2.3 函数的奇偶性与周期性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的奇偶性与周期性”专题，依据课标要求梳理概念、几何意义及应用三大考查要点，通过表格对比奇偶性定义特征、归纳周期性常用结论，对接高考评价体系，明确奇偶性判断、性质应用、周期性求值等高频题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题融入与应试技巧指导，如以2025年全国Ⅰ卷周期性求值题为例，通过通解与优解培养数学思维，总结“定义域优先”“性质转化”等方法提升解题效率，助力学生掌握答题技巧，教师可依托系统考点梳理与训练题实现高效复习教学。

第3节　函数的奇偶性与周期性 课标要求 1. 了解函数奇偶性的概念和几何意义，了解函数周期性的概念和几何意义. 2. 会依据函数的性质进行简单的应用. 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 前提 定义域关于原点对称 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有 ⁠ ∈D 且f（－x）＝ ⁠ ，那么函数f（x） 就叫做偶函数 且f（－x）＝ ，那 么函数f（x）就叫做奇函数 图象 特征 关于 ⁠对称 关于 ⁠对称 － x　 f （x） 　 －f（x）　 y轴　 原点　 高中总复习·数学 目 录 2. 函数的周期性 （1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 ⁠， 那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期； （2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个 ⁠ 的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. f（x＋T）＝f（x）　 最 小　 高中总复习·数学 目 录 1. 函数奇偶性常用结论 （1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝ 0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称 的区间上具有相反的单调性； （3）灵活应用奇函数的两个特殊性质 ①若f（x）为奇函数，则f（x）＋f（－x）＝0.特别地，若f（x）存在 最值，则f（x）min＋f（x）max＝0； ②若F（x）＝f（x）＋c，f（x）为奇函数，则F（－x）＋F（x）＝ 2c.特别地，若F（x）存在最值，则F（x）min＋F（x）max＝2c. 高中总复习·数学 目 录 2. 函数周期性常用结论 对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝ ，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－ ，则T＝2a（a＞0）； （4）若f（x＋a）＝f（x＋b），则T＝｜a－b｜（a≠b）； （5）若f（x）＋f（x＋a）＝k（k为常数），则T＝2a（a＞0）； （6）若f（x）·f（x＋a）＝k（k为常数），则T＝2a（a＞0）. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数. （　×　） （2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0. （　×　） （3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期. （　√　） （4）对于函数y＝f（x），若存在x，使f（－x）＝－f（x），则函数y ＝f（x）一定是奇函数. （　×　） × × √ × 高中总复习·数学 目 录 2. 〔多选〕给出下列函数，其中是奇函数的有（　　） A. f（x）＝x4 B. f（x）＝x5 C. f（x）＝x＋ D. f（x）＝ √ √ 解析： 　对于f（x）＝x4，f（x）的定义域为R，由f（－x）＝（－ x）4＝x4＝f（x），可知f（x）＝x4是偶函数，同理可知f（x）＝x5，f （x）＝x＋ 是奇函数，f（x）＝ 是偶函数. 高中总复习·数学 目 录 3. 已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b＝ （　　） A. － B. C. D. － √ 解析： 　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝ ，∴a＋b＝ . 高中总复习·数学 目 录 4. （2025·浙江台州一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈ （0，＋∞）时，f（x）＝log3x，则f（－9）＝（　　） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 √ 解析： 　根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞） 时，f（x）＝log3x，则f（－9）＝－f（9）＝－log39＝－2.故选B. 高中总复习·数学 目 录 5. 已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x） ＝x2＋4，则f（2 026）＝ ⁠. 解析：因为f（x＋3）＝f（x），所以f（x）是以3为周期的周期函数， 所以f（2 026）＝f（675×3＋1）＝f（1）＝5. 5　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 函数奇偶性的判断（师生共研过关） 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝ ＋ ； 解： f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称. 又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0， 所以f（x）既是奇函数又是偶函数. 高中总复习·数学 目 录 （2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜； 解： f（x）的定义域为R，且f（－x）＝｜－x＋1｜－｜－x－1｜＝｜x －1｜－｜x＋1｜＝－f（x）， 所以函数f（x）为奇函数. 高中总复习·数学 目 录 （3）f（x）＝ ； 解： 由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2＞0， 所以f（x）＝ ，定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称. 又f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x）， 所以函数f（x）是奇函数. 高中总复习·数学 目 录 （4）〔一题多解〕f（x）＝ 解： 法一（图象法） 画出函数f（x）＝ 的图象如图所示，图象关于y轴对称，故 f（x）为偶函数. 法二（定义法） 易知函数f（x）的定义域为（－∞，0） ∪（0，＋∞），关于原点对称， 当x＞0时，f（x）＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）； 当x＜0时，f（x）＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数. 法三（性质法）　f（x）还可以写成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）为偶函数. 高中总复习·数学 目 录 判断函数的奇偶性包括的两个必备条件 （1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数； （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算 中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0 （奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立. 提醒：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共 定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇 ×偶＝奇. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）〔一题多解〕（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是 （　B　） A. f（x）＝ B. f（x）＝ C. f（x）＝ D. f（x）＝ B 高中总复习·数学 目 录 解析： 法一（特殊值、定义法）　对于A，f（1）＝ ＝ ，f（－ 1）＝ ＝ ，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于 B，f（－x）＝ ＝ ＝f（x），故f（x）是偶函 数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f （x）不是偶函数；对于D，f（π）＝ ＝ ，f（－π）＝ ＝ ，f（π）≠f（－π），故f（x）不是偶函数.故选B. 高中总复习·数学 目 录 法二（性质法）　易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A， 由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B， y＝ cos x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定 义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝ sin x＋ 4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕（2026·广东深圳外国语学校月考）已知函数f（x）＝｜3 －x｜，构造函数g（x）＝f（x）－f（－x），则下列关于函数g（x） 的说法正确的是（　BCD　） A. g（x）－g（－x）是偶函数 B. g（x）＋g（－x）是偶函数 C. g（x）｜g（x）｜是奇函数 D. g（x）g（｜x｜）是奇函数 BCD 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为f（x）＝｜3－x｜，所以g（x）＝｜3－x｜－｜3＋x｜， 显然g（x）的定义域为R，且g（－x）＝｜3＋x｜－｜3－x｜＝－g （x），故g（x）是奇函数.对于A，因为g（1）＝f（1）－f（－1）＝ －2，g（－1）＝f（－1）－f（1）＝2，所以g（1）－g（－1）＝－ 4≠4＝g（－1）－g（1），所以g（x）－g（－x）不是偶函数，A错 误；对于B，因为g（－x）＋g（x）＝g（x）＋g（－x），所以g （x）＋g（－x）是偶函数，B正确；对于C，因为g（－x）｜g（－ x）｜＝－g（x）·｜－g（x）｜＝－g（x）｜g（x）｜，所以g （x）｜g（x）｜是奇函数，C正确；对于D，因为g（－x）g（｜－ x｜）＝－g（x）g（｜x｜），所以g（x）g（｜x｜）是奇函数，D正 确.故选B、C、D. 高中总复习·数学 目 录 （3）已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f （y）＋2，则函数f（x）＋2为 函数.（填“奇”“偶”或“非奇 非偶”） 解析：由题意得函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y ＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0）＋2，故f（0）＝－2.令y＝－x，则f （0）＝f（x）＋f（－x）＋2，故f（x）＋2＝－f（－x）－2＝－[f （－x）＋2].故f（x）＋2为奇函数. 奇　 高中总复习·数学 目 录 函数奇偶性的应用（定向精析突破） 考向1　求解析式（参数或值） （1）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝2 sin x，当 x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，则f（－ ）＋f（4）＝（　C　） A. － ＋2 B. 1 C. ＋2 D. 3 C 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2）时，f（x）＝2 sin x，所以f（－ ）＝f（ ）＝2 sin ＝ .又因为当x∈[2，＋∞） 时，f（x）＝log2x，所以f（4）＝log24＝2，所以f（－ ）＋f（4）＝ ＋2. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x－ 2x＋a，则a＝ ；当x＜0时，f（x）＝ ⁠. 解析： 因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即 1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f（x）＝2x－2x－1，设x＜0，则－ x＞0，所以f（－x）＝2－x－2（－x）－1＝2－x＋2x－1，又f（x）为奇 函数，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－2－x－2x＋1. －1　 －2－x－2x＋1　 高中总复习·数学 目 录 函数奇偶性的应用类型及解题策略 （1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇 偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式 （组），从而得到f（x）的解析式； （2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函 数值求解； （3）求参数值：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到 关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值.对于在x＝0处 有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解. 高中总复习·数学 目 录 考向2　奇偶性与单调性 （1）（2025·山东日照一模）定义在R上的函数y＝f（x）满足以下 条件：①f（－x）－f（x）＝0；②当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递 增.则f（－ ），f（π），f（－3）的大小关系是（　A　） A. f（π）＞f（－3）＞f（－ ） B. f（π）＞f（－ ）＞f（－3） C. f（π）＜f（－3）＜f（－ ） D. f（π）＜f（－ ）＜f（－3） A 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（－x）－f（x）＝ 0，所以函数f（x）是偶函数，所以f（－ ）＝f（ ），f（－3）＝f （3），因为x∈[0，＋∞）时，函数f（x）单调递增，所以f（π）＞f （3）＞f（ ），即f（π）＞f（－3）＞f（－ ），故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等 式xf（x－2）＞0的解集为（　D　） A. （1，3） B. （3，＋∞） C. （－3，－1）∪（3，＋∞） D. （0，1）∪（3，＋∞） D 解析： 偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上单调 递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－2｜）＞0 ＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以x∈（0， 1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜0，f（｜x －2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以解集为空 集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 （1）比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量 转化到同一单调区间上，进而利用函数的单调性比较函数值的大小； （2）解抽象函数不等式，先把不等式转化为f（g（x））＞f（h （x）），再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等 式（组）. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）已知函数f（x）＝ 为奇函数，则a＝ （　A　） A. －1 B. 1 C. 0 D. ±1 解析： ∵函数f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），则有f （－1）＝－f（1），即1＋a＝－a－1，得a＝－1（符合题意）.故选A. A 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕（2026·安徽合肥调研）已知f（x）是定义在R上的偶函 数，g（x）是定义在R上的奇函数，且f（x），g（x）在（－∞，0]上 单调递减，则（　BD　） A. f（f（1））＜f（f（2）） B. f（g（1））＜f（g（2）） C. g（f（1））＜g（f（2）） D. g（g（1））＜g（g（2）） BD 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的 奇函数，且两函数在（－∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上 单调递增，g（x）在[0，＋∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减， 所以f（1）＜f（2），g（0）＝0＞g（1）＞g（2），所以f（g（1）） ＜f（g（2）），g（f（1））＞g（f（2）），g（g（1））＜g（g （2）），所以B、D正确，C错误；若｜f（1）｜＞｜f（2）｜，则f（f （1））＞f（f（2）），A错误. 高中总复习·数学 目 录 （3）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f （x）－g（x）＝x3＋x2－1，则f（x）＝ ，g（2）＝ ⁠. 解析： 由f（x）－g（x）＝x3＋x2－1　①，得f（－x）－g（－ x）＝－x3＋x2－1，因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶 函数，所以－f（x）－g（x）＝－x3＋x2－1　②，由①－②，化简得f （x）＝x3，代入①得g（x）＝1－x2，故g（2）＝－3. x3　 －3　 高中总复习·数学 目 录 函数的周期性（师生共研过关） （1）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷5题）已知f（x）是定义在R上且 周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5－2x，则f（－ ）＝ （　A　） A. － B. － C. D. A 高中总复习·数学 目 录 解析： 法一（通解）　当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以 当x∈[－1，0]时，f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝5－2（－x＋2） ＝1＋2x，所以f（－ ）＝1－ ＝－ .故选A. 法二（优解）　f（－ ）＝f（ ）＝f（ ＋2）＝5－2×（ ＋2）＝－ . 高中总复习·数学 目 录 （2）已知y＝f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f （x）＝x2－2x，则当10≤x≤12时，f（x）＝（　B　） A. x2＋22x－120 B. －x2＋22x－120 C. x2＋11x－60 D. －x2＋11x－60 解析： ∵f（x）在R上是周期为4的奇函数，∴f（－x）＝－f （x），由f（x＋4）＝f（x），可得f（x－12）＝f（x），设－ 2≤x≤0，则0≤－x≤2，f（x）＝－f（－x）＝－x2－2x，当 10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f（x）＝f（x－12）＝－（x－12）2－ 2（x－12）＝－x2＋22x－120. B 高中总复习·数学 目 录 1. 求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函 数的周期. 2. 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等 问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 高中总复习·数学 目 录 训练3 （1）函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f （2 025）＝（　C　） A. 1 B. C. D. 7 解析： 因为f（x）f（x＋2）＝13，所以f（x＋2）＝ ，所以f （x＋4）＝ ＝ ＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以f （2 025）＝f（1）＝ ＝ . C 高中总复习·数学 目 录 （2）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f （x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，4]上与x轴的交点个 数为（　C　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 高中总复习·数学 目 录 解析： 当0≤x＜2时，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f （x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1；当2≤x＜4时， 0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期为2，所以f（x－2）＝f（x），所 以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以当2≤x＜4时，y＝f （x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3；又f（4）＝f（2） ＝f（0）＝0，综上可知，共有5个交点. 高中总复习·数学 目 录 （3）〔多选〕（2025·广东深圳模拟）已知非常数函数f（x）的定义域为 R，满足f（x＋2）＋f（x）＝0，f（－x）＝－f（x），则 （　ACD　） A. f（2）＝0 B. f（x＋4）为偶函数 C. f（x）为周期函数 D. f（x）的图象关于点（－4，0）对称 ACD 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为f（x＋2）＋f（x）＝0，所以f（x）＝－f（x＋2），f（x ＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，故C 正确；又f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，f（0）＝0，所以 f（2）＋f（0）＝0，即f（2）＝0，故A正确；又f（x）的周期为4，且 为奇函数，所以f（x＋4）为奇函数，故B不正确；因为f（x）的图象关 于点（0，0）对称，所以f（x）的图象也关于点（－4，0）对称，故D 正确. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：96分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（－1）＝2， 则f（2 025）＝（　　） A. 2 B. 0 C. －2 D. －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 因为函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，所以f （x）为奇函数，所以f（2 025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝－f（－ 1）＝－2，故选C. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·浙江杭州质检）函数f（x）＝ （　　） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是非奇非偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数 √ 解析： 　函数f（x）＝ 的定义域为R，当x＞0时，－x ＜0，f（x）＝x－1，f（－x）＝－（－x）－1＝x－1＝f（x）；当x ＜0时，－x＞0，f（x）＝－x－1，f（－x）＝－x－1＝f（x）.综上所 述，f（－x）＝f（x）成立，所以函数f（x）为偶函数，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 若奇函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递 增，则f（－ ），f（π），f（－3）的大小关系是（　　） A. f（π）＞f（－3）＞f（－ ） B. f（π）＞f（－ ）＞f（－3） C. f（π）＜f（－3）＜f（－ ） D. f（π）＜f（－ ）＜f（－3） √ 解析： 　因为f（x）是奇函数，且当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递 增，故f（x）在R上单调递增，又－3＜－ ＜π，故f（－3）＜f（－ ）＜f（π）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. 设f（x）为R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2－1，则 使f（x）＞0的x的取值范围是（　　） A. {x｜x＞1} B. {x｜－1＜x＜0} C. {x｜x＜－1或x＞1} D. {x｜－1＜x＜0或x＞1} √ 解析： 　当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2－1，又f （x）为R上的奇函数，作出f（x）的图象如图所示，由图 象可知，若f（x）＞0，则－1＜x＜0或x＞1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. 〔多选〕已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，若f（ －2x）， g（2＋x）均为偶函数，则下列结论一定正确的是（　　） A. f（－1）＝f（2） B. g（2）＝1 C. f（1）＝f（2） D. g（－1）＝g（5） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为f（ －2x）为偶函数，所以f（ －2x）＝f（ ＋ 2x），即f（ －x）＝f（ ＋x），所以f（3－x）＝f（x）.令x＝2， 可得f（1）＝f（2），故C正确；A无法判断是否正确；因为g（2＋x）为 偶函数，所以g（2＋x）＝g（2－x），所以g（4－x）＝g（x），令x ＝5，可得g（－1）＝g（5），故D正确；因为无法判断g（2）的取值情 况，故B无法判断是否正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知f（x）是定义在R上的偶函数，其周期为4，当x∈[0，2] 时，f（x）＝2x－2，则（　　） A. f（2 026）＝2 B. f（x）的值域为[－1，2] C. f（x）在[4，6]上单调递减 D. f（x）在[－6，6]上有8个零点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　f（2 026）＝f（506×4＋2）＝f（2）＝2，所以A正确；当 x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值 域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1， 2]，所以B正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，又函数的周 期为4，所以f（x）在[4，6]上单调递增，所以C错误；令f（x）＝2x－2 ＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（－1）＝0，由于函数的周期为4，所以f （5）＝f（－5）＝0，f（3）＝f（－3）＝0，所以f（x）在[－6，6]上 有6个零点，所以D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. （2025·广东湛江一模）已知函数f（x）＝（2x－ ）· cos x是偶函 数，则实数a＝ ⁠. 解析：∵f（x）的定义域为R，f（－x）＝（2－x－ ）· cos （－x）＝ （－a·2x＋ ） cos x，f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），则－a ＝1，解得a＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·福建三明四校联考）已知函数f（x）＝ax3＋ ＋2且f（2 026）＝16，则f（－2 026）＝ ⁠. 解析：令g（x）＝f（x）－2＝ax3＋ ，则g（x）的定义域为{x｜ x≠0}，关于原点对称.因为g（－x）＝a（－x）3＋ ＝－ax3－ ＝－g（x），所以g（x）为奇函数，所以g（2 026）＋g（－2 026）＝ 0，所以f（2 026）－2＋f（－2 026）－2＝0，将f（2 026）＝16代入上 式，可得f（－2 026）＝－12. －12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）（2026·宁夏银川模拟）已知函数f（x）是偶函数.当x＞0 时，f（x）＝logax的图象过点（3，－1）. （1）求实数a的值； 解： ∵当x＞0时，f（x）＝logax的图象过点（3，－1），∴loga3 ＝－1，解得a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）求函数f（x）的解析式； 解： 设x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝lo （－x）， 又∵f（x）为偶函数， ∴f（x）＝f（－x）＝lo （－x）. 综上所述，f（x）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （3）求不等式f（x）＜1的解集. 解： ∵f（x）为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减， 1＝lo ＝f（ ）， ∴f（x）＜1⇒f（x）＜f（ ）， ∴｜x｜＞ ， 解得x＜－ 或x＞ . 故不等式的解集为{x｜x＜－ 或x＞ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. （2025·湖北武汉二调）函数f（x）满足：f（x＋1）＝f（x）＋f （x＋2），若f（1）＝2，f（11）＝3，则f（2 025）＝（　　） A. 1 B. －1 √ C. 5 D. －5 解析： 　由题意可得：f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x），用x＋1代替x 可得：f（x＋3）＝f（x＋2）－f（x＋1），两式相加得：f（x＋3）＝ －f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数f（x）是 以6为周期的周期函数.所以f（11）＝f（5）＝3.又f（5）＝－f（2）， 所以f（2）＝－3.所以f（3）＝f（2）－f（1）＝－3－2＝－5.所以f（2 025）＝f（337×6＋3）＝f（3）＝－5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. 已知函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）－g（－x）＝2x，设函 数f（x）＝g（x）－x，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增.若f （a）－f（2a＋1）＞0，则实数a的取值范围为（　　） A. （－1，－ ） B. （－∞，－1） C. （－1，0） D. （－∞，－ ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）－g（－x）＝ 2x，f（x）＝g（x）－x（x∈R），则f（－x）＝g（－x）＋x＝g （x）－2x＋x＝g（x）－x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数.又函 数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，所以由f（a）－f（2a＋1）＞ 0，得f（a）＞f（2a＋1），即f（｜a｜）＞f（｜2a＋1｜），则｜ a｜＞｜2a＋1｜，解得－1＜a＜－ ，故实数a的取值范围为（－1，－ ）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕（2026·江苏苏州调研）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋ y）＝f（x）＋f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）满足 （　　） A. f（0）＝0 B. y＝f（x）为奇函数 C. f（x）在R上是增函数 D. f（x－1）＋f（x2－1）＞0的解集为{x｜－2＜x＜1} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x） ＋f（y），对于A，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），即f（0） ＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0， 即f（－x）＝－f（x），所以y＝f（x）为奇函数，故B正确；对于C， 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2＋x2）－f （x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2），因为x1＜x2，所 以x1－x2＜0，所以f（x1－x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f （x）在R上是减函数，故C错误；对于D，由f（x－1）＋f（x2－1）＞ 0，可得f（x－1）＞－f（x2－1）＝f（1－x2），由C知函数f（x）在R 上是减函数，所以x－1＜1－x2，解得－2＜x＜1，所以f（x－1）＋f （x2－1）＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x）＋ex是偶函数，y＝f （x）－3ex是奇函数，则函数f（x）的最小值为 ⁠. 解析：因为函数y＝f（x）＋ex是偶函数，则f（－x）＋e－x＝f（x）＋ ex，即f（x）－f（－x）＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f（x）－3ex是 奇函数，则f（－x）－3e－x＝－f（x）＋3ex，即f（x）＋f（－x）＝ 3ex＋3e－x　②，联立①②可得f（x）＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f （x）＝ex＋2e－x≥2 ＝2 ，当且仅当ex＝2e－x，即x＝ ln 2 时等号成立，故函数f（x）的最小值为2 . 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f （x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2. （1）求证：f（x）是周期函数； 解： 证明：∵f（x＋2）＝－f（x）， ∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）. ∴f（x）是周期为4的周期函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式； 解： 当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 由已知得f（－x）＝2（－x）－（－x）2＝－2x－x2. 又f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）＝－2x－x2. ∴f（x）＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， ∴f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）. 又f（x）是周期为4的周期函数， ∴f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2－6x＋8. ∴当x∈[2，4]时，f（x）＝x2－6x＋8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （3）计算f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 026）. 解： f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，f（3）＝－1. 又f（x）是周期为4的周期函数， ∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7） ＝…＝f（2 020）＋f（2 021）＋f（2 022）＋f（2 023）＝0， ∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 026）＝506×[f（0）＋f（1）＋f （2）＋f（3）]＋f（2 024）＋f（2 025）＋f（2 026） ＝0＋f（2 024）＋f（2 025）＋f（2 026） ＝0＋f（0）＋f（1）＋f（2）＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新设问〕定义在R上的不恒为零的偶函数f（x）满足xf（x＋2） ＝（x＋2）f（x），且f（2）＝4.则 [f（2k）＋f（－2k）]＝ （　　） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 由题意可知， ＝ ，且 ＝2，则 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2，所以f（2）＋f（4）＋f（6） ＋f（8）＋f（10）＝2（2＋4＋6＋8＋10）＝60，因为函数f（x）为偶函 数，所以f（－2）＋f（－4）＋f（－6）＋f（－8）＋f（－10）＝60， 则 [f（2k）＋f（－2k）]＝60＋60＝120. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $