命题大赛 广东高二数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版选择性必修第三册第六章）

**基本信息** 本单元卷聚焦人教A版选择性必修三第六章排列组合与二项式定理，以教材改编题（如单选1改编自6.1例3）夯实基础，原创科技情境题（如第7题游戏策划小组）提升应用，适配高二单元复习，全面覆盖核心知识点，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|分类加法计数原理、排列数计算|改编教材例题，基础巩固| |多项选择|4/24|组合应用、二项式系数性质|多选项设计，考查推理能力| |填空题|3/15|二项式展开项系数、数字排列|改编教材习题，强化计算| |解答题|4/71|概率计算、二项式定理综合、分组分配|综合题融合排列组合与实际情境（如竞赛分组），突出模型意识|

Sheet1 题号 题型 分值 考查知识点 难度系数（预估） 1 单选 5 分步计数原理 易 2 单选 5 排列数 易 3 单选 5 排列数与组合数 易 4 单选 5 二项式定理求常数项 中 5 单选 5 数字排列（偶数） 中 6 单选 5 组合（至少问题） 中 7 单选 5 组合（限制条件） 中 8 单选 5 二项式系数的性质 易 9 多选 6 组合的综合应用 中 10 多选 6 排列组合恒等式 易 11 多选 6 二项式定理（系数和、最大项） 难 12 多选 6 数列与组合应用 中 13 填空题 5 二项式展开系数和 中 14 填空题 5 数字排列（整除） 中 15 填空题 5 分配问题（先分组再分配） 中 16 解答题 16 概率与组合（性别条件） 中 17 解答题 17 二项式定理（综合） 中 18 解答题 18 二项式展开系数赋值、求导 中 19 解答题 20 排列组合综合（竞赛、排队、分组） 难 $ 全国高二数学下学期阶段测试 （人教A版选择性必修第三册 第六章） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试时间120分钟，满分150分。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （改编自教材6.1例3） 书架上层有4本不同的数学书，下层有5本不同的语文书。现从中任取2本不同科目的书，则不同的取法共有（ ） A. 9种  B. 20种  C. 16种  D. 30种 2. 从5名同学中选出正、副班长各一人，则不同的选法种数为（ ） A. 5  B. 10  C. 20  D. 25 3. （改编自教材6.2.2例3） 计算 的值为（ ） A. 810  B. 875  C. 880  D. 915 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. -160  B. 160  C. -20  D. 20 5. 用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的三位偶数的个数为（ ） A. 30  B. 36  C. 24  D. 48 6. 某班有6名男生和4名女生，现从中选出3人组成志愿者小组，要求小组中至少有1名女生，则不同的选法共有（ ） A. 100种  B. 96种  C. 80种  D. 116种 7. （原创题） 某科技公司研发了一款新游戏，需要从6名男策划和4名女策划中挑选3人组成核心小组，且要求小组中男女都有，并且某位男策划甲和某位女策划乙不能同时入选。则不同的选法种数为（ ） A. 90  B. 96  C. 84  D. 88 8. （改编自教材第35页习题6.3第8题） 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的值为（ ） A. 4  B. 5  C. 6  D. 7 二、多项选择题（本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （改编自教材第12页习题6.1第10题） 现有4个不同的红球和3个不同的白球，从中取出3个球，则下列说法正确的是（ ） A. 若取出的球颜色相同，则不同的取法有5种 B. 若取出的球颜色不全相同，则不同的取法有30种 C. 若取出的球中恰有2个红球，则不同的取法有18种 D. 若取出的球中至少有1个白球，则不同的取法有34种 10. 关于排列与组合，下列等式正确的有（ ） A.  B. C.  D. 11. （原创题） 已知二项式的展开式中各项系数的绝对值之和为，则下列结论正确的是（ ） A. n=5 B. 展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项 C. 展开式中常数项为 80 D. 展开式中 x 的幂指数为整数的项有3项 12. 从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数，则下列事件中概率（或计数）正确的有（ ） A. 这三个数能构成等差数列的取法有6种 B. 这三个数能构成等比数列的取法有2种 C. 这三个数的和为偶数的取法有10种 D. 这三个数的积为3的倍数的取法有38种 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 13.在的展开式中，含项的系数是__________。（用数字作答） 14.（改编自教材第27页习题6.2第12题） 用数字可以组成__________个无重复数字且能被5整除的五位数。 15.将5本不同的书全部分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则不同的分配方法共有__________种。（用数字作答） 四、解答题（本题共4小题，共71分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题15分）（改编自教材第27页习题6.2第13题） 某校举行演讲比赛，有4名男生和3名女生报名。 （1）若从7人中选2人担任主持人，求选出的2人性别相同的概率； （2）若从7人中选4人组成年级代表队，要求女生人数不少于男生人数，求不同的选法种数。 17.（本小题17分）（原创题） 已知二项式的展开式中第3项与第4项的二项式系数之比为3:4。 （1）求n； （2）求展开式中含x²的项； （3）求展开式中系数的绝对值最大的项。 18.（本小题19分）（改编自教材第33页例3及第34页习题6.3第1题） 已知，且。 （1） 求的值； （2） 求的值； （3） 求的值； （4） 求的值。 19.（本小题20分）（综合改编） 某数学兴趣小组有6名成员，其中3名高一学生，2名高二学生，1名高三学生。现要完成以下任务： （1）若从中选3人参加数学竞赛，求至少有1名高二学生的选法种数； （2）若从中选3人分别参加数学、物理、化学三科竞赛（每人一科，不兼报），且高一学生不能参加化学竞赛，求不同的分配方案数； （3）若将这6人排成一排照相，要求高一学生互不相邻，且高二学生必须相邻，求不同的排法种数； （4）若将这6人分成三个小组（每小组至少1人），且高三学生单独一组，求不同的分组方法数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国高二数学下学期阶段测试参考答案与解析 （人教A版选择性必修第三册 第六章） 一、单项选择题 1. 答案：B 解析： 取一本数学书和一本语文书，分两步：选数学书4种，选语文书5种，共种。 2. 答案：C 解析： 从5人中选正副班长，有顺序，所以是排列：。 3. 答案：B 解析：，和为875。 4. 答案：A 解析： 通项，令 6-2r=0 得 r=3，常数项为。 5. 答案：A 解析： 三位偶数，个位为0,2,4。分类：个位为0时，前两位从1-4选2个排列：；个位为2时，首位不能为0，有（首位从1,3,4选1个数，中间从剩下3个数选1个数）；个位为4时同样9种，共12+9+9=30。 6. 答案：A 解析： 总选法，全部男生选法，则至少1女生。 7. 答案：D 解析： 选3人且男女都有：总选法。再排除选3人且男女都有，同时满足甲、乙同时入选的情况：此时还需从剩余8人中选1人，有8种，（甲乙已满足男女各一）。因此符合题意的选法为 96 - 8 = 88。故选D。 8. 答案：C 解析： 第3项二项式系数，第5项，由得 n=6（因为，则 2=n-4 或 2=4 舍）。 二、多项选择题 9. 答案：ABC 解析： 4红3白，取3球。A：颜色相同即全红或全白，全红，全白，共5种，正确。B：颜色不全相同即3个球不都是同色，总取法，减去同色5种得30种，B正确。C：恰有2个红球，选2红，1白，共种，选项C正确。D：至少1白球：总取法35种情况减去全是红球4种情况得31种，选项D错误。 10. 答案：ACD 解析： A为组合数性质；B，B错误；C为组合数递推公式；D为排列数阶乘公式。全对。 11. 答案：AB 解析： 绝对值之和，A正确。，二项式系数最大为第3、4项，B正确。通项，令指数0得非整数，无常数项，C错误。指数整数即为整数，r=0,1,...,5，则，仅r=3得-1，共1项，D错误。故本题答案AB。 12. 答案：AC 解析： 从1-6中取3个不同数。A：能构成等差数列的有(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),(1,3,5),(2,4,6)（顺序不计）共6种，A正确。B：等比数列有(1,2,4),顺序不计，只有一组，因此B错误。C：三个数和为偶数，则三个数全偶或两奇一偶。偶数为2,4,6共3个，全偶C₃³=1；奇数为1,3,5共3个，两奇一偶：选2奇C₃²=3，选1偶C₃¹=3，共种，合计10种，C正确。D：积为3的倍数，则至少有一个3或6。总取法C₆³=20，不含3和6的数有1,2,4,5共4个，取三个C₄³=4，所以积为3的倍数有20-4=16种，D错误。 三、填空题 13. 答案：65 解析： 含x³项来自三个二项式：中，中，中，合计。 14. 答案：216 解析： 能被5整除的五位数末尾为0或5。末位0：前四位数从1-5选4个数进行排列，共种；末位5：首位不能为0，从1,2,3,4中选4种，则中间三位数从剩下四个数里选3个数进行排列，有种，共。则共有 15. 答案：150 解析： 5本书分给3人，每人至少一本。先分组再分配：分组方式(3,1,1)有种，然后分配给3人，共；分组(2,2,1)有种，分配A₃³=6，共15×6=90；合计60+90=150。 四、解答题 16. 解析： （1）解：总选法，（2分） 性别相同即全男或全女，共9种，（5分） 概率。（7分） （2） 女生人数不少于男生，即可能： 女生3男1：C₃³×C₄¹=1×4=4；（9分） 女生2男2：C₃²×C₄²=3×6=18；（11分） 女生4男0不可能（女生只有3人），（13分） 所以共4+18=22种。（15分） 17. 解： （1）第3项二项式系数，第4项，由， 即，，（2分） 所以。（3分） （2） 通项，（4分） 令，得r=1，（5分） 所以含x²项为。（7分） （3） 系数绝对值为，（8分） 比较相邻项的系数绝对值：， 令其，（10分） 得，（11分） 所以时，系数的绝对值递增，时，系数的绝对值递减。（13分） 当r=1时，系数绝对值为；r=2时，r=3时，（16分） 所以系数绝对值的最大项为当时，。（17分） 18. 解析： （1），所以，（2分） 解得n=6（因为C₆³=20）。（4分） （2）令x=1得。（7分） （3）求导法：两边对x求导得，（10分） 令x=1，得，（12分） 当n=6时，2×6×3⁵=12×243=2916。（14分） （4） 即各项系数绝对值， ∵中系数正 ∴所有系数均为正，即，（16分） ∴==729。（19分） 19. 解析： （1）总选法，（1分） 没有高二学生的选法（从高一和高三共4人中选），（1分） 所以至少1名高二学生有种。（4分） （2） 分两种情况：化学竞赛由高二或高三学生参加（因为高一不能参加化学）。（5分） 先选化学科的人：从2位高二学生和1位高三学生中，共3人选1人，有3种；（6分） 再从剩下5人选2人分别参加数学和物理，有种，（7分） 共种。（8分） （3） 高一学生互不相邻，高二学生必须相邻。 先把高二2人捆绑看作一个整体，内部有种；（10分） 捆绑的高二整体、高三共2个元素，排列有种，（12分） 产生3个空（包括两端），从中选3个空放入高一3人，有A₃³=6种。（14分） 总排法：2× 6 × 2=24 种。（15分） （4） 分成三个小组，高三学生单独一组， 即先把剩下5人分成两个小组（每组至少1人）， 然后这两个小组与高三组一起形成三个小组（无序）。（16分） 5人分成两组，每组至少1人，有2种分法： 一组1人另一组4人，或一组2人另一组3人。 对于1+4：种；对于2+3：种。（18分） 所以共有5+10=15种分组方法。（20分） 学科网（北京）股份有限公司 $