命题大赛 云南省2025-2026学年下学期高二期末模拟自编数学试题

**基本信息** 高二数学期末模拟卷立足核心素养，原创题占比约20%，覆盖复数、立体几何、概率等15+知识点，解答题分层设问，如四棱锥证明与体积计算、函数零点证明，体现数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、向量、二项式、棱台体积、排列组合|原创题结合函数奇偶性与不等式（第8题）| |多选|3/18|圆的位置关系、等比数列性质、抛物线焦点弦|多选项分层考查逻辑推理（第11题抛物线结论判断）| |填空|3/15|等差数列、条件概率（原创）、三棱锥外接球|情境化设计（第13题抽奖概率）| |解答|5/77|统计分布、四棱锥（原创）、解三角形、椭圆、导数|分层设问，如导数题三问从切线到零点证明，体现数学语言表达|

Sheet1 题号 题型 分值 核心考查知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数共轭运算、复数四则运算 0.85 2 单选题 5 集合运算、根式方程求解、补集运算、定义域取舍 0.8 3 单选题 5 平面向量模长公式、向量数量积运算 0.82 4 单选题 5 二项式定理、展开式通项、常数项求解 0.78 5 单选题 5 正四棱台体积公式、空间几何体体积计算 0.75 6 单选题 5 分组分配问题、排列组合综合应用 0.6 7 单选题 5 三角恒等变换、弦化切、二倍角公式应用 0.55 8 单选题 5 奇函数性质、函数对称性与周期性、函数单调性、抽象函数不等式求解 0.4 9 多选题 6 圆的标准方程、圆心距、两圆位置关系、公共弦方程、公切线数量 0.65 10 多选题 6 等比数列通项、前n项和公式、数列符号规律、子数列性质 0.6 11 多选题 6 抛物线基本性质、焦点坐标、焦点弦长、向量垂直判定 0.58 12 填空题 5 等差数列通项、前n项和公式 0.8 13 填空题 5 全概率公式、贝叶斯公式、条件概率求解 0.55 14 填空题 5 三棱锥外接球、空间几何体外接球半径、球的表面积计算 0.4 15 解答题 13 二项分布、期望与方差公式、独立重复试验概率计算 0.75 16 解答题 15 线面垂直判定定理、二面角求解、四棱锥体积计算（几何法+向量法） 0.6 17 解答题 15 正余弦定理、三角恒等变换、三角形周长范围、基本不等式应用 0.55 18 解答题 17 椭圆标准方程求解、直线与椭圆位置关系、向量垂直、三角形面积定值问题 0.45 19 解答题 17 导数几何意义（切线方程）、函数单调性讨论、极值点偏移证明 0.3 $ 高二数学期末模拟试卷答案详解 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数，则 （） A.   B. C.   D. 答案：D 详解：，，。 2. 设全集为，集合，集合，则（） A.   B.   C.   D. 答案：A 详解：由根式定义域得，解得。对等式平方化简：，解得（舍去），即。，故。 3. 已知向量，且，则（） A.   B.   C.   D. 答案：A 详解：由向量模长公式：，代入得，解得。，故。 4. 二项式展开式中常数项为（） A.   B.   C.  D. 答案：B 详解：二项展开式通项：。令，得，代入得常数项：。 5. 正四棱台上下底面正方形边长分别为和，棱台高为，则该棱台的体积为（） A.   B.   C.   D. 答案：A 详解：棱台体积公式：。代入，得。 6. 为开展社区志愿服务工作，现将4名志愿者分成1人、3人两组，分别分配至甲、乙两个社区开展服务，每个社区至少分配一组，则不同的分配方案总数为（） A.  B.   C.   D. 答案：D 详解：分组：从4人中选1人为一组，剩余3人为一组，共种；分配：两组分配到两个不同社区，共种；总方案数：。 7. 已知，则（） A.   B.   C.   D. 答案：C 详解：第一步：由已知条件求，由，，分子分母同除以得：。整理得：，解得。第二步：对目标式化简求值，利用三角恒等变换：，，原式化为：，分子分母同除以弦化切，得，代入，计算得。 8. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若，则实数的取值范围为（） A.   B.   C.   D. 答案：C 详解：1. 推导周期：为奇函数，；由知函数关于直线对称。可得，进而推得最小正周期。2. 化简不等式：，原不等式化为。3. 单调性求解：在上单调递增，结合奇偶性，在上单调递增。结合函数周期性与定义域约束，最终解得。 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知圆，圆，下列说法正确的是（） A. 两圆圆心距为  B. 两圆相交  C. 两圆公共弦所在直线方程为  D. 两圆共有2条公切线 答案：ABD 详解：圆，圆。A：圆心距，正确；B：，两圆相交，正确；C：两圆方程作差得公共弦方程为，错误；D：相交两圆仅有2条公切线，正确。 10. 已知等比数列满足，，则下列说法正确的是（） A.   B.   C. 当为奇数时，  D. 数列为等比数列 答案：BCD 详解：由题意得数列首项，公比。A：，单纯数值求值，无考点考查意义，为陷阱选项，不选；B：代入等比数列求和公式化简，，正确；C：为奇数时，，故，正确；D：子数列首项为，公比为，为等比数列，正确。 11. 抛物线，焦点为，过的直线与抛物线交于两点，下列结论正确的是（） A. 焦点  B. 斜率为1时弦长  C. 恒成立  D. 抛物线上点到焦点最小距离为1 答案：ABD 详解：抛物线，。A：焦点坐标，正确；B：联立直线与抛物线方程，计算得弦长，正确；C：经计算，向量不垂直，错误；D：抛物线顶点到焦点距离最小，最小值为，正确。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列中，，则120 详解：由，解得，代入求和公式得。 13. 某校社团开展抽奖活动，有甲、乙两个抽奖箱子，甲箱装有6张有奖券、4张空白券，乙箱装有3张有奖券、7张空白券。随机选择一个箱子，其中选到甲、乙箱子的概率均为，现随机抽取一张券，已知抽到的是有奖券，则该有奖券来自甲箱子的概率为。 详解：本题考查贝叶斯公式。设选甲箱为事件，选乙箱为事件，抽到有奖券为事件。，，，由全概率公式：，由贝叶斯公式：。 14. 已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，侧棱，则该三棱锥外接球的表面积为。 详解：底面等腰直角三角形外接圆半径，顶点在底面投影为底面外心，求得棱锥高。设外接球半径为，由，解得，故外接球表面积。 四、解答题（共5小题，总分77分，分步给分） 15.（本题满分13分）某工厂零件单件合格概率为，每件相互独立，随机抽取100件，设合格数为。 (1) 判断服从的分布类型，并求； (2) 随机抽取4件，求恰有3件合格的概率。 【详解+评分细则】 (1) 该试验为n次独立重复试验，符合二项分布特征，故 （3分） （3分） （3分） (2) 抽取4件，恰3件合格，由独立重复试验概率公式：（2分） 计算得：（2分） 16.（本题满分15分）四棱锥，底面为矩形，平面，。 (1) 求证：平面；（5分） (2) 求二面角的正切值；（5分） (3) 求四棱锥体积。（5分） 【详解+评分细则】 (1) 底面（2分） 矩形（1分） ，且平面，故平面（2分） (2) 面（2分） 为二面角平面角（1分） （2分） (3) 底面积（2分） （3分） 向量法满分解答（阅卷等效给分） 以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系。各点坐标：。 (1) 向量，易得，又，可证平面。 (2) 底面法向量，求得平面法向量，计算得二面角正切值。 (3) 代入体积公式得，步骤分值与几何法一致。 17.（本题满分15分） 在中，内角的对边分别为，已知。 (1) 求角的大小；（5分） (2) 若，求周长的取值范围。（10分） 【详解+评分细则】 (1) 求角B的大小（5分） 由正弦定理边角互化：（2分） 由和角公式得，在中，即（1分） 化简得，又，故（2分） (2) 求周长取值范围（10分） 已知，由余弦定理：（2分） 代入化简：（2分） 由基本不等式，得（当且仅当取等）（3分） 由三角形三边关系：，故（2分） 周长，得周长取值范围：（1分） 18.（本题满分17分） 已知椭圆，离心率，过点。 (1) 求椭圆的标准方程；（5分） (2) 直线交椭圆于，若，求的值；（6分） (3) 求证：面积为定值，并求该定值。（6分） 【详解+评分细则】 (1) 求椭圆标准方程（5分） 由离心率，得，结合椭圆关系式，可得（2分） 椭圆方程简化为：（1分） 代入定点得：，化简得（1分） 解得，即，故椭圆标准方程为：（1分） (2) 求参数k的值（6分） 联立直线与椭圆方程：，整理得：（2分） 设，由韦达定理得：（1分） 由得（1分） 代入，化简得：（1分） 将韦达定理结果代入，解得（1分） (3) 证明面积为定值（6分） 三角形面积公式：（2分） 代入韦达定理数值化简，结合(2)中，化简计算弦长与高（2分） 最终化简得，为定值，得证（2分） 19.（本题满分17分）已知函数。 (1) 求曲线在点处的切线方程；（5分） (2) 讨论函数的单调区间；（6分） (3) 若函数有两个不同零点，证明：；（6分） 【详解+评分细则】 (1) 求切线方程（5分） 函数定义域为，代入得（2分） 求导得，则切线斜率（2分） 由点斜式得切线方程：，化简得（1分） (2) 讨论单调区间（6分） ，定义域（1分） 令，解得极值点（1分） 当时，，单调递减；（2分） 当时，，单调递增。（2分） (3) 极值点偏移证明（6分） 由题意知，不妨设，函数极值点。由函数有两个零点，结合单调性可知极值点处函数值小于0，且可证极值点偏移结论（1分） 构造偏移对称函数：令，求导得（1分） 由得，，结合函数零点条件可得，在上单调递减（1分） 故，即，又，得（1分） 由，在单调递增，故，即，得证（2分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末模拟试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数，则 （ ） A.   B. C.   D. 2. 设全集为，集合，集合，则（ ） A.   B.   C.   D. 3. 已知向量，且，则（ ） A.   B.   C.   D. 4. 二项式展开式中常数项为（ ） A.   B.   C.  D. 5. 正四棱台上下底面正方形边长分别为和，棱台高为，则该棱台的体积为（ ） A.   B.   C.   D. 6. 为开展社区志愿服务工作，现将4名志愿者分成1人、3人两组，分别分配至甲、乙两个社区开展服务，每个社区至少分配一组，则不同的分配方案总数为（ ） A.  B.   C.   D. （原创）7. 已知，则（ ） A.   B.   C.   D. （原创）8. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，若，则实数的取值范围为（ ） A.   B.   C.   D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆，圆，下列说法正确的是（ ） A. 两圆圆心距为  B. 两圆相交  C. 两圆公共弦所在直线方程为  D. 两圆共有2条公切线 10. 已知等比数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A.   B.   C. 当为奇数时，  D. 数列为等比数列 11. 抛物线，焦点为，过的直线与抛物线交于两点，下列结论正确的是（ ） A. 焦点  B. 斜率为1时弦长  C. 恒成立  D. 抛物线上点到焦点最小距离为1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列中，，则__________. （原创）13. 某校社团开展抽奖活动，有甲、乙两个抽奖箱子，甲箱装有6张有奖券、4张空白券，乙箱装有3张有奖券、7张空白券。随机选择一个箱子，其中选到甲、乙箱子的概率均为，现随机抽取一张券，已知抽到的是有奖券，则该有奖券来自甲箱子的概率为. 14. 已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，，，侧棱，则该三棱锥外接球的表面积为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（13分）某工厂零件单件合格概率为，每件相互独立，随机抽取100件，设合格数为. (1) 判断服从的分布类型，并求； (2) 随机抽取4件，求恰有3件合格的概率. （原创）16.（15分）四棱锥，底面为矩形，平面，. (1) 求证：平面； (2) 求二面角的正切值； (3) 求四棱锥体积. 17.（15分）在中，内角的对边分别为，已知. (1) 求角的大小； (2) 若，求周长的取值范围. 18.（17分）已知椭圆，离心率，过点. (1) 求椭圆的标准方程； (2) 直线交椭圆于，若，求的值； (3) 求证：面积为定值，并求该定值. 19.（17分）已知函数. (1) 求曲线在点处的切线方程； (2) 讨论函数的单调区间； (3) 若函数有两个不同零点，证明：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $