第9讲 幂函数与二次函数课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“幂函数与二次函数”专题，依据课标要求梳理了幂函数概念、图象性质及二次函数定义、解析式、图象与闭区间最值等核心考点，通过考点解析与基础检测明确高频题型分布，构建系统复习框架，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识要点整合+典型例题精讲+巩固训练提升”策略，如二次函数解析式的三种求法、闭区间最值分类讨论等解题技巧，培养学生数学思维与逻辑推理能力，助力学生掌握高考高频题型解法，教师可据此高效开展专题复习，提升学生应试得分率。

第2章 函数 第9讲 幂函数与二次函数 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.了解幂函数的概念，结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的图象和性质解决有关问题. 2.了解指数幂的含义、掌握幂的运算. 3.掌握二次函数的定义、解析式、图象与性质. 4.会求二次函数在闭区间上的最值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如　 　的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.  (2)常见的5种幂函数的图象 y=xα 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 （3）常见的5种幂函数的性质 定义域 ，且 值域 ，且 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 （2）二次函数的图象和性质 解析式 图象 _______________________________ __________________________ 定义域 值域 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 解析式 单调性 在 上单调递减； 在 上单调递增 在 上单调递增； 在 上单调递减 奇偶性 当时为偶函数，当 时为非奇非偶函数 顶点 对称性 函数的图象关于直线 对称 续表 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 【重要结论】 1.幂函数 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. (3)若幂函数y=xα在(0，+∞)上单调递增，则α>0;若在(0，+∞)上单调递减，则α<0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 2.二次函数 (1)若函数f(x)满足f(x)=f(2a-x)，则f(x)的图象关于直线x=a对称; 若f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则 当时，恒有f(x)>0;当时，恒有f(x)<0. (3)对二次函数f(x)=a(x-k)2+h(a>0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论: ①若k∈[m，n]，则ymin=f(k)=h，ymax=max{f(m)，f(n)}. ②若k∉[m，n]，当k<m时，y=f(x)在[m，n]上单调递增，ymin=f(m)，ymax=f(n); 当k>n时，y=f(x)在[m，n]上单调递减，ymin=f(n)，ymax=f(m). 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(　　) (2)当α<0时，幂函数y=xα在定义域内单调递减.(　　) (3)若幂函数y=xα是偶函数，则α为偶数.(　　) (4)已知函数f(x)=-x2+ax+1在(2，6)上不单调，则a的取值范围为(-∞，2]∪[6，+∞).(　　) (5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.(　　) √ × × × √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 教材改编 2.[必修1p91T1]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2，)，则f=(　　) A.- B. C.± D. B [解析] 设f(x)=xα，∴2α=，α=，∴f(x)=，∴f= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 3.[必修1p100T5]下列函数中不是幂函数的是(　　) A.y= B.y=x3 C.y=3x D.y=x-1 C [解析] 对于选项A，y==，故它是幂函数.故A项正确; 对于选项B，y=x3是幂函数，故B项正确; 对于选项C，选项x的系数为3，所以它不是幂函数.故C项不成立; 对于选项D，y=x-1是幂函数，故D项正确.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 4.图象是以(1，3)为顶点且过原点的二次函数f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=-3x2+6x B.f(x)=-2x2+4x C.f(x)=3x2-6x D.f(x)=2x2-4x A [解析] 设图象是以(1，3)为顶点的二次函数f(x)=a(x-1)2+3(a≠0). 因为图象过原点，所以0=a+3，a=-3，所以f(x)= -3(x-1)2+3= -3x2+6x. 故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 5.已知一元二次函数y=x2-2x+2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为(　　) A.最小值为2，最大值为5 B.最小值为1，最大值为5 C.最小值为1，无最大值 D.无最值 C [解析] 由已知函数图象的对称轴是直线x=1， 在(0，1]上是减函数，在[1，3)上是增函数， 因此x=1时，函数取得最小值为1，但无最大值，故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 考点1 幂函数的图象与性质 例1　(1)下图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象，已知n分别取±1，，2四个值，相应的曲线C1，C2，C3，C4对应的n依次为(　　) A.-1，，1，2 B.2，1，，-1 C.，-1，2，1 D.2，，-1，1 B 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 [解析] 函数y=x-1在第一象限内单调递减，对应的图象为C4; y=x的图象为一条过原点的直线，对应的图象为C2; y=x2的图象为抛物线，对应的图象应为C1; y=在第一象限内的图象是C3; 所以与曲线C1，C2，C3，C4对应的n依次为2，1，，-1.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 (2)已知函数f(x)=，则关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0的解集为　　 　　.  [解析] 由题意可知，f(x)的定义域为(-∞，+∞)，所以f(-x)=(-x= -= -f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，由幂函数的性质知， 函数f(x)=在(-∞，+∞)上单调递增， 由f(t2-2t)+f(2t2-1)<0，得f(t2-2t)<-f(2t2-1)，即f(t2-2t)<f(1-2t2)， 所以t2-2t<1-2t2，即3t2-2t-1<0，解得-<t<1， 所以关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0的解集为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 [小结](1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. (3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 1.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点，设a=f(m)，b=f(n)，c=f(ln 2)，则(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c B [解析] 幂函数f(x)=mxn的图象过点， 则⇒m=1，n=3， 所以幂函数的解析式为f(x)=x3，且函数f(x)为单调递增函数， 又ln 2<1<3，所以f(ln 2)<f(1)<f(3)，即c<a<b.故选B. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 考点2 二次函数的解析式的求法 例2　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式. [解析] 解法一:(利用二次函数的一般式) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 故所求二次函数为f(x)= -4x2+4x+7. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 解法二:(利用二次函数的顶点式) 设f(x)=a(x-m)2+n. ∵f(2)=f(-1)，∴抛物线的对称轴为直线x= = . ∴m= ，又根据题意函数有最大值8，∴n=8， ∴y=f(x)=a+8. ∵f(2)=-1，∴a+8= -1，解得a=-4， ∴f(x)= -4+8= -4x2+4x+7. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 解法三:(利用二次函数的零点式) 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2，x2= -1， 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)， 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8，即 =8. 解得a= -4， 故所求函数解析式为f(x)= -4x2+4x+7. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 [小结]求二次函数解析式的方法 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 2.二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，且∀x∈R，都有f(2+x)=f(2-x)，则确定f(x)的解析式为　　　　　　　　.  f(x)=x2-4x+3 [解析] 因为f(2+x)=f(2-x)对任意的x∈R恒成立，所以f(x)的对称轴为直线x=2. 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， 所以f(x)=0的两根为x1=1和x2=3. 设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又f(x)的图象过点(4，3)，所以3a=3，所以a=1. 所以f(x)=(x-1)(x-3)，即f(x)=x2-4x+3. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 考点3 二次函数的图象与性质及其应用 角度1.二次函数的图象 例3　(多选)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　 ) A.f(x)在区间上单调递减 B.不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞，-1)∪(2，+∞) C.a+b+c>0 D.不等式cx2+bx+a>0的解集为 ABD 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 [解析] 由图可知，二次函数f(x)图象的对称轴为x==，又图象开口向上，所以f(x)在区间上单调递减，故A正确; 由图知:不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞，-1)∪(2，+∞)，B正确; 由图知:f(1)=a+b+c<0，C错误; 根据二次函数与一元二次方程的关系，-1，2是ax2+bx+c=0的两个根， 所以-=-1+2=1⇒b=-a，=-1×2=-2⇒c=-2a，且a>0， 所以-2ax2-ax+a>0⇒2x2+x-1=(2x-1)(x+1)<0，解集为，D正确. 故选ABD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 [小结]研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 角度2.二次函数的单调性与最值 例4　已知函数f(x)=x2-tx-1. (1)若f(x)在区间(-1，2)上不单调，求实数t的取值范围; (2)若x∈[-1，2]，求f(x)的最小值g(t). [解析] f(x)=x2-tx-1=-1-. (1)依题意，-1<<2，解得-2<t<4， 所以实数t的取值范围是(-2，4). 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 (2)①当≥2，即t≥4时，f(x)在[-1，2]上单调递减，所以f(x)min=f(2)=3-2t. ②当-1<<2，即-2<t<4时，f(x)min=f= -1-. ③当≤-1，即t≤-2时，f(x)在[-1，2]上单调递增，所以f(x)min=f(-1)=t. 综上，g(t)= 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 迁移　本例条件不变，求当x∈[-1，2]时，f(x)的最大值G(t). [解析] f(-1)=t，f(2)=3-2t，f(2)-f(-1)=3-3t， 当t≥1时，f(2)-f(-1)≤0， ∴f(2)≤f(-1)，∴f(x)max=f(-1)=t; 当t<1时，f(2)-f(-1)>0， ∴f(2)>f(-1)，∴f(x)max=f(2)=3-2t， 综上有G(t)= 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 [小结]1.研究二次函数单调性的思路 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论. (2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),则A⊆,即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧). 2.求二次函数在给定区间上最值的方法 二次函数f(x)=ax2+bx+c(不妨设a>0)在区间[m,n]上的最大或最小值如下: 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 (1)当-∈[m,n],即对称轴在所给区间内时: f(x)的最小值在对称轴处取得,其最小值是f=;若-≤,f(x)的最大值为f(n);若-≥,f(x)的最大值为f(m). (2)当-∉[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时: f(x)在[m,n]上是单调函数.若-<m,f(x)在[m,n]上是增函数,f(x)的最小值是f(m),最大值是f(n);若n<-,f(x)在[m,n]上是减函数, f(x)的最小值是f(n),最大值是f(m). (3)当不能确定对称轴x=-是否属于区间[m,n]时:需分类讨论,以对称轴与区间的关系确定讨论的标准,然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 3.已知函数f(x)=x2-4x在[0，m]上的值域为[-4，0]，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，2] B.[2，4] C.(0，4] D.(-∞，2] B [解析] 函数f(x)=x2-4x在[0，2]上单调递减，在[2，+∞)上单调递增，f(0)=0，f(2)=-4，f(4)=0，当x>4时，f(x)>0; 当0<x<4时，-4≤f(x)≤0， 函数f(x)=x2-4x的部分图象如图所示. 所以为使函数f(x)=x2-4x在[0，m]上的值域为[-4，0]， 实数m的取值范围是[2，4]. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 考点4 二次函数的综合应用 例5　(1)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的两个实数根，且x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，则实数b的取值范围为(　　) A.(0，+∞) B. C.(0，1) D. C 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 [解析] 由题意可得x1，x2为函数f(x)=x2+ax+2b的两个零点. 因为x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得: 即 所以所以 解得:0<b<1.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 (2)二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1. (ⅰ)求f(x)的解析式; (ⅱ)在区间[-1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m图象的上方，试确定实数m的取值范围. [解析] (ⅰ)由题设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， ∵f(0)=1，∴c=1.又f(x+1)-f(x)=2x， ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x， ∴2ax+a+b=2x，∴∴ ∴f(x)=x2-x+1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 (ⅱ)当x∈[-1，1]时，y=f(x)=x2-x+1的图象恒在y=2x+m图象上方， 所以当x∈[-1，1]时，x2-x+1>2x+m恒成立，即x2-3x+1-m>0恒成立. 令g(x)=x2-3x+1-m，对称轴为x= ，故函数g(x)在x∈[-1，1]上单调递减， 当x∈[-1，1]时，g(x)min=g(1)=12-3×1+1-m=-1-m， 故-1-m>0，解得m<-1，所以实数m的取值范围为(-∞，-1). [小结]二次函数值恒大(小)于零，常结合二次函数的图象和判别式来考虑;利用二次不等式与二次方程之间的关系，即二次不等式解集区间的端点值是对应方程的解;关于二次方程根的分布问题，可以借助二次函数的图象直观考查，主要从判别式、对称轴、端点值这三个方面入手考虑应满足的条件. 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 4.函数f(x)=x2-4x+2在区间[a，b]上的值域为[-2，2]，则b-a的取值范围是　　　　　.  [2，4] [解析] 令f(x)=x2-4x+2=2，解得x=0或x=4， 令f(x)=x2-4x+2=-2，解得x=2， 由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[-2，2]. 若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]=[0，2]或[a，b]=[2，4]， 此时b-a取得最小值2; 若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b-a取最大值时，[a，b]=[0，4]，所以b-a的最大值为4.所以b-a的取值范围是[2，4]. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 5.已知函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m+4)，则实数c的值为(　　) A.9 B.8 C.6 D.4 D [解析] 因为f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)开口向上，最小值为0， ∴Δ=a2-4b=0，∴b= ，则f(x)=x2+ax+ =， ∵f(x)<c的解集为(m，m+4)， 所以m，m+4是f(x)-c=0的两个不等实根， 即m，m+4是x2+ax+-c=0的两个不等实根，所以m+m+4= -a，则m= ， ∴c=f(m)===4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 6.已知函数f(x)=x2-2ax-3. (1)若f(x)在[3，+∞)上单调递增，求a的取值范围; (2)若x∈[-1，2]，求f(x)的最小值. [解析] (1)由函数f(x)=x2-2ax-3， 可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为x=a， 要使得f(x)在[3，+∞)上单调递增，则满足a≤3， 所以a的取值范围为(-∞，3]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 (2)由函数f(x)=x2-2ax-3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为x=a， 当a<-1时，函数f(x)在[-1，2]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(-1)=2a-2; 当-1≤a≤2时，函数f(x)在[-1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(a)=-a2-3; 当a>2时，函数f(x)在[-1，2]上单调递减， 所以f(x)的最小值为f(2)=1-4a， 综上可得，f(x)在[-1，2]上的最小值为f(x)min= 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 $