精品解析：山西省吕梁市第一中学2024-2025学年高一下学期第八次月考数学试卷

吕梁市第一中学高一年级2025年春季学期第八次月考 数学试卷 时间：120分钟 分值: 150分 一、单选题：本题共8小题：每小题5分，共40分. 1. 已知向量，，则的坐标为（ ） A. （－1，1） B. （－2，3） C. （－1，4） D. （－1，0） 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得结果. 【详解】， 故选：D 2. 某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m＝（ ） A. 50 B. 60 C. 64 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念及抽取方法，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，高二年级有学生1000人，三个年级共有学生3000人， 因为用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演， 其中高二年级被抽取的人数为20，可得，解得． 故选：B． 3. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数和增函数的性质即可得出结论. 【详解】由题意， A项，定义域为R，为奇函数，函数为周期函数不是增函数，故错误； B项，定义域为R，不为奇函数，故错误； C项，定义域为R，为奇函数，函数为增函数，故正确； D项，定义域为，关于原点对称，为奇函数，函数在单调递增，在单调递增，但是在定义域上不是增函数，故错误； 故选：C. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可得结论. 【详解】因为， 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度. 故选：D. 5. 已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. π D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆锥的轴截面特征即可求. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形, 所以圆锥底面半径, 高为等边三角形的高为， 则圆锥的体积. 故选： 6. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若α∥β，mα，mβ，则m，n可能平行也可能异面，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错误；若mα，nα，m∥β，n∥β，由于m，n不一定相交，故α∥β也不一定成立，故A错误；若m∥n，n⊥α，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得m⊥α，故D正确. 7. 已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算性质，并结合充分条件、必要条件的定义得到结论． 【详解】当“”时，“”成立，故“”是“”的充分条件； 当“”时，“”或“”，故“”是“”的不必要条件； 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 8. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用零点和根的关系得到或，然后再利用函数的零点和函数交点的关系求零点的个数即可. 【详解】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若复数 ，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再结合共轭复数、复数的模及几何意义逐项判断. 详解】复数， 对于A，，A错误； 对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得在复平面内复数对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 表示该圆上的点与点的距离，所以的最大值为，D正确. 故选：BCD 10. 若函数的图象经过点，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为函数图象的对称中心 C. 直线为函数图象的对称轴 D. 函数的单调增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知条件求出的值，可得出函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为函数的图象经过点，则， 因为，所以，，则. 对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，，故点不是函数图象的对称中心，B错； 对于C选项，，故直线为函数图象的对称轴，C对； 对于D选项，由得， 因此，函数的单调增区间为，D错. 故选：AC. 11. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算可判断A；由向量的垂直的坐标运算可判断B；由向量数量积的坐标运算和的范围可判断C；由得，求出的范围可判断D. 详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以， 因为，所以的值为，故B正确； 对于C，，因为， 所以，，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，，所以，， 若，则，得， 解得，因为，所以，解得， 因为，所以无解，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知、是互斥事件，，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据互斥事件的性质，若、是互斥事件，则； 根据题中条件即可求出结果. 【详解】因为、是互斥事件，，， 所以，因此. 故答案为 【点睛】本题主要考查互斥事件概率问题，熟记事件的性质即可求解，属于常考题型. 13. 若一组数据、、、、，这组数据的平均数为，则这组数据的中位数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平均数公式求出的值，再利用中位数的定义可求得这组数据的中位数. 【详解】因为一组数据、、、、的平均数为， 由平均数公式可得，解得， 故这组数据由小到大排列依次为、、、、， 因此，这组数据的中位数为. 故答案为：. 14. 如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设为的中心，为四面体的外接球的球心，过作，然后在中，由求出外接球的半径，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】如图所示：设为的中心，为四面体的外接球的球心， 则平面． 因为二面角的大小为，即平面平面， 设为线段的中点，外接球的半径为， 连接， 过作于点， 易知为的中心，则， 因为， 故，， 在中，， 故，则． 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. （1）试用、表示； （2）若|，，且与的夹角为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量的基本定理得出关于、的表达式，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【小问1详解】 在中，为边上的点，且，则， 所以，解得. 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 所以 . 16. 猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等. （1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求. 小问1详解】 设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”. 则，，，故，，. “甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥. 每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立. 所以. 答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为. 【小问2详解】 设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则. 所以. 解得. 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）； （2）84； （3）总平均数是62，总方差是37． 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列式即可得解. （2）根据频率分布直方图先明确样本成绩的所在的范围，再结合已知数据即可求解. （3）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式即可求解. 【小问1详解】 由频率之和为1得， 解得． 【小问2详解】 因为成绩落在内的频率为 落在内的频率为 所以样本成绩的落在范围内， 设为m，则，解得， 故为84. 【小问3详解】 由图可知，成绩在内的市民人数为， 成绩在内的市民人数为， 故． ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37． 18. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作的中点，连接，则由三角形中位线定理及平行四边形的性质可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理证得平面，则，由，可得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （3）连接交于点，连接，则可得平面，所以与平面所成角为，然后在中求解即可. 【小问1详解】 作的中点，连接， 由得分别为的中点， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面 【小问2详解】 因为，所以， 因为底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 所以， 因为，，所以，， 又因为平面， 所以平面； 【小问3详解】 连接交于点，连接， 因为点分别为的中点， 所以， 所以平面， 所以为在平面中的射影， 所以与平面所成角为， 由已知得 所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为. 19. 在中，内角的对边分别为，且，. （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式化简整理可得，由此可得； （2）利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果； （3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围，令，将所求式子化为，由单调性可求得最大值. 【小问1详解】 由正弦定理得：，又， ， 即，又，，， 又，. 【小问2详解】 由余弦定理得：，解得：， . 【小问3详解】 由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， 又，； ， 令，，则在上单调递增， ，即，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吕梁市第一中学高一年级2025年春季学期第八次月考 数学试卷 时间：120分钟 分值: 150分 一、单选题：本题共8小题：每小题5分，共40分. 1. 已知向量，，则坐标为（ ） A. （－1，1） B. （－2，3） C. （－1，4） D. （－1，0） 2. 某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m＝（ ） A. 50 B. 60 C. 64 D. 75 3. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 5. 已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. π D. 6. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若复数 ，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 复数满足，则的最大值为 10. 若函数图象经过点，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为函数图象对称中心 C. 直线为函数图象的对称轴 D. 函数的单调增区间为 11. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知、是互斥事件，，，则________ 13. 若一组数据、、、、，这组数据的平均数为，则这组数据的中位数为___________. 14. 如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. （1）试用、表示； （2）若|，，且与夹角为，求. 16. 猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等. （1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 18. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 19. 在中，内角的对边分别为，且，. （1）求的大小； （2）若，求的面积； （3）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$