2.5 幂函数与二次函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦幂函数与二次函数专题，依据课标要求梳理了幂函数图象性质、二次函数解析式及图象性质（单调性、最值、对称性）等核心考点，通过分析近五年高考真题明确二次函数根的分布、单调性应用等高频考点权重，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现高考备考针对性。 课件亮点在于“知识梳理+真题训练+方法总结”的备考策略，如二次函数解析式求法的“一题多解”（一般式、顶点式、零点式），培养学生数学思维；通过根的分布问题的“三要素”（判别式、对称轴、端点值）分析，强化数学语言表达。设“易错陷阱警示”和“规律方法”模块，帮助学生掌握分类讨论等答题技巧，教师可据此系统开展复习教学，提升备考效率。

第5节　幂函数与二次函数 课标要求 1. 通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2. 掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等），能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数； （2）常见的五种幂函数的图象 y＝xα　 高中总复习·数学 目 录 ①幂函数在（0，＋∞）上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在 （0，＋∞）上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点 ，且在（0，＋∞）上单 调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为 ，当α为偶数时，y＝xα为 ⁠ ⁠. （3）幂函数的性质 （1，1）　 （0，0）　 （1，1）　 奇函数　 偶函 数　 高中总复习·数学 目 录 2. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：f（x）＝ （a≠0）； （2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0），顶点坐标为 ⁠ ⁠； （3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f （x）的 ⁠. ax2＋bx＋c　 （h， k）　 零点　 高中总复习·数学 目 录 3. 二次函数的图象和性质 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a ＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 图象 定义域 R R 值域 高中总复习·数学 目 录 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a ＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 单调性 在x∈（－∞，－ ］上 单调递减； 在x∈ ⁠ ⁠上单调递增 在x∈（－∞，－ ］上单调递 增； 在x∈ ⁠上单调 递减 对称性 函数的图象关于直线x＝ ⁠对称 （－ ，＋ ∞）　 （－ ，＋∞）　 － 　 提醒：注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小 于零两种情况讨论. 高中总复习·数学 目 录 1. 幂函数的性质 （1）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小，其图象越接近x轴（简记 为“指大图低”）；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大，其图象 越远离x轴（简记为“指大图高”）； （2）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数 的图象都不过第四象限； （3）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除（1，1），（0， 0），（－1，1），（－1，－1）外，其他任何一点都不是两个幂函数 的公共点； 高中总复习·数学 目 录 （4）幂函数f（x）＝ （m，n互质），当m为偶数时，函数为偶函 数；当m为奇数，n为偶数时，函数为非奇非偶函数. 2. 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范 围有关. 3. 若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当 时，恒有f（x）＞ 0；当 时，恒有f（x）＜0. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝2 是幂函数. （　×　） （2）幂函数y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上单调递增. （　√　） （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数. （　×　） （4）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. （　√　） × √ × √ 高中总复习·数学 目 录 2. 已知幂函数y＝f（x）的图象过点 ，则f（4）＝（　　） A. B. 4 C. D. √ 解析： 　设f（x）＝xα，∵图象过点 ，∴f（2）＝2α＝ ，解 得α＝－1，∴f（4）＝4－1＝ . 高中总复习·数学 目 录 3. 若函数f（x）＝4x2－kx－8在［－ ， ］上单调递减，则实数k的取 值范围是（　　） A. [2，＋∞） B. [－2，＋∞） C. （－∞，2] D. （－∞，－2] √ 解析： 　函数f（x）＝4x2－kx－8图象的对称轴为直线x＝ ，由于f （x）在［－ ， ］上单调递减，所以 ≥ ⇒k≥2. 高中总复习·数学 目 录 4. 若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m 与n的取值情况为（　　） A. －1＜m＜0＜n＜1 B. －1＜n＜0＜m＜ C. －1＜m＜0＜n＜ D. －1＜n＜0＜m＜1 √ 解析： 　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递 增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在 （0，＋∞）上单调递减.不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜ 0，综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故选D. 高中总复习·数学 目 录 5. 已知y＝f（x）为二次函数，若y＝f（x）在x＝2处取得最小值－4， 且y＝f（x）的图象经过原点，则函数解析式为 ⁠. 解析：由题意，可设f（x）＝a（x－2）2－4（a＞0），又图象过原点， 所以f（0）＝4a－4＝0，a＝1，所以f（x）＝（x－2）2－4＝x2－4x. f（x）＝x2－4x　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 幂函数的图象与性质（基础自学过关） 1. （2026·福建福州模拟）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f （x）的解析式可能是（　　） A. y＝ B. y＝ C. y＝x3 D. y＝ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 对于A，函数y＝ ＝ 的定义域为[0，＋∞），显然不符合 题意，故A错误；对于B，函数y＝ ＝ 的定义域为（0，＋∞），显 然不符合题意，故B错误；对于C，函数y＝x3的定义域为R，又y＝x3为奇 函数，且在（0，＋∞）上函数y＝x3的图象下凸递增，故不符合题意，故 C错误；对于D，函数y＝ ＝ 的定义域为R，又y＝ 为奇函数，且 在（0，＋∞）上函数y＝ 的图象上凸递增，故D正确. 高中总复习·数学 目 录 2. 〔多选〕（2026·辽宁葫芦岛质检）已知函数f（x）＝xα（α为常 数），则下列说法正确的是（　　） A. 函数f（x）的图象恒过定点（0，0） B. 当α＝－1时，函数f（x）是减函数 C. 当α＝3时，函数f（x）是奇函数 D. 当α＝ 时，函数f（x）的值域为[0，＋∞） √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　当α＝－1时，f（x）＝ 不过点（0，0），A错误；当α＝ －1时，f（x）＝ 分别在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，在定 义域上不单调，B错误；当α＝3时，f（x）＝x3的定义域为R，且f（－ x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数，C正确； 当α＝ 时，f（x）＝ 的值域为[0，＋∞），D正确. 高中总复习·数学 目 录 3. 已知幂函数f（x）＝（3m2＋m－1）xm为偶函数，且a＝f（－2），b ＝f（e），c＝f（1），则（　　） A. b＜c＜a B. c＜b＜a C. a＜b＜c D. c＜a＜b √ 解析： 　因为f（x）＝（3m2＋m－1）xm是幂函数，所以3m2＋m－1 ＝1，解得m＝－1或m＝ ，又因为f（x）是偶函数，所以m＝ ，故f （x）＝ ，因为 ＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又a＝f （－2）＝f（2），且1＜2＜e，所以f（1）＜f（2）＜f（e），即c＜a ＜b. 高中总复习·数学 目 录 4. （2025·广东广州模拟预测）若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m 的取值范围为 ⁠. 解析：分三种情况考虑：① 解得 ＜m＜ ；② 此时无解；③ 解得m＜－1.综上可 得，m∈（－∞，－1）∪（ ， ）. （－∞，－1）∪（ ， ）　 高中总复习·数学 目 录 1. 对于幂函数的图象，只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区 域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞ 1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2. 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其 单调性进行比较. 高中总复习·数学 目 录 二次函数的解析式（师生共研过关） 〔一题多解〕已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－ 1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式. 解：法一（利用二次函数的一般式） 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）. 由题意得 解得 故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 高中总复习·数学 目 录 法二（利用二次函数的顶点式） 设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）. ∵f（2）＝f（－1）， ∴二次函数图象的对称轴为x＝ ＝ . ∴m＝ ，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8， ∴f（x）＝a ＋8. ∵f（2）＝－1，∴a ＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f（x）＝－4 ＋8＝－4x2＋4x＋7. 高中总复习·数学 目 录 法三（利用二次函数的零点式）　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2， x2＝－1， 故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0）， 即f（x）＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即 ＝8. 解得a＝－4或a＝0（舍去）， 故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 高中总复习·数学 目 录 求二次函数解析式的方法 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）已知f（x）为二次函数，且f（x）＝x2＋f'（x）－1，则f （x）＝（　B　） A. x2－2x＋1 B. x2＋2x＋1 C. 2x2－2x＋1 D. 2x2＋2x－1 解析： （一般式）　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f'（x） ＝2ax＋b，由f（x）＝x2＋f'（x）－1可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋（b －1），所以 解得 因此f（x）＝x2＋2x＋1.故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），在x轴上截得的线段 长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x） ＝ 　x2－4x＋3 　. 解析： （零点式）　因为f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立，所 以f（x）的对称轴为x＝2.又因为f（x）的图象在x轴上截得的线段长为 2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）＝a（x－1）（x－3） （a≠0）.又因为f（x）的图象经过点（4，3），所以3a＝3，a＝1.所 以所求二次函数的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），即f（x）＝x2 －4x＋3. x2－4x＋3 高中总复习·数学 目 录 二次函数的图象与性质（定向精析突破） 考向1　二次函数的图象 （1）设函数f（x）＝x2＋x＋a（a＞0），若f（m）＜0，则 （　C　） A. f（m＋1）≥0 B. f（m＋1）≤0 C. f（m＋1）＞0 D. f（m＋1）＜0 解析： 因为f（x）的对称轴为x＝－ ，f（0）＝a＞ 0，所以f（x）的大致图象如图所示，由f（m）＜0，得 －1＜m＜0，所以m＋1＞0，所以f（m＋1）＞f（0）＞0. C 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分， 图象的对称轴为x＝－1.则下面四个结论中正确的为（　AD　） A. b2＞4ac B. 2a－b＝1 C. a－b＋c＝0 D. 5a＜b AD 解析：因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确； 对称轴为x＝－1，即－ ＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝ －1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a. 根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确. 高中总复习·数学 目 录 识别二次函数图象应学会“三看” 高中总复习·数学 目 录 考向2　二次函数的单调性与最值 已知函数f（x）＝x2－tx－1，若x∈[－1，2]，求f（x）的最小值g （t）. 解：f（x）的对称轴为x＝ ， ①当 ≥2，即t≥4时，f（x）在[－1，2]上单调递减，所以f（x）min＝f （2）＝3－2t； ②当－1＜ ＜2，即－2＜t＜4时，f（x）min＝f（ ）＝－1－ ； 高中总复习·数学 目 录 ③当 ≤－1，即t≤－2时，f（x）在[－1，2]上单调递增，所以f（x） min＝f（－1）＝t. 综上，g（t）＝ 高中总复习·数学 目 录 　　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间 定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的 位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分 类讨论. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是 （　D　） D 解析： A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞ 0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中， a＞0，b＜0，c＜0，符合题意，故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·浙江宁波模拟）已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2 －x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的 取值范围是（　C　） A. [0，＋∞） B. （－∞，0] C. [0，4] D. （－∞，0]∪[4，＋∞） C 解析：由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直线 x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可得 0≤a≤4. 高中总复习·数学 目 录 （3）已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为［－ ， 0］，则m的取值范围是（　B　） A. （0，4] B. ［ ，4］ C. ［ ，3］ D. ［ ，＋∞） B 高中总复习·数学 目 录 解析：设f（x）＝x2－3x－4＝（x－ ）2－ ，x∈R，所 以f（x）的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝ ，如图所示，所以f（ ）＝－ ，易知f（－1）＝f（4） ＝0，由图可知，要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为［－ ，0］，则m的取值范围是［ ，4］. 高中总复习·数学 目 录 一元二次方程根的分布 　　解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围 问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解： （1）判别式Δ的符号； （2）对称轴x＝－ 与所给区间的位置关系； （3）区间端点处函数值的符号. 高中总复习·数学 目 录 关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围. （1）一个根小于2，一个根大于4； 解：令f（x）＝x2＋（m－3）x＋m. （1）若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根小于2，一个根大于4，则 解得m＜－ . 故m的取值范围为（－∞，－ ）. 高中总复习·数学 目 录 （2）有两个不相等的正根； 解：由题意得 解得0＜m＜1. 故m的取值范围为（0，1）. （3）一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内； 解：若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根在（－2，0）内，另一个根 在（0，4）内， 则 解得－ ＜m＜0. 故m的取值范围为（－ ，0）. 高中总复习·数学 目 录 （4）两个不相等的根都在（0，2）内. 解：若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的两个根都在（0，2）内，则 解得 ＜m＜1. 故m的取值范围为（ ，1）. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：95分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 探究幂函数f（x）＝xα当α＝2，3， ，－1时的性质，若该函数在定 义域内为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增，则α＝（　　） A. 2 B. 3 C. D. －1 解析： 　由题意可得α＞0且α为奇数，所以α＝3，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 高中总复习·数学 目 录 2. 已知a＝ ，b＝ ，c＝1 ，则（　　） A. a＜b＜c B. b＜c＜a C. b＜a＜c D. c＜a＜b 解析： 　b＝ ＝ ，而函数y＝ 在（0，＋∞）上单调递增，2＜9＜ 17，因此 ＜ ＜1 ，所以a＜b＜c. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，则 g（x）的解析式为（　　） A. g（x）＝2x2－3x B. g（x）＝3x2－2x C. g（x）＝3x2＋2x D. g（x）＝－3x2－2x 解析： 　二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原 点，设二次函数为g（x）＝ax2＋bx（a≠0），可得 则 所求的二次函数为g（x）＝3x2－2x. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则函 数f（x）的图象可能是（　　） 解析： 由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数图象开 口向上，排除A、C；又f（0）＝c＜0，排除B. 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 已知m＞1，点（1－m，y1），（m，y2），（m＋1，y3）都在二次函 数y＝x2－2x的图象上，则（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y1＝y3＜y2 D. y2＜y1＝y3 解析： 　二次函数y＝x2－2x＝（x－1）2－1，其图象的对称轴方程为x ＝1，而（1－m）＋（1＋m）＝2，所以y1＝y3，当x＞1时，函数单调递 增，因为m＞1，所以m＋1＞m＞1，所以y2＜y3，综上，y2＜y1＝y3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知幂函数f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3，m∈N*，则下列 结论正确的有（　　） A. m＝1 B. 函数f（x）在定义域内单调递减 C. f（－2）＜f（3） D. 函数f（x）的值域为（0，＋∞） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3为幂函数可得2m2＋m－2＝ 1，解得m＝1或m＝－ ，又m∈N*，所以m＝1，所以f（x）＝x－2＝ ，故A正确；因为函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）， 关于原点对称，由f（－x）＝ ＝ ＝f（x），知函数f（x）为 偶函数，由于－2＜0，故f（x）＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，根 据偶函数性质知f（x）＝x－2在区间（－∞，0）上单调递增，故B错误； f（－2）＝ ＝ ＞ ＝ ＝f（3），故C错误；因为f（x）的定义 域为（－∞，0）∪（0，＋∞），则x2＞0，所以f（x）＝ 的值域为 （0，＋∞），故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任 意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范 围为 ⁠. 解析：二次函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a图象的对称轴为直线x＝a －1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），即 f（x）在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0 或a≥3，即实数a的取值范围为（－∞，0]∪[3，＋∞）. （－∞，0]∪[3，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·广东东莞七校联考）已知A＝{α，β}⊆{－1， ，2，3}，若 函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象只有1个交点，则写出一个符合条 件的集合A＝ ；若有两个交点，则满足条件 的不同集合A有 个. {－1， }（答案不唯一）　 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析：函数y＝x－1的图象与y＝ ，y＝x2，y＝x3的图象分别有1个，1 个，2个交点；函数y＝ 的图象与y＝x2，y＝x3的图象都有2个交点；函 数y＝x2的图象与y＝x3的图象有2个交点.若函数f（x）＝xα与g（x）＝ xβ的图象只有1个交点，则A＝{－1， }或A＝{－1，2}.若函数f（x）＝ xα与g（x）＝xβ的图象有2个交点，则A＝{－1，3}或{ ，2}或{ ，3} 或{2，3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）已知幂函数f（x）＝（2k－1） （m∈N*）为偶函 数，且在（0，＋∞）上单调递减. （1）求m和k的值； 解： 由函数f（x）＝（2k－1） 为幂函数，则2k－1＝1， 解得k＝1. 由f（x）＝ （m∈N*）在（0，＋∞）上单调递减，得m2－2m －3＜0，解得－1＜m＜3， 而m∈N*，故m＝1或2， 当m＝1时，f（x）＝x－4，定义域为{x｜x≠0}，且f（x）为偶函数， 符合题意； 当m＝2时，f（x）＝x－3，定义域为{x｜x≠0}，函数为奇函数，不符合 题意，故m＝1，k＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）求满足（2a＋1）－m＜（3－2a）－m的实数a的取值范围. 解： 由（1）得m＝1，则（2a＋1）－1＜（3－2a）－1， 即 ＜ ，故2a＋1＞3－2a＞0或0＞2a＋1＞3－2a或2a＋1＜0＜3 －2a， 解得 ＜a＜ 或a∈⌀或a＜－ . 故实数a的取值范围为（－∞，－ ）∪（ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. 直线y＝1，y＝x，x＝1及幂函数y＝x－1的图象将直角坐标系第一象 限分为8个部分（如图所示），那么幂函数y＝ 的图象在第一象限中经 过（　　） A. ③⑦ B. ③⑧ C. ④⑦ D. ①⑤ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　在第一象限内，直线x＝1的左侧，幂函数的指数越大图象越接 近于x轴，∵－ ＞－1，∴在直线x＝1的左侧，y＝ 的图象位于y＝x －1图象的下方，直线y＝1的上方，故经过⑤；在第一象限内，直线x＝1的 右侧，幂函数的指数越小图象越接近于x轴，∴在直线x＝1的右侧y＝ 的图象位于y＝x－1图象的上方，直线y＝1的下方，故经过①.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. 函数f（x）＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a 的取值范围是（　　） A. [0，2] B. [2，4] C. [0，4] D. [4，＋∞） 解析： 解方程x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程x2－4x＋2＝－ 2，得x＝2，由于函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[－2，2].若函数f （x）在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此 时b－a取得最小值2；若函数f（x）在区间[a，b]上不单调，且当b－a 取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4，所以b－a的取 值范围是[2，4]. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕（2025·山东青岛一模）已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个 零点x1，x2，以下结论正确的是（　　） A. a＜1 B. 若x1x2≠0，则 ＋ ＝ C. f（－1）＝f（3） D. 函数y＝f（｜x｜）有四个零点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝（－2）2－4a＝4－ 4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a， ＋ ＝ ＝ ，故B正确；因为f（x）的对称轴为x＝1，点（－1， f（－1）），（3，f（3））关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝ f（｜x｜）＝｜x｜2－2｜x｜＝｜x｜（｜x｜－2）＝0有三个零点，故 D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于 1，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数为f（x）＝ax2＋x＋ 2，若a＞0，则图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一 个大于1，只需f（0）＜0，且f（1）＜0，即2＜0且a＋3＜0，则a∈⌀； 若a＜0，则函数图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另 一个大于1，只需f（0）＞0，且f（1）＞0，即2＞0且a＋3＞0，则－3＜ a＜0.综上可得a的取值范围是（－3，0）. （－3，0）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·福建福州模拟）已知二次函数f（x）＝ax2－x＋2a －1. （1）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； 解： 由题意知a≠0. 当a＞0时，f（x）＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝ ， 所以f（x）在区间[1，2]上单调递减需满足 ≥2， 又a＞0，所以0＜a≤ ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 当a＜0时，f（x）＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝ ＜0， 所以f（x）在区间[1，2]上单调递减恒成立. 综上，a的取值范围是（－∞，0）∪（0， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）若a＞0，设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g （a）的表达式. 解： ①当0＜ ≤1，即a≥ 时，f（x）在区间[1，2]上单调递增， 此时g（a）＝f（1）＝3a－2； ②当1＜ ＜2，即 ＜a＜ 时， f（x）在区间［1， ］上单调递减，在区间［ ，2］上单调递增，此 时g（a）＝f（ ）＝2a－ －1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 ③当 ≥2，即0＜a≤ 时， f（x）在区间[1，2]上单调递减， 此时g（a）＝f（2）＝6a－3. 综上所述，g（a）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新设问〕设函数f（x）＝ ，g（x）＝ax2＋bx（a，b∈R， a≠0），若y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有且仅有两个不同的公 共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　） A. 当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0 B. 当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0 C. 当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0 D. 当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　令f（x）＝g（x），可得 ＝ax＋ b.设F（x）＝ ，G（x）＝ax＋b，根据题 意，F（x）＝ 的图象与G（x）＝ax＋b的 图象只有两个交点，不妨设x1＜x2，结合图形可 知，当a＞0时（如图1）， G（x）＝ax＋b的图象与F（x）＝ 图象的 左支相切，与右支有一个交点，根据对称性可得｜x1｜＞x2，即－x1＞x2＞0，此时x1＋x2＜0，y2＝ ＞ ＝－y1，∴y1＋y2＞0；同理可得，当a＜0时（如图2），x1＋x2＞0，y1＋y2＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $