精品解析：江苏省盐城市射阳实验初级中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

射阳县实验初中2025年春学期八年级数学巩固练习 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、，方程化简后二次项系数为0，不是一元二次方程，故此选项错误； D、，未知数最高次数是1次，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：B． 2. 已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且，则点P与圆O的关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆外 C. 点P在圆上 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意：，进行判断即可． 【详解】解：设圆的半径为：，由题意，得：， ∴点P与圆O的关系是：点P在圆内． 故选A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握利用点到圆心的距离与半径的大小关系，来判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 4. 是关于x的一元二次方程的解，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 把代入方程中得到，再把整体代入所求式子中进行计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴，即：， ∴． 故选D． 5. 下列说法中，正确是（　　） A. 在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B. 优弧一定比劣弧长； C. 弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D. 在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误． B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中； D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D． 6. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的外角性质，连接，由圆周角定理得，，再根据直角三角形的性质得，最后由三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用猴子总数两队猴子数之和，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】这群猴子的总数是只， 一队猴子数是只． 根据题意得：． 故选：D． 8. 如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ） A. 68° B. 88° C. 90° D. 112° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：本题考查了等腰三角形性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．如图，∵AB=AC=AD， ∴点B、C、D在以点A为圆心， 以AB的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC， ∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC， ∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°， ∴∠CAD=88°， 考点：圆周角定理 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 10. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点， ∵为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长约为， ∴， ∴， ∴该正六边形的外接圆半径长为， 故答案为：20． 11. 若，是方程两根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根根与系数的关系，分式的化简求值，根据题意得，，同时将转化为，可得结论．解题的关键是掌握若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵，是方程两根， ∴，， ∴， 即的值为． 故答案为：． 12. 如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为__________ 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 设半径为，根据切线长定理得到，，，在中，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 【详解】解：设半径为， ∵在中，，是的内切圆， ∴在四边形中，， 四边形为矩形． 又∵， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理知：，， ，， 在中，， ． 整理，得：， 解得，负值舍去， ，． ∴． 故答案为：30． 13. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：扇形的弧长==2πr， ∴圆锥的底面半径为r=2． 故答案为2． 14. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 且 ， 即且 ， ∴且． 故答案为：且 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程有两个相等实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键． 15. 圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆周角等于_______. 【答案】45°或135° 【解析】 【详解】试题分析：如图弦AB把圆分成度数的比为1：3的两条弧，∴∠AOB=360÷（1+3）=90°，∠P=45°，∴∠P’=180°-∠P=135°，故答案为45°或135°； 考点：1．圆周角定理；2．圆内接四边形的性质． 16. 如图，AB为半径为8的的弦，弧沿弦折叠经过圆心O，点D为弧上一动点，连接交于点C，点P为的中点，则最小值为 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，作交于点G．连接，．首先证明是等边三角形，再证明点在以为直径的圆上运动．得出当、、在同一直线时，长度最小，再求解可得结论． 【详解】解：连接，，，作交于点G．连接，． 由题知：沿着弦折叠，正好经过圆心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 是中点， ， 又， 是中点， 即是斜边中线， ， 即点在以为直径的圆上运动． 所以，当、、在同一直线时，长度最小， 此时，，， 的半径是8，即，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． 三．解答题（共11题，共102分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，先根据算术平方根、立方根、绝对值、负整数指数幂的性质计算各式，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）移项后，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则， ∴或， 解得，． 19. 先化简，再求值：，其中x满足 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，因式分解法求出一元二次方程的解，代入一个使分式有意义的值，计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴当时，原式． 20. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【答案】（1）见解析 （2）此残片所在圆的半径为10． 【解析】 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【小问1详解】 解：如图，点O为所求圆心． 【小问2详解】 解：连接， 设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为10． 21. 如图，在中，已知弦相交于点，连接． （1）求证：． （2）若，的半径为4，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算得到答案． 【小问1详解】 证明： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，， ，， ， ， ， ∵的半径为， 的长为． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若的两邻边的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】（1）见解析 （2），菱形的边长为． 【解析】 【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到结论； （2）利用菱形的性质得到，即，求出m的值，再解得到的一元二次方程即可得出菱形的边长． 此题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，以及菱形的性质等知识，得出m的值是解题关键． 【小问1详解】 解：对于x的一元二次方程， ∵， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴，即关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴原方程变为为， ∴， ∴菱形的边长为． 23. 已知：如图，中，，以为直径的⊙O交于点P，于点D． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到和，则，于是可判断，由于，所以，然后根据切线的判定定理可得到是⊙O的切线； （2）由为直径得，根据等腰三角形的性质得，所以，在中，根据含30度的直角三角形的性质得，根据勾股定理得，所以． 【小问1详解】 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是⊙O的切线 【小问2详解】 连接，如图 ∵为直径 ∴ ∴ ∵ ∴在中，， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定，含30度的直角三角形性质，勾股定理等，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 24. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点C，以为对角线作正方形，以为直径画弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，弧长计算，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接， ∵， ∴， 由反比例函数的对称性可得， ∴点O即为正方形的中心， ∴， ∴，且是的直径， ， ，，， ， ∴， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积 ， 图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积 ． 25. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 26. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是，； 第2个方程：，方程的两个根分别是，； 第3个方程：；方程的两个根分别是，； 第4个方程：；方程的两个根分别是，； …… （1）请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ． （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”． （3）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 【答案】（1） （2）是“邻根方程” （3）3或5或或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的新定义题型，勾股定理，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，同时解题时注意分类讨论思想的应用． （1）根据题意观察可知，一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比，即可写出对应的方程； （2）根据一元二次方程的解法求出已知方程的两根，在计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （3）先利用因式分解法求出一元二次方程对应的两根，由于两根的大小未知，所以应注意分两种情况求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：方程的一次项系数为：，常数项为：， ∴，， 所以，对应的一元二次方程为：． 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵ ∴是“邻根方程”． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∵关于x 的方程（m是常数）是“邻根方程”， ∴或， ∴解得：或， ①当时，方程的两个根为和， ∵方程两根为直角三角形的两条边， 若4和3为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：； 若3为直角边长，4为斜边长时，则此三角形的第三边长为：； ②当时，方程的两个根为和， ∵方程两根为直角三角形的两条边， 若4和5为两条直角边长时，则此三角形的第三边长为：； 若4为直角边长，5为斜边长时，则此三角形的第三边长为：； 综上所述：此三角形的第三边长为3或5或或． 27. 概念认识： 平面内，M为图形T上任意一点，N为上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到的“最近距离”，记作．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以为对角线作正方形，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到的“最近距离”． 数学理解： （1）在平面内有A、B两点，以点A为圆心，4为半径作，将点B记为图形T，若，则　　 ． （2）在平面直角坐标系中，P的坐标为，⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为，将记为图形T，若，则　　． （3）如图2，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为作圆． ①将点记为图形T，则　　 ． ②将一次函数的图记为图形T，若，求k的取值范围． 【答案】（1）2或6 （2）或9 （3）①；②且 【解析】 【分析】（1）根据“最近距离”的定义，分点B在圆内和圆外两种情况讨论，利用圆的半径与的关系求解； （2）先确定的特征，找到图形T到的“最近距离”的位置，再根据距离公式求解t； （3）①先求出的长度，再根据“最近距离”的定义，用减去圆的半径得到；②以为圆心，为半径作圆，交于点A，交y轴于点B，连接，令交x轴于点C，先求出直线与坐标轴的交点，通过数形结合 ，当直线与圆相切时，利用三角函数，直线解析式，求出k的值，再根据确定k的取值范围． 【小问1详解】 解：当点B在内时，根据“最近距离”的定义，； 当点B在外时，根据“最近距离”的定义，； 故答案为：2或6； 【小问2详解】 分情况讨论： 当时， ， ，即，解得; 当时， ， 关于x轴对称，且，是等腰直角三角形， 图形T到的“最近距离”是与或的距离或是点到的距离， ①若与或的距离为，如图， 则， 而圆心P到距离为， 与相交，此时与矛盾，此情况不符合题意； ②若图形T到的“最近距离”是点到的距离， 半径为2，，时，， ，但此时到的距离为，即，矛盾，此情况不符合题意； 当时， 如图，半径为2，， 时，， 综上所述，或9； 故答案为：或9； 【小问3详解】 ① 点 ， 半径为， ， ② 当时， 直线与相切， 如图，以为圆心，为半径作圆，交于点A，交y轴于点B，连接， 是直径， ， 是的切线， 在中，， ， ， 令交x轴于点C，在中， 分情况讨论： 当点C在x轴正半轴时，则点C的坐标为，如图， 将点代入得，， 解得， 一次函数的图像记为图形T，， 当点C在x轴负半轴时，则点C的坐标为，如图， 将点代入得，， 解得， 一次函数的图像记为图形T，， ， 综上所述，且． 【点睛】本题主要考查了新定义“最近距离”的理解与应用，涉及圆的性质、点到直线距离公式、两点间距离公式等知识点。通过对不同情况的分析和公式的运用来求解问题，关键是准确理解“最近距离”的概念并结合图形进行分析。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射阳县实验初中2025年春学期八年级数学巩固练习 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且，则点P与圆O的关系是（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆外 C. 点P在圆上 D. 无法确定 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 是关于x的一元二次方程的解，则的值等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 下列说法中，正确的是（　　） A. 在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B. 优弧一定比劣弧长； C. 弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D. 在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 6. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ） A. 68° B. 88° C. 90° D. 112° 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 一元二次方程的根是______． 10. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为__________． 11. 若，是方程两根，则的值为________． 12. 如图，在中，，是内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为__________ 13. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 14. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_________． 15. 圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆周角等于_______. 16. 如图，AB为半径为8的的弦，弧沿弦折叠经过圆心O，点D为弧上一动点，连接交于点C，点P为的中点，则最小值为 ________________ ． 三．解答题（共11题，共102分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中x满足 20. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：，．求（1）中所作圆的半径． 21. 如图，在中，已知弦相交于点，连接． （1）求证：． （2）若，的半径为4，求的长． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若的两邻边的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，是菱形？求出此时菱形的边长． 23. 已知：如图，中，，以为直径的⊙O交于点P，于点D． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求的值． 24. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点C，以为对角线作正方形，以为直径画弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求出阴影部分的面积． 25. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 26 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是，； 第2个方程：，方程的两个根分别是，； 第3个方程：；方程的两个根分别是，； 第4个方程：；方程的两个根分别是，； …… （1）请按照此规律写出两个根分别是，一元二次方程 ． （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”． （3）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 27. 概念认识： 平面内，M为图形T上任意一点，N为上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到的“最近距离”，记作．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以为对角线作正方形，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到的“最近距离”． 数学理解： （1）在平面内有A、B两点，以点A为圆心，4为半径作，将点B记为图形T，若，则　　 ． （2）在平面直角坐标系中，P的坐标为，⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为，将记为图形T，若，则　　． （3）如图2，在平面直角坐标系中，以圆心，半径为作圆． ①将点记为图形T，则　　 ． ②将一次函数的图记为图形T，若，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $