精品解析：江苏盐城市射阳县实验初级中学2025-2026学年八年级下学期第二阶段测试数学试题

射阳县实验初中2026年春学期八年级数学巩固练习 分值：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，要求二次项系数不为0， ∵选项A中未说明，当时不是一元二次方程，∴A错误； ∵选项B中方程是分式方程，不是整式方程，∴B错误； ∵选项C中方程含有和两个未知数，不是一元方程，∴C错误； ∵选项D中方程，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数为，∴D符合一元二次方程的定义． 2. 甲、乙两位同学进行“汉字拼写”训练，他们5次训练成绩的平均数均为分，方差分别为，，则下列对两位同学成绩的稳定性描述正确的是（ ） A. 甲更稳定 B. 乙更稳定 C. 一样稳定 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的含义，理解方差的大小反映数据的波动情况是解题的关键．方差越大，数据波动越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴甲更稳定， 故选：A ． 3. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ） A. 18cm2 B. C. 27cm2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：底面周长是2×3π=6π， 则圆锥的侧面积是：×6π×6=18π（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 4. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400， ∴∠C＝1800－400＝1400， 故选D. 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补 5. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用含x的代数式表示出长，长与宽的积为面积，由此列方程即可． 【详解】解：设宽为步，则长为步， 根据面积为864平方步，可得． 故选：C． 【点睛】本题考查列一元二次方程，找准等量关系是解题的关键． 6. 如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， 半径互相垂直， ， 所对的圆心角为， 所对的圆周角， 又， ， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 7. 如图，直线，直线m分别交、于点A、B，以A为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线m同侧的点C、D，，，则的长等于（ ） A. 2π B. C. D. 4π 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行性质和等腰三角形的性质得到的度数，再利用弧长公式求出的长． 【详解】解：连接， ∵以A为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线m同侧的点C、D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的新定义，理解题意是解题的关键．根据“和谐”方程和“美好”方程的定义，分别列出关于m和n的方程，联立求解得出m和n的值，进而计算． 【详解】由方程是“和谐”方程，，得， 由方程是“美好”方程，，得 得：，解得， 将代入①得：，解得， ， 故选：D． 二、填空题 9. 一组数据﹣1，3，5，8，10，则这组数据的极差为_____． 【答案】11 【解析】 【分析】根据极差的公式即可求解. 【详解】这组数中最大的数是10，最小的是﹣1， 极差是10﹣（﹣1）＝11， 故答案为11 【点睛】本题考查了极差的概念，极差=最大值-最小值. 10. 的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在外 【解析】 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 11. 期末数学总成绩是将平时、期中和期末的成绩按3:3:4计算，若小红平时、期中和期末成绩分别是90分,80分,100分,则小红期末数学总成绩是______________． 【答案】91分 【解析】 【分析】利用加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：根据题意得：小红一学期的数学期末总评成绩是 =91（分）， 故答案为：91分． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 12. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键． 13. 如图，边长为2的正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率的计算方法，以及扇形面积和正方形面积的计算方法是解题的关键． 将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率． 【详解】解：设正方形的边长为，则4个扇形的半径为， ∴米粒落在图中阴影部分的概率为：， 故答案为：． 14. 圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为___m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设该门洞的半径的半径为，过点作于点，延长交圆于点，连接，则，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设该门洞的半径的半径为，如图，过点圆心作于点，延长交圆于点，连接， 则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即该门洞的半径为， 故答案为：． 15. 是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据圆周角定理及30度角的性质得，，以A为圆心长为半径画弧可得点D，再连接即可，再利用圆周角定理、圆弧、弧所对的弦的关系，进而得出，进而得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 以A为圆心长为半径画弧可得点D，再连接即可， ∵， ∴， ∴， ∴； 同理可得：； 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，是的中点，点在内部且满足．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点D作垂直于的延长线于点F，可得A、E、D、C四点共圆，从而求出，在中即可求出． 【详解】解：连接，过点D作垂直于的延长线于点F，如图所示， ∵，，是的中点， ∴，， ∴A、E、D、C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴ 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，圆的性质，能够得出A、E、D、C四点共圆是关键． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用配方法解一元二次方程即可； （）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴，； 【小问2详解】 解： 或， ∴，． 18. 先化简，再求值：（），其中a满足a2+a﹣1＝0． 【答案】，﹣1 【解析】 【分析】原式括号中先通分化简，同时把除法转化为乘法，再约分即可得到最简结果，然后把已知等式变形成a﹣1＝﹣a2后整体代入计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝• ＝； ∵a2+a﹣1＝0，即a﹣1＝﹣a2， ∴原式＝＝﹣1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则、灵活应用整体的思想是解题的关键． 19. 在桌上有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有“”和“”，B盒里有三张卡片，分别标有“”“”和“”．这些卡片除数字外其他都相同． （1）在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“”的概率是______． （2）在A盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作一个点的横坐标，在B盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作这个点的纵坐标，求这个点在第一象限的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中抽到“”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这个点在第一象限的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中抽到“”的结果有1种， 在盒中任意抽出一张卡片，抽到“”的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中这个点在第一象限的结果有：，，共2种， 这个点在第一象限的概率为． 20. 某校九年级组织某次数学测试中，有一道满分为10分的数学小作文题，其评分标准分为A、B、C、D、E五个等级，分别对应得分1分、3分、5分、8分、10分． 为了解九年级学生数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以20人为一组进行了随机分组，并从中随机抽取了3个小组学生的答卷进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 （1）请补全第1小组得分条形统计图； 【分析与估计】 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 第1小组 7.5 a 8 第2小组 b 1 3 第3小组 5.9 5 c （2）由上表填空：________，________，________； （3）若该校九年级有600名学生，请你估计该校九年级学生在测试中得分为10分的人数； 【评价与建议】 （4）结合你的分析，请给第2小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议． 【答案】（1）解：如图， （2） （3）110人 （4）加强对知识的学习和巩固（合理即可） 【解析】 【分析】（1）小组人数人减去其他等级的人数即可； （2）根据平均数、众数和中位数的定义计算即可； （3）利用样本估计总体计算即可； （4）第2小组的学生得1分和3分的占，因此要加强对知识的学习和巩固（合理即可）． 【小问1详解】 解：第一小组等级D的人数为（人）， 条形统计图略； 【小问2详解】 解：第1小组得分出现次数最多的是分，共出现8次，因此众数为， 第2小组得分的平均数为， 由第3小组得分折线统计图可知第3小组得分的中位数为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级学生在测试中得分为分的人数为人； 【小问4详解】 略． 21. 如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． （1）连接、，则______． （2）若，，求的半径． （3）在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【小问1详解】 解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． 【小问2详解】 解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． 【小问3详解】 解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 22. 某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价为每件110元时，可售出20件，而每件定价每降低1元，销售量就增加2件． （1）当童装销售定价为每件100元时，销售量为________件； （2）直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为________； （3）为了尽可能地让利于顾客，该童装销售定价为每件多少元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元？ 【答案】（1）40 （2） （3）每件元 【解析】 【分析】（1）根据当童装的销售定价为每件元时，可售出件，而每件定价每降低元，销售量就增加件，列出算式，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式，即可求解； （3）根据利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：（件） 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意， 故答案为：． 【小问3详解】 解：设童装的销售定价为每件元时，商场销售该品牌童装可盈利元，则， 解得：， 由于要尽可能让利于顾客，故取童装的销售定价为每件元． 答：童装的销售定价为每件元时，商场销售该品牌童装可盈利元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键． 23. 如图，点D为上一点，点C在直径的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为1，，则图中阴影部分的面积； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，扇形面积公式，切线的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能准确添加辅助线是解决此题的关键． （1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质，得出，即即可得出结论； （2）利用切线的性质和圆周角定理得出，，求得的长，再根据阴影部分的面积，代入数据计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ，即， ， ， 又， ，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵的半径为1， ， ∵是的切线，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 24. 解决以下问题 （1）如图1，等腰内接于，，，连接并延长交于点D，交于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； （2）如图2，是的外接圆，，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得平分； （3）如图3，在5×5的网格中，的三个顶点都在格点上，圆是的外接圆，只用无刻度的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得． 【答案】（1）正六边形为 （2）点即为所求 （3）点即为所求， 【解析】 【分析】(1) 由已知条件可证为等边三角形，利用等边三角形外心的性质，结合对顶角相等，将圆周三等分后再将每段弧二等分，得到六段相等的弧，对应弦长构成正六边形； (2) 利用等腰三角形外接圆的性质，所在直线为的垂直平分线，延长交圆于点，则为的中点，再利用等弧所对圆周角相等，可得平分； (3) 利用网格构造全等三角形，通过对应角相等得到圆周角相等，进而得到所对弧相等，确定点的位置． 【小问1详解】 解：，， 为等边三角形， ， 的延长线交于点， 为的直径， ， ， 分别连接、并延长，交于点、， 、、三点共线， ， ， 、、三点共线， ， ， 圆上相邻两点间的圆心角均为， 弦， 顺次连接点、、、、、，所得六边形即为正六边形． 【小问2详解】 解：连接并延长，交于点，点即为所求。 ， 点在的垂直平分线上， 为外接圆的圆心， 点在的垂直平分线上， 直线为的垂直平分线， 直线平分， 点为的中点， ， ， 平分． 【小问3详解】 解：在点上方个单位处取格点，在点右侧个单位处取格点，连接交于点（不与重合），点即为所求。 ，，， ，，， ，，， ， ， 点在直线上， ， ， ． 25. 我们给出定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）关于x的方程的衍生点，则________， ________． （2）若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论n为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】(1) 由衍生点的定义可知，方程的两根为和，利用根与系数的关系建立关于、的方程即可求解． (2) 先因式分解求出方程的两根为和，根据分类讨论确定衍生点的坐标，再利用垂线与坐标轴围成正方形意味着横、纵坐标的绝对值相等，建立关于的方程求解． (3) 设衍生点，将其代入直线解析式，整理为关于的恒等式，利用对任意恒成立的充要条件确定、的值，再用根与系数的关系求、． 【小问1详解】 解：由衍生点的定义可知，方程的两根为，， 由根与系数的关系得：， ． 【小问2详解】 解：方程可因式分解为， 方程的两根为和． 当，即时，，， ， 过点向轴、轴作垂线，与坐标轴围成正方形， ， ， ， 解得：， 当，即时，，， ， 围成正方形， ， 或 ， ， （舍去）或， ， 综上所述， 或 ． 【小问3详解】 解：假设存在满足条件的、， 设方程的两根为，则衍生点， 点在直线上， ， 整理得：， 上式对任意恒成立， 且， 解得：，， 方程的两根为和， 由根与系数的关系得：，， 存在，满足题意． 26. 已知关于的一元二次方程()． （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两根为、，且、都为整数，，求整数的值； （3）在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，，，以为直径作，与轴交于、．点在平面内运动， ①若点在上，求的值； ②若为锐角三角形，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）证明： ， ， ， 方程一定有两个实数根． （2） （3）①；② 【解析】 【分析】(1) 计算判别式并配方，证明即可． (2) 对方程左边因式分解，求出两根分别为和，结合及两根均为整数的条件确定的取值． (3) 由(2)得、，从而确定圆心和半径． ①根据两点距离公式构造方程，关于的一元二次方程，求解即可． ②为锐角三角形需三个角均为锐角，可知点P在外，先求P点在临界状态时a的范围，再根据二次函数图象性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对方程左边因式分解得： ， 或， ，且、为整数， 一根为，另一根为， 恒成立， 只需且为整数， 由得：， ， 为整数， 的值可以为 又为整数， （此时）， 整数 【小问3详解】 解：由(2)知，， ，， ， 以为直径作， 圆心为的中点，，半径， ①点在上， ， 展开得：， 解得：或． ②为锐角三角形， 、、均为锐角， 作于点，则， 为锐角时，点在点右侧， ， 为锐角时，点在点左侧， ， 为的直径， 点在上时，， 由圆的性质知，点在内时，；点在外时，， 为锐角时，点在外， ， ， 当时， 解得：或， 当时，， 根据二次函数图象与直线的关系，可知 或， 综上所述，或． 27. 【概念认识】 自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图1，是点P对线段的视角． 【问题探究】 如图2，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段的视角最大． 【数学思考】 （1）请说明图2中，； 【问题解决】 （2）在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的坐标是________． 【实际应用】 如图3，矩形是足球场的示意图，分别以直线、直线为x轴和y轴建立如图所示平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为，，摄像机P在上移动拍摄． （3）请求出当摄像机P对球门的视角最大时点P的坐标．（用含a，b的代数式表示） （4）在足球比赛中，足球对球门的视角越大，越容易被踢进，如图4，已知球门米，一名球员从点M处带球，沿方向跑动，，米，米． ①这名球员从点M处继续跑多远可到达对球门视角最大的射门位置？ ②为了给观众呈现更好的现场画面，另安排了无人机拍摄，某架无人机Q在移动拍摄过程中始终保持对的视角为（无人机离地面的高度忽略不计），已知足球场宽米，若摄像机P位于对的视角最大的位置，在Q点移动的过程中，P、Q水平距离最近时相距________ 【答案】（1）解：设与小圆交于点C，连接，如图， 则， ∵， ∴； （2） （3）当摄像机P对球门的视角最大时点P的坐标为 （4）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理和三角形的外角的性质解答即可； （2）设，由【数学思考】可知当取最大值时，过M、N、P的圆与x轴相切且切点为点，设圆心，根据圆心在弦的垂直平分线上可知，得到，则圆心可表示为，根据切线的性质可知半径，根据勾股定理求出，结合【数学思考】判断即可； （3）设经过A，B两点的圆与相切于点P，则此时摄像机P对球门的视角最大，连接，过点G作于点D，理由点的坐标的特征和垂径定理求得线段，利用勾股定理求得，再利用矩形的判定与性质和点的坐标的特征解答即可得出结论； （4）①由（1）中的【数学思考】可知：当圆与直线l相切且点P为切点时，视角最大，设经过A，B两点的圆与相切于点P，则此时这名球员继续跑到达点P处对球门视角最大，连接，过点O作于点E，利用（2）的方法求得，则求得的值即可； ②由题意画出图形，则作经过A，B的圆，连接，使，得到点Q在圆G中以为弦的优弧上运动，利用（2）的方法求得，再利用摄像机P位于对的视角最大的位置，求得，最后利用勾股定理求得，根据当点G，Q，P三点在一条直线上时，P、Q水平距离最近，计算即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 已知，，在轴上，设， 由【数学思考】可知当取最大值时，过M、N、P的圆与x轴相切且切点为点， ∴设圆心， ∵圆心在的垂直平分线， ∴， 整理得， 即圆心可表示为， ∵圆与轴相切， ∴半径， ∵圆心到距离等于半径， ∴， 整理得， 解得． 当时，， 当时，， 由【数学思考】可知越大圆越小，即半径越小， ∴， ∴的坐标为； 【小问3详解】 解：由（1）中的【数学思考】可知：当圆与直线l相切且点P为切点时，视角最大， 设经过A，B两点的圆与相切于点P，则此时摄像机P对球门的视角最大， 连接，过点G作于点D，如图， 则． ∵与相切于点P， ∴， ∵A，B两点的坐标分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∴当摄像机P对球门的视角最大时点P的坐标为； 【小问4详解】 解：①由（1）中的【数学思考】可知：当圆与直线l相切且点P为切点时，视角最大， 设经过A，B两点的圆与相切于点P，则此时这名球员继续跑到达点P处对球门视角最大，连接，过点O作于点E，如图， 则． ∵与相切于点P， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这名球员继续跑可到达对球门视角最大的射门位置． ②作经过A，B的圆，连接，使，如图， ∵无人机Q在移动拍摄过程中始终保持对的视角为， ∴点Q在圆G中以为弦的优弧上运动， 过点G作于点H，过点G作于点F，则， 由题意：F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵摄像机P位于对的视角最大的位置， ∴点P位于经过M，N的圆且与相切的切点， 作的垂直平分线，交于点K，交于点P，则P位于对的视角最大的位置， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由图可知当点G，Q，P三点在一条直线上时，P、Q水平距离最近，最近距离为， ∵，， ∴P、Q水平距离最近时相距． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射阳县实验初中2026年春学期八年级数学巩固练习 分值：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙两位同学进行“汉字拼写”训练，他们5次训练成绩的平均数均为分，方差分别为，，则下列对两位同学成绩的稳定性描述正确的是（ ） A. 甲更稳定 B. 乙更稳定 C. 一样稳定 D. 无法确定 3. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ） A. 18cm2 B. C. 27cm2 D. 4. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，直线m分别交、于点A、B，以A为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线m同侧的点C、D，，，则的长等于（ ） A. 2π B. C. D. 4π 8. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程则值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 0 二、填空题 9. 一组数据﹣1，3，5，8，10，则这组数据的极差为_____． 10. 的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 11. 期末数学总成绩是将平时、期中和期末的成绩按3:3:4计算，若小红平时、期中和期末成绩分别是90分,80分,100分,则小红期末数学总成绩是______________． 12. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___． 13. 如图，边长为2的正方形中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为_________． 14. 圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为___m． 15. 是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，则的度数为________． 16. 如图，在中，，，是的中点，点在内部且满足．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：（），其中a满足a2+a﹣1＝0． 19. 在桌上有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有“”和“”，B盒里有三张卡片，分别标有“”“”和“”．这些卡片除数字外其他都相同． （1）在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“”的概率是______． （2）在A盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作一个点的横坐标，在B盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作这个点的纵坐标，求这个点在第一象限的概率． 20. 某校九年级组织某次数学测试中，有一道满分为10分的数学小作文题，其评分标准分为A、B、C、D、E五个等级，分别对应得分1分、3分、5分、8分、10分． 为了解九年级学生数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以20人为一组进行了随机分组，并从中随机抽取了3个小组学生的答卷进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 （1）请补全第1小组得分条形统计图； 【分析与估计】 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 第1小组 7.5 a 8 第2小组 b 1 3 第3小组 5.9 5 c （2）由上表填空：________，________，________； （3）若该校九年级有600名学生，请你估计该校九年级学生在测试中得分为10分的人数； 【评价与建议】 （4）结合你的分析，请给第2小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议． 21. 如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． （1）连接、，则______． （2）若，，求的半径． （3）在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 22. 某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价为每件110元时，可售出20件，而每件定价每降低1元，销售量就增加2件． （1）当童装销售定价为每件100元时，销售量为________件； （2）直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为________； （3）为了尽可能地让利于顾客，该童装销售定价为每件多少元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元？ 23. 如图，点D为上一点，点C在直径的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为1，，则图中阴影部分的面积； 24. 解决以下问题 （1）如图1，等腰内接于，，，连接并延长交于点D，交于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； （2）如图2，是的外接圆，，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得平分； （3）如图3，在5×5的网格中，的三个顶点都在格点上，圆是的外接圆，只用无刻度的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得． 25. 我们给出定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）关于x的方程的衍生点，则________， ________． （2）若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论n为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由． 26. 已知关于的一元二次方程()． （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两根为、，且、都为整数，，求整数的值； （3）在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，，，以为直径作，与轴交于、．点在平面内运动， ①若点在上，求的值； ②若为锐角三角形，请直接写出的取值范围． 27. 【概念认识】 自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图1，是点P对线段的视角． 【问题探究】 如图2，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段的视角最大． 【数学思考】 （1）请说明图2中，； 【问题解决】 （2）在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的坐标是________． 【实际应用】 如图3，矩形是足球场的示意图，分别以直线、直线为x轴和y轴建立如图所示平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为，，摄像机P在上移动拍摄． （3）请求出当摄像机P对球门的视角最大时点P的坐标．（用含a，b的代数式表示） （4）在足球比赛中，足球对球门的视角越大，越容易被踢进，如图4，已知球门米，一名球员从点M处带球，沿方向跑动，，米，米． ①这名球员从点M处继续跑多远可到达对球门视角最大的射门位置？ ②为了给观众呈现更好的现场画面，另安排了无人机拍摄，某架无人机Q在移动拍摄过程中始终保持对的视角为（无人机离地面的高度忽略不计），已知足球场宽米，若摄像机P位于对的视角最大的位置，在Q点移动的过程中，P、Q水平距离最近时相距________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $