0.65 16 解答题 15 三角恒等变换、三角函数周期与对称中心；三角函数+解三角形综合（周长范围） 0.57 17 解答题 15 正余弦定理、三角形形状判断；解三角形综合计算 0.55 18 解答题 17 解三角形、向量线性表示、最值问题、等边三角形存在性探究 0.4 19 解答题 17 函数最值、含参函数分类讨论；恒成立与存在性问题（函数值域综合） 0.38 $ 2026年长治市高一下学期第一阶段模拟考试 参考答案与评分标准 一、单项选择题（每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D D C C B A 1. 答案：A 解析： 解不等式得,即；解得 ,即；∴ A∩B=(2,4)。 2. 答案：B 解析： 由 得 ,解得 m=4。 3. 答案：D 解析： ,共轭复数的共轭,对应点在第四象限。 4. 答案：D 解析：由得,面积 。 5. 答案：C 解析： ,为120°。 6. 答案：C 解析：由 ,得 , 7. 答案：B 解析：设纪念碑高,眼睛离地1.6米,,在点：；在点：。由得, ,米。 8. 答案：A 解析： 由且,得 即,展开得 代入,得 又 ,即,展开得： 代入,且得： 解得 二、多项选择题（每小题6分,共18分） 题号 9 10 11 答案 BCD ABC ACD 9. 答案：BCD 解析：对于A：若,,满足,故A错误； 对于B：设,,若则 即,又, 同理,故B正确； 对于C：设则 为实数,故C正确； 对于D：设,则,故D正确。故选BCD 10. 答案：ABC 解析：对于A：由余弦定理得,C为钝角,故A正确； 对于B：由正弦定理得,同A,故B正确； 对于C:·即,B为钝角,故C正确； 对于D： 即,C为锐角,不能判断有钝角,故D错误。故选ABC。 11. 答案：ACD 解析：对于A:向量,不共线,也就是 因此,可作基底,故A正确对于B：与垂直的方向向量为或,单位化得或,故B错误； 对于C:由,解得,故C正确； 对于D:在方向上投影向量为,在方向上投影向量也为,故D正确。 故选ACD。 三、填空题（每小题5分,共15分） 12. 答案：-3 解析：由得 13. 答案： 解析：由； 即 14. 答案： 解析：设,在中为边中点,由向量的加法法则可知： ,而 因此 由点三点共线可得,解得； 由为正三角形可得, ····· 四、解答题（共77分） 15. 解：（1） …………1分 由得 …………3分 展开得： 即 …………5分 解得 …………6分 （2） | …………9分 …………11分 设与的夹角为,则 …………13分 16. 解： …………4分 最小正周期 …………6分 由得,∴对称中心为 …………8分 （2）由得 ,解得,由得 …………10分 由正弦定理 ,可得 …………11分 周长 由, …………13分 为锐角三角形 …………14分 因此 …………15分 17. 解：（1）由 得 …………2分 化简得 又知 …………4分 由正弦定理可得 …………6分 又知 …………7分 由得 ,△ABC为等边三角形 …………8分 （2）由角平分线定理： 得 …………11分 由 可得 …………13分 …………15分 18. 解：（1）在中,由余弦定理： ∴ …………4分 （2）在直线AB上,存在使 , 即 = …………6分 故 ,即 …………7分 （3）选问题①： 据题意可知,当即·时最小。 …………9分 由（2）知 =, · 解得 …………12分 此时 …………15分 最小值 …………17分 选问题②：存在。满足条件的点C有两个。 设,则：- ,- …………9分 由等边三角形满足 可得： (1) (2) …………11分 (1)-(2)化简得： (3) …………13分 (3)代入(1)解得两组解：或 …………15分 或 …………17分 19. 解：（1）,对称轴 …………1分 ①当 时,在上递增,最小值 ,不符,舍 …………3分 ②当 时,最小值 解得,符合 …………5分 ③当时,在上递减,最小值 解得, 不符 ,舍 …………7分 综上, …………8分 （2） 在上的值域为 …………9分 由题意,在上的值域满足 …………10分 , 对称轴 ①当 时,在上递增,值域 , 需且 ,得 ,与矛盾,无解 …………12分 ②当时,在上递减,值域, 需且 ,得 ,与 矛盾,无解 …………14分 ③当 时,最小值 , 最大值 需 且 …………16分 由 得 此时,值域 ,符合题意。 综上, …………17分 命题人：长治市第五中学 冉婷 第 1 页 共 2 页 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年长治市高一下学期第一阶段模拟考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分） 1. 已知集合 A=,B=,则 A∩B =（ ） A. (2,4) B. (2,4]  C. (1,4)  D. (-1,2) 2.已知向量,且,则实数m的值为（ ） A. -4  B. 4  C. 2  D. -2 3. 若复数满足,则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限  B. 第二象限  C. 第三象限  D. 第四象限 4.在△ABC中,角,,的对边分别为,,,若,,则△ABC的面积为（ ） A. 1  B. 2  C. 3  D. 4 5.已知非零向量满足,且,则向量的夹角为（ ） A. 30°  B. 60°  C. 120°  D. 150° 6. 已知,,则（ ） A.   B.   C.   D. 7.长治市武乡县八路军太行纪念馆前有一座英雄纪念碑。某研学小组为测量纪念碑的高度,在水平地面上选取两点,,测得米,在A点测得碑顶C的仰角为,在B点测得碑顶的仰角为。已知测量者眼睛离地面高度为1.6米,则纪念碑的高度约为（ ） （参考数据：≈1.732） A. 15.2米  B. 18.1米  C. 22.4米  D. 25.8米 8. 已知平面向量满足,,且,其中,为实数。若且,则的值为（ ） A.   B.   C.   D. 1 二、多项选择题（本题共3小题,每小题6分,共18分。全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分） 9. 已知复数,,下列命题中正确的有（ ） A. 若,则= B. 若||=||,则 = C. 若与互为共轭复数,则+为实数 D. 若为纯虚数,则为负实数 10. 在△ABC中,角,,的对边分别为,,,下列条件中能判断△ABC为钝角三角形的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量,,,下列说法正确的有（ ） A. 向量与可以作为平面内所有向量的一组基底 B. 与向量垂直的单位向量为 C. 若,则, D. 向量在方向上的投影向量与向量在方向上的投影向量相等 三、填空题（本题共3小题,每小题5分,共15分） 12.已知函数 ,若,则 ______。 13.已知向量,满足,|,,则______。 14.长治高新区某智能装备企业研发了一款仿生六足机器人,其腿部支撑结构采用正三角形网格设计。在边长为1的正三角形中,,分别为边,上的点,且,,设与交于点,则· = ______。 四、解答题（本题共5小题,共77分） 15.（13分） 已知平面向量,满足 |,且与的夹角为。 （1）若,求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值。 16.（15分） 已知向量,,函数。 （1）求函数的最小正周期及对称中心坐标； （2）在锐角△ABC中,角,,的对边分别为,,,且,,求△ABC周长的取值范围。 17.（15分） 在△ABC中,内角,,的对边分别为,,,且 。 （1）若,判断△ABC的形状； （2）若点在边上,且,,求的值。 18.（17分） 我国“鹊桥二号”中继卫星为嫦娥六号月球背面采样任务提供通信支持。在某个测控时刻,地面测控站与卫星,构成一个三角形。已知（单位：万公里）,,且,卫星向卫星发射信号,信号沿直线传播。 （1）求的长度； （2）设=,=,若表示另一颗中继卫星的位置,且在直线上,求的值； （3）（二选一即可） 问题①：若卫星在直线上,且取最小值时,试用,表示并求该最小值。 问题②：在所在平面内,是否存在点,使得为等边三角形？若存在,求出所有可能的（用,表示）；若不存在,说明理由。 19.（17分） 已知函数, （1）若函数在上的最小值为1,求实数的值； （2）若对任意∈,总存在∈,使得成立,求实数的取值范围。 命题人：长治市第五中学 冉婷 第 1 页 共 2 页 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $