精品解析：2026年黑龙江省齐齐哈尔市依安县第三中学中考考前预测试数学试题

2025－2026学年度下学期三模测试 九年级数学试卷 一、单选题（共30分） 1. 的倒数为（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握其定义是做题的关键．根据倒数的定义，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 故选：D． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法逐项计算即可． 【详解】A． ，故原说法不正确； B． ，故原说法不正确； C． ，故原说法不正确； D． ，故正确； 故选：D． 4. 将一副直角三角尺（，）按如图所示位置摆放，使点落在边上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，先根据平行线的性质得出，求出，根据平角定义求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图由完全相同的7个小立方体组成的几何体，该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图的定义，从正面观察几何体，确定每一列小正方形的最高层数即可判断． 【详解】解：从正面看，该几何体共有列：左边一列为层，中间一列为层，右边一列为层 ， ∴该几何体的主视图为． 6. 为助力家校协同育人，某校开展家庭教育指导咨询大集活动．现场需从3名学生志愿者（2名男生，1名女生）里随机抽2人负责家长签到引导工作，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用列举法列出所有等可能的抽取结果，统计满足条件的结果数，代入概率公式即可求解． 【详解】解：记2名男生分别为男、男，记1名女生为女． 从3人中随机抽取2人，所有等可能的结果为(男1，男2)、(男1，女)、(男2，女)，共种等可能性结果． ∵其中恰好为1名男生和1名女生的结果有种． ∴所求概率． 7. 已知关于x的分式方程无解，则a的值是（ ） A. B. 3或0 C. 或4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将方程去分母，整理得．分两种情况讨论：①若，则该整式方程无解，原分式方程无解，可求得此时；②若，则整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到当时，，从而求得．综合即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， ①若，则该整式方程无解，原分式方程无解， 此时； ②若，则整式方程的解为：， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 即， ∴或， 解得：， 综上所述，a的值为4或． 故选：C． 8. “我爱读书”为主题的演讲比赛后，班主任李老师为奖励表现突出的学生，计划拿出28元购买单价分别为3元和2元的笔记本和中性笔进行奖励（两种奖品都买），则购买方案有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设购买本笔记本，支中性笔，根据题意列出方程，根据x、y均为正整数，确定符合条件的解的数量即可． 【详解】解：设购买本笔记本，支中性笔， 则， 、均为正整数， 、的可能取值为或或或 符合条件的解有4组，即购买方案有4种， 故选：B． 9. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分当时，点在上和当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于，当时，点在上， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 当时，点在上，过点作于点， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， 综上所述，当时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 二、填空题（共18分） 11. 神舟二十一号载人飞船入轨后，采用自主快速交会对接模式，在发射后约12600秒，成功对接于空间站天和核心舱的前向端口．将12600用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可求解． 【详解】解：． 12. 一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，求圆锥底面圆半径，勾股定理，，设这个圆锥体的底面圆半径为r，根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长建立方程求出r，再利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：设这个圆锥体的底面圆半径为r， 由题意得，， ∴， ∴这个圆锥体的高为， 故答案为：． 13. 已知∠，以点为圆心，为半径作弧，分别交、于点和点，再分别以点、点为圆心，以大于为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，在射线上取一点，作于点，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，解直角三角形，过点作于点，过点作于点，根据作图可得是的角平分线，则，得出，当在上时，取得最小值，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点 根据作图可得是的角平分线， ∴， ∴， ∴当在上时，取得最小值， ∵， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为________ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故答案为：8． 15. 已知矩形中，，对角线的垂直平分线与的邻补角的平分线交于点N，若，则这个矩形的周长为__________． 【答案】或##36或20 【解析】 【分析】分两种情况：当点在直线上方和下方，分别画出相应的图形，作出辅助线构建全等三角形，求出的长，再根据矩形的周长公式进行计算即可． 【详解】①如图1，当点在直线上方时，作交的延长线于点，作于点，连接，， ∵，，， ∴四边形是矩形． ∵，，， ∴． ∴矩形是正方形． ∵， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴这个矩形的周长为：； ②如图2，当点在直线下方时，作于点，作交的延长线于点，连接，， 同法可得：，，， ∴这个矩形的周长为：． 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的周长等知识，解题的关键是分类画图，并作出辅助线构建全等三角形解决问题． 16. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍即（）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到三角形，则的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，解直角三角形；根据余弦的定义求出，可分别求出,，……，找出规律，得到，根据规律解答即可，正确得到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∴； ∴，，…， 一般地，； ∵，， ∴在x轴正半轴上， ∴，即； 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角三角函数值，绝对值的性质，0指数幂的法则及实数运算法则处理； （2）根据提公因式法、完全平方公式作因式分解； 【详解】解：（1） ； （2） 【点睛】本题考查绝对值性质、0指数幂、实数的运算、因式分解；掌握运算法则及公式解题的关键． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，找出两个解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①：， 去分母得：， 合并同类项得：， 解不等式②：， 去括号得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组的解集为． 19. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数、、，再计算判别式，最后代入求根公式求解．本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题的关键． 【详解】解： ，，， ， ∴， ∴，． 20. 某校随机抽取部分学生，调查他们平均每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将收集的数据按组“”，B组“”，C组“”，D组“”四组进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是______，本次抽查的平均每天完成家庭作业的时间的中位数落在______组； （2）补全条形统计图：B组所在扇形的圆心角大小是______； （3）该校共有1600名学生，请估计该校平均每天完成作业时间不少于90分钟的学生人数． 【答案】（1）200；B； （2）；条形统计图补全如下： （3）该校平均每天完成作业时间不少于90分钟的学生人数为680人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形图可知，A组人数为45，占比，由此求得调查总人数；进而可求得B组人数，根据中位数的定义，中位数是第100，101个数的平均数，故中位数落在B组； （2）求出B组人数为70人，占比为，然后乘以即可求解，再补全统计图即可； （3）求出抽样中完成家庭作业时间不少于90分钟的人数占比，然后乘以该校总人数即可求解． 【小问1详解】 解：根据条形统计图和扇形图可知，A组人数为45，占比， 抽样调查的样本容量是（人）， 抽样调查的样本容量是200人，将这些数据由小到大排序，中位数是第100，101个数的平均数，而B组人数为，A组人数为45， 第100，101个数落在B组； 【小问2详解】 解：B组人数为70人，占比为， ∴B组所在扇形的圆心角大小是， 补全统计图见答案； 【小问3详解】 解：抽取的样本中每天完成家庭作业时间不少于90分钟的人数为C和D组人数和85人，占比为， 该校共有1600名学生，估计时间不少于90分钟的人数为（人）， 答：该校共有1600名学生，请估计该校平均每天完成家庭作业时间不少于90分钟的学生人数是680人． 21. 如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线； （2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∵是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键． 22. A、B两地相距600千米，途中有一个服务区，甲车从A地出发，前往B地，同时乙车从B地出发前往服务区接人，到达服务区停留0.5小时等人，接到人后立即按原路原速返回B地，两车匀速行驶，结果甲车比乙车晚1.5小时到达B地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车行驶速度是______千米/时，乙车行驶速度是______千米/时； （2）求乙车从接到人后返回B地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围） （3）直接写出两车出发多少小时相距30千米？ 【答案】（1）60；90 （2） （3）两车出发3.8小时或4.5小时或6.5小时或9.5小时时相距30千米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）根据F点坐标可求出甲车速度，根据路程及时间可求乙车行驶速度； （2）根据甲车比乙车晚小时到达C地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可； （3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车追上甲车并超过30千米时，④当乙车回到C地时，甲车距离C地30千米时． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， ∴甲车的行驶速度是：（千米/时）， M的纵坐标为360， ∴B，C两地之间的距离为360千米， 乙车行驶的路程为（千米），行驶的时间为（小时）， 乙车行驶的速度是（千米/时）， 故答案为：60；90； 【小问2详解】 解：∵甲车比乙车晚小时到达C地， ∴点， 乙的速度为90千米/小时，则， ∴，， 设表达式为，将和代入， 得，解得：， ∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是30千米， ①在乙车到B地之前时， ，即， 解得：； ②∵小时，小时， ∴甲乙同时到达B地，当乙在B地停留时， 小时； ③当乙车追上甲车并超过30千米时， 小时； ④当乙车已经回到C地时，甲车距离C地30千米时， 小时； 综上：两车出发3.8小时或4.5小时或6.5小时或9.5小时时相距30千米． 23. 如图，在平行四边形中，，，为锐角，且． （1）如图1，求边上的高的长； （2）是边上的一动点，点，同时绕点按逆时针方向旋转得点，， ①如图2，当落在射线上时，求的长； ②当是直角三角形时，则的长为_____．（请直接写出答案） 【答案】（1） （2）①，②3或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，三角函数等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）由平行四边形的性质对边相等和三角函数可求得，进而根据勾股定理即可得出结果； （2）①由三角形全等和三角形相似可得出结论； ②三角形的直角顶点不确定，故要分类讨论，分三种情况讨论，求出结论． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 ①如图2，过点作于点， 由（1）得，， 由旋转知，，； 作交延长线于点， ， ， ， ， ∵， ， ， 设，，， ，， ， ， ， ， ， ； ②点、同时绕点按逆时针方向旋转得点、， ，，， ， ， ①当以为直角顶点时，如图． ， 点落在线段延长线上， ， ， 由（1）知，，． ②当以为直角顶点时，如图， 设与射线的交点为， 过点作于点． ， ， 点同时绕点按逆时针方向旋转得点，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 化简得， 解得，， ， ③当以为直角顶点时， 点落在的延长线上，不符合题意． 综上所述，或， 故答案为：3或． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2． （1）求抛物线的解析式； （2）是线段上的一个动点（与，不重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求面积的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． （4）若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使的值最小？最小值为______． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为，，或 （4）存在， 【解析】 【分析】（1）根据，在抛物线上，得到关于，的二元一次方程组，求解即可； （2）先求出点的坐标和直线的解析式，设点，则，根据，得，最后利用二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意，分两种情况讨论，设，当平行四边形以为边时，可得，，即轴，则点和的纵坐标相等，代入可求，则，即，求解即可；当平行四边形以为对角线时，易得点和的纵坐标的绝对值相等，代入可求或，再根据中点坐标公式，即可求解； （4）连接，，作点关于轴的对称点，连接，分别求出点、和的坐标，根据对称的性质，可得，，从而，进而可得当、、、四点共线时， 最小值为的长，最后根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，，即， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， ， ， 当时，取得最大值，为， 则面积的最大值是； 【小问3详解】 解：存在，的坐标为，，或； 设点， 如图，当平行四边形以为边时， 以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形， ，，即轴， 点在抛物线上，， 当时，，解得或（舍去）， ， ， ， ，解得或， 则或； 如图，当平行四边形以为对角线时， 平行四边形以为对角线， 点和到的距离相等，即点和的纵坐标的绝对值相等， 的纵坐标为3， 当时，，解得或， 即或 平行四边形的对角线互相平分，即和的中点的横坐标相等， 当时，，解得， 当时，，解得， 或； 综上所述：在轴上存在点，坐标为，，或时，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形； 【小问4详解】 解：存在，最小值为， 连接，，作点关于轴的对称点，连接， 直线为抛物线的对称轴， 对称轴， 抛物线与轴交于点， 当时，，即， ， 点和关于对称轴对称， ， 直线的解析式为， 当时，，即 点和点关于轴对称， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即最小值为的长， ，，， 轴，，， 在中，， 存在点，使的值最小，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期三模测试 九年级数学试卷 一、单选题（共30分） 1. 的倒数为（　　） A. 3 B. C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副直角三角尺（，）按如图所示位置摆放，使点落在边上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图由完全相同的7个小立方体组成的几何体，该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 6. 为助力家校协同育人，某校开展家庭教育指导咨询大集活动．现场需从3名学生志愿者（2名男生，1名女生）里随机抽2人负责家长签到引导工作，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的分式方程无解，则a的值是（ ） A. B. 3或0 C. 或4 D. 4 8. “我爱读书”为主题的演讲比赛后，班主任李老师为奖励表现突出的学生，计划拿出28元购买单价分别为3元和2元的笔记本和中性笔进行奖励（两种奖品都买），则购买方案有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 9. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 二、填空题（共18分） 11. 神舟二十一号载人飞船入轨后，采用自主快速交会对接模式，在发射后约12600秒，成功对接于空间站天和核心舱的前向端口．将12600用科学记数法表示为______． 12. 一个圆锥体的侧面展开图是一个圆心角为，半径为6的扇形，则这个圆锥体的高为_________． 13. 已知∠，以点为圆心，为半径作弧，分别交、于点和点，再分别以点、点为圆心，以大于为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，在射线上取一点，作于点，连接，则的最小值为_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为________ 15. 已知矩形中，，对角线的垂直平分线与的邻补角的平分线交于点N，若，则这个矩形的周长为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍即（）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到三角形，则的坐标为__________． 三、解答题（共72分） 17. （1）计算： （2）因式分解： 18. 解不等式组： 19. 用公式法解方程：． 20. 某校随机抽取部分学生，调查他们平均每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将收集的数据按组“”，B组“”，C组“”，D组“”四组进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是______，本次抽查的平均每天完成家庭作业的时间的中位数落在______组； （2）补全条形统计图：B组所在扇形的圆心角大小是______； （3）该校共有1600名学生，请估计该校平均每天完成作业时间不少于90分钟的学生人数． 21. 如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. A、B两地相距600千米，途中有一个服务区，甲车从A地出发，前往B地，同时乙车从B地出发前往服务区接人，到达服务区停留0.5小时等人，接到人后立即按原路原速返回B地，两车匀速行驶，结果甲车比乙车晚1.5小时到达B地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）甲车行驶速度是______千米/时，乙车行驶速度是______千米/时； （2）求乙车从接到人后返回B地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围） （3）直接写出两车出发多少小时相距30千米？ 23. 如图，在平行四边形中，，，为锐角，且． （1）如图1，求边上的高的长； （2）是边上的一动点，点，同时绕点按逆时针方向旋转得点，， ①如图2，当落在射线上时，求的长； ②当是直角三角形时，则的长为_____．（请直接写出答案） 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2． （1）求抛物线的解析式； （2）是线段上的一个动点（与，不重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求面积的最大值； （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． （4）若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使的值最小？最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $