2.3 函数的奇偶性、周期性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数奇偶性、周期性核心考点，依据高考评价体系梳理定义、性质及常用结论，分析奇偶性判断、求值求参数、解不等式及周期性应用等命题点权重，归纳典型题型，构建系统备考框架，体现高考复习的针对性与实用性。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养提升”策略，如结合2023新高考Ⅱ卷偶函数求参数题，用定义法与特殊值法突破，培养数学思维；通过分段函数奇偶性判断、周期性转化求值等实例，指导学生用数学语言表达函数关系，掌握答题技巧，助力学生高效冲刺，为教师提供精准复习教学指导。

第三节　函数的奇偶性、周期性 1 知识清单 1.奇偶性 (1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D, 如果∈D，都有-x∈D,如果若__________，则f(x)为偶函数；若__________，则f(x)为奇函数．函数为奇数或偶函数的前提是：定义域关于原点对称． (2)性质： ①奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于________对称． ②在关于y轴对称的两个区间内，奇函数的单调性________，偶函数的单调性________． f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 原点 y轴 相同 相反 返回导航 2 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____________，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期． f(x＋T)＝f(x) 最小的正数 最小正数 返回导航 3 【常用结论】 1．函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|). (3)若函数满足f(x)＝0或解析式可化简为f(x)＝0(x∈D)，其中定义域D是关于原点对称的非空数集，则函数既是奇函数又是偶函数． (4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 返回导航 4 2．周期性的常用结论 设函数y＝f(x)，x∈R，a>0. (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的一个周期为2a. (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的一个周期为2a． (3)若f(x＋a)＝，则函数的一个周期为2a． (4)若f(x＋a)＝－，则函数的一个周期为2a． 返回导航 5 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)不存在既是奇函数又是偶函数的函数．(　　) (4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) × × × √ 返回导航 6 2．(多选)(人教A版必修一P84例6改编)下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 答案：BC 解析：由奇函数的定义可知BC为奇函数． 返回导航 7 3．(人教B版必修一P115B组T2)改编已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________． 答案：－26 解析：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)的定义域为R则g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＝－g(x)－8.因为f(－2)＝10，所以g(2)＝－18，所以f(2)＝g(2)－8＝－26. 返回导航 8 4．(人教A版必修一P203T4改编)设函数f(x)（x∈R）是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2，则f()＝________． 答案： 解析：因为函数y＝f(x)是以2为周期的函数，所以f＝＝f＝2＝. 返回导航 9 命题点一　函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝. 答案：由解得所以x＝1，函数的定义域为{1}，定义域不关于原点对称， 则f(x)＝为非奇非偶函数． 返回导航 10 (2)f(x)＝. 答案：由所以x＝±1，其定义域为{－1，1}，关于原点对称． 因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝既是奇函数又是偶函数． 返回导航 11 (3)f(x)＝. 答案：由得－2≤x≤2且x≠0，定义域关于原点对称， 所以x＋3>0，|x＋3|＝x＋3，所以f(x)＝， 因为f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 返回导航 12 (4)f(x)＝ 答案：方法一　f(x)的定义域关于原点对称， f(－x)＝ 即f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 方法二　画出f(x)的图象， 观察可知图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数． 返回导航 13 学霸笔记：判断函数奇偶性常用的两种方法 返回导航 14 跟踪训练　(1)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝|x－1| B．f(x)＝x＋ C．f(x)＝ex－e－x D．f(x)＝ex＋e－x 答案：D　 返回导航 15 解析：对于A，函数f(x)＝|x－1|的定义域为R，关于原点对称，任取x＝3，则－x＝－3，f(－3)＝4，f(3)＝2，因为f(－3)≠f(3)，故f(x)＝|x－1|不是偶函数；对于B，函数f(x)＝x＋x≠0}，关于原点对称，任取x＝3，则－x＝－3，f(－3)＝－，f(3)＝，因为f(－3)≠f(3)，故f(x)＝x＋ 返回导航 16 e－x是偶函数．故选D. 返回导航 17 (2)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝ln x B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝3x D．f(x)＝lg 答案：D 返回导航 18 解析：对于A，f(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，所以函数f(x)＝ln x为非奇非偶函数，故A错误；对于B，f(x)＝－x2的定义域为R，且f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，即函数f(x)＝－x2为偶函数，故B错误；对于C，f(x)＝3x的定义域为R，且f(－x)＝3－x≠－3x＝－f(x)，即函数f(x)＝3x为非奇非偶函数，故C错误；对于D，f(x)＝lg 的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)，即函数f(x)＝lg 为奇函数，故D正确．故选D. 返回导航 19 命题点二　函数奇偶性的应用 考向1　求值(解析式) 例2 (1)已知偶函数f(x)的定义域为R，且当x>0时，f(x)＝－3x＋m，若f(－2)＝－7，则f(3)＝(　　) A．－25 B．－15 C．25 D．15 答案：A　 返回导航 20 解析：由偶函数的性质可知，f(－2)＝f(2)＝－9＋m＝－7，得m＝2，即x>0时，f(x)＝－3x＋2，则f(3)＝－27＋2＝－25，故A正确．故选A. 返回导航 21 (2)已知函数f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x－3，则函数f(x)＝________． 答案：f(x)＝ 解析：根据题意，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－3＝x2－2x－3，又由函数f(x)为R上的偶函数，则f(x)＝f(－x)．则x<0时，f(x)＝x2－2x－3.故f(x)＝ 返回导航 22 学霸笔记： (1)求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：先将所求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． 返回导航 23 跟踪训练　已知函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1，则f(－2)＝(　　) A．1 B．－ C．3 D．－3 答案：D 解析：根据题意，当x≥0时，f(x)＝2x－1，则f(2)＝22－1＝3，又由f(x)为奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－3.故选D. 返回导航 24 考向2　求参数 例3 (链接·2023年新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 答案：B 返回导航 25 解析：由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则f(x)的定义域为，或，关于原点对称．因为f(x)为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)·＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝x ln ， f(－x)＝(－x)·＝(－x)ln ＝(－x)ln -1＝＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 返回导航 26 　真题探源　(源自人教B版必修一P117B组T8)已知函数f(x)＝(x－1)2＋ax＋2是偶函数，求实数a的值． 答案：因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋2是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋2＝(x－1)2＋ax＋2，整理得(2a－4)x＝0， 所以2a－4＝0，解得a＝2. 返回导航 27 学霸笔记：根据函数的奇偶性求函数解析式中的参数的方法主要是利用函数的奇偶性建立关于f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的恒等式求解，也可利用特殊值求解(使用特殊值求解，所得的参数的值需要检验)． 返回导航 28 考向3　解不等式 例4 (2026·上饶模拟)已知函数f(x)＝x－sin x，且f(log2m)＋f(－1)<0，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(0，2) C．(1，2) D．(2，＋∞) 答案：B 返回导航 29 解析：∵函数f(x)＝x－sin x的定义域为R，∴f′(x)＝1－cos x≥0恒成立，故函数f(x)为增函数，又由f(－x)＝－x－sin (－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，f(log2m)＋f(－1)<0⇒f(log2m)<－f(－1)＝f(1)，则log2m<1，解得0<m<2.故选B. 返回导航 30 学霸笔记：求解函数奇偶性与单调性有关的不等式问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，转化为自变量的不等式． 返回导航 31 　跟踪训练　已知定义在区间[－2，2]上的偶函数f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)单调递增，若f(1－2m)>f(1)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－，0)] C．[－，0)] D．[－，0)) 答案：C 返回导航 32 解析：因为f(x)是[－2，2]上的偶函数，所以f(1－2m)＝f 解得－≤m<0或1<m≤，故实数m的取值范围为∪.故选C. 返回导航 33 命题点三　函数的周期性及应用 例5 (1)(2026·呼和浩特模拟)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f()＝(　　) A．－　　B．－ C．　　 D． 答案：A　 返回导航 34 (2)(链接·2025年全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(－)＝(　　) A．－　　B．－ C．　　 D． 答案：A 返回导航 35 解析：(1)当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，而f(x)的周期为2，所以f＝f＝f＝5－2×.故选A. (2)由题知f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)对一切x∈R成立，于是f＝f＝f＝5－2×.故选A. 返回导航 36 　真题探源　(源自人教A版必修一P214T18改编)已知周期函数y＝f(x)的图象如图所示． 返回导航 37 (1)求函数的周期； (2)画出函数y＝f(x＋1)的图象； 答案：由图可知，该函数的周期为T＝2，． 答案：函数y＝f(x＋1)的图像，可由函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位得到，其图象如图所示． 返回导航 38 (3)写出函数y＝f(x)的解析式． 答案：由题意，函数y＝f(x)＝ 又∵函数f(x)的周期为T＝2， ∴y＝f(x)＝(k∈Z)． 返回导航 39 学霸笔记：求解函数的周期性问题，首先应根据题意求出函数的周期，利用函数的周期性将函数在未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上． 返回导航 40 　跟踪训练　(1)(2026·龙岩模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且f(3)＝2，则f(2 025)的值为________． (2)(2026·九江模拟)已知奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1)时，f(x)＝4x＋a，则f(101.5)＝________． 2 1 返回导航 41 解析：(1)因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2 025)＝f(3＋1 011×2)＝f(3)＝2. (2)因为函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的函数；由奇函数f(x)的自变量x可取0，则f(0)＝0，结合当x∈[0，1)时，f(x)＝4x＋a，得f(0)＝1＋a，故1＋a＝0，则a＝－1，故当x∈[0，1)时，f(x)＝4x－1，则f(101.5)＝f(25×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(2－0.5)＝－f(－0.5)＝f(0.5)＝40.5－1＝1. 返回导航 42 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1．下列函数中是奇函数的为(　　) A．y＝sin x·ex B．y＝x3－x2 C．y＝cos 2x D．y＝log2 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 解析：对于A，sin (－1)·e-1＝－≠－(sin 1·e1)，即x取－1，1时的函数值不互为相反数，A不是；对于＝－2≠0＝－(13－12)，即x取－1，1时的函数值不互为相反数，B不是；对于C，y＝cos 2x是偶函数，且cos (2×0)＝1≠0，即cos 2x不恒为0，C不是；对于D，函数y＝log2的定义域为(－1，1)，而log2＝log2＝函数y＝log2是奇函数，D是．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 2．若函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－x＋1，则f(2 026)＝(　　) A． B．10 C．4 D．2 答案：B 解析：由f(x＋4)＝f(x)，得函数f(x)的周期为4.又当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－x＋1，∴f(2 026)＝f(4×507－2)＝f(－2)＝9＋1＝10.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 3．(2026·长春二模)已知函数f(x)＝(x＋a－2)·(x2＋a－1)为奇函数，则a的值是(　　) A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 答案：C 解析：因为f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，所以f(0)＝(a－2)(a－1)＝0，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，f(x)＝x2·(x－1)，f(－x)＝x2(－x－1)≠－f(x)，故a＝1不合题意，舍去；当a＝2时，f(x)＝x(x2＋1)，f(－x)＝－x(x2＋1)＝－f(x)，故a＝2符合题意．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 4．(2026·衡阳模拟)若f(x)为定义在R上的奇函数，且f(－a)＋3f(a)＋4≥0，则(　　) A．f(a)的最小值为－4 B．f(a)的最小值为－2 C．f(a)的最大值为－4 D．f(a)的最大值为2 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 解析：由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(－a)＝－f(a)，则f(－a)＋3f(a)＋4＝2f(a)＋4≥0，解得f(a)≥－2，则f(a)的最小值为－2.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 5．设函数y＝f(x)－x2是奇函数．若函数g(x)＝f(x)＋5，f(4)＝9，则g(－4)＝(　　) A．28 B．33 C．38 D．43 答案：A 解析：由函数y＝f(x)－x2是奇函数可知f(x)－x2＋f(－x)－(－x)2＝0，因此可得f(x)＋f(－x)＝2x2.又g(x)＝f(x)＋5，因此g(4)＝f(4)＋5，g(－4)＝f(－4)＋5；两式相加可得g(4)＋g(－4)＝f(4)＋5＋f(－4)＋5＝2×42＋10＝42.又g(4)＝f(4)＋5＝14，因此g(－4)＝42－14＝28.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 6．已知奇函数f(x)在R上单调递减，若f(2m)＋f(m＋2)<f(0)，则m的取值范围为(　　) A． B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D． 答案：D 解析：因为奇函数f(x)在R上有定义，所以f(0)＝0，所以f(m＋2)<－f(2m)＝f(－2m)，又f（x）在R上单调递减，所以m＋2>－2m，解得m>－.所以m的取值范围为.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 7．设f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2≤x≤3时，f(x)＝x2－5x＋6，则f＝(　　) A． B．－ C．2 D．－2 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，所以＝－f＝－f＝－f，而当2≤x≤3时，f(x)＝x2－5x＋6，则－f＝－[2－5×]＝，故A正确．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 8．(2026·湛江模拟)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：由f(x)＝，得f(x)＝3＋，函数f(x)的定义域为R，令g(x)＝，则g(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，又g(－x)＝＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝3＋g(x)＋3＋g(－x)＝6，则f(x)的图象关于点(0，3)对称，所以M＋m＝6.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 9．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且f(－2)＝1，则下列说法正确的有(　　) A．f(0)＝0 B．f(2)＝－1 C．f(x)的图象关于y轴对称 D．f(x)·f(－x)为偶函数 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)且函数图象关于原点对称，故C错误；令x＝0可得f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，故A正确；又f(－2)＝1，则f(2)＝－f(－2)＝－1，故B正确；令g(x)＝f(x)·f(－x)，x∈R，则g(－x)＝f(－x)·f(x)＝f(x)·f(－x)＝g(x)，所以g(x)＝f(x)·f(－x)为偶函数，即f(x)·f(－x)为偶函数，故D正确．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 10．(2026·亳州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝x2＋x＋a，则下列说法正确的是(　　) A．a＝0 B．当x>0时，f(x)＝－x2－x C．函数f(x)的单调递减区间为和 D．不等式f(x)<0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞) 答案：ACD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 解析：由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝a＝0，经验证此时满足题意，故A正确；则当x≤0时，f(x)＝x2＋x，当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－x]＝－x2＋x，故B错误；由上述分析可知f(x)＝ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 由此画出f(x)的图象如图所示，由图可知，f(x)的单调递减区间为和，故C正确；不等式f(x)<0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，故D正确．故选ACD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 11．已知a，b为实数，且函数y＝x2＋ax＋1，x∈[4b，b2]是偶函数，则a－b＝________． 答案：4 解析：函数y＝x2＋ax＋1，x∈[4b，b2]是偶函数，则a＝0且得b＝－4，所以a－b＝4. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f＝f，则f(2 026)的值为________． 答案：－2 解析：由题设f＝f⇒f＝⇒f(3＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为3的奇函数，则f(2 026)＝f(3×675＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－log39＝－2. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 13．(13分)设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，且对一切x∈R均有f(x)＋f(x＋2)＝0，当－1<x≤1时，f(x)＝2x－1. (1)求当1<x≤3时，函数f(x)的解析式； 答案：由于f(x)＋f(x＋2)＝0，则f(x－2)＋f(x)＝0，即f(x)＝－f(x－2)， 当1<x≤3时，x－2∈(－1，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－[2(x－2)－1]＝－2x＋5. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 (2)求当9<x≤11时，函数f(x)的解析式． 答案：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数周期T＝4，当9<x≤11时，－1<x－4×2－2≤1， 则f(x－2)＝f(x－2－4×2)＝2(x－10)－1＝2x－21. 因为f(x－2)＝－f(x)，所以f(x)＝－2x＋21. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 14．(15分)(2026·三明模拟)已知函数f(x)＝m＋. (1)若函数f(x)为奇函数，求实数m的值． 答案：由f(x)的定义域为R且为奇函数，则f(0)＝m＋1＝0，可得m＝－1， 所以f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)满足，所以m＝－1. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 (2)当m＝1时，求f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)的值. 答案：当m＝1时，f(x)＝1＋，令g(x)＝f(x)－2，则g(x)＝f(x)－2＝－1， 由(1)知g(x)为奇函数，则 g(－4)＋g(－3)＋g(－2)＋g(－1)＋g(0)＋g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4) ＝[g(－4)＋g(4)]＋[g(－3)＋g(3)]＋[g(－2)＋g(2)]＋[g(－1)＋g(1)]＋g(0)＝0， 所以f(－4)＋f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4) ＝[g(－4)＋g(4)＋4]＋[g(－3)＋g(3)＋4]＋[g(－2)＋g(2)＋4]＋[g(－1)＋g(1)＋4]＋g(0)＋2＝18. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 64 15．(5分)(2026·南通模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f是奇函数，当1≤x≤2时，f(x)＝3－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 65 解析：f是奇函数，则有f＝－f，令x＋＝－t，则有f(t＋1)＝－f(－t)，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(t＋1)＝－f(－t)＝－f(t)，则有f(t＋2)＝－f(t＋1)＝f(t)，即函数f(x)的一个周期为2.所以f＝f＝f＝3－2×.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 66 16.(5分)(2026·保定模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)<0，则不等式f(5－x2)＋f(3x－x2)<0的解集为________． 答案： 解析：令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝f(0)，即f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．令x＝x1－x2，y＝x2，且x1>x2，则f(x1)＝f(x1－x2)＋f(x2)，因为x1－x2>0，所以<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上为减函数，所以不等式f(5－x2)＋f(3x－x2)<0⇔f(5－x2)<－f(3x－x2)⇔f(5－x2)<f(x2－3x)⇔5－x2>x2－3x，即2x2－3x－5<0，解得－1<x<. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 67 $