精品解析：2026年江苏省镇江市京口区中考二模考试数学试题

2026年初中结业学科学业水平测试模拟评价Ⅱ九年级数学试卷 本试卷共7页，共26题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 5. 把图中的纸片分别沿虚线折叠成一个几何体，则这个几何体的名称是（ ） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 6. 如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 镇江焦山景区有甲、乙两艘轮渡，出发前两艘轮渡油箱里都有柴油，油箱剩余油量（单位：）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲轮渡每百公里平均耗油量比乙轮渡每百公里平均耗油量少，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 9. 如图，在中，，，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的名同学从到编号，并按编号从小到大的顺序站成一排．第一轮报数、、、，报到非的倍数的退下，的倍数的留下；留下的同学从编号小的开始继续报数、、、，同样报到非的倍数的退下，的倍数的留下，如此继续多轮后，当留下的同学少于人时停止报数．则最后留下的同学中，编号较小的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 27的立方根为_____． 12. 如图，将一枚飞镖投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在盘内各点的机会均等，则飞镖落在阴影区域内的概率为________． 13. 已知则的值为_________________． 14. 如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 15. 中，，，，在解这个三角形时，若未知元素有且只有一个解，则的取值范围是________． 16. 如图，在矩形中，，，点为的中点．将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，，则________． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 20. 【项目背景】无核柑橘是某地区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径作为样本数据．柑橘的直径用（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： （1）图中的值为 ． （2）【数据分析与运用】下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）． ①两园样本数据的众数均在组； ②两园样本数据的中位数均在组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等； ④若五组数据的平均数分别取为，，，，，则两园样本数据的平均数相等． （3）结合市场情况，将两组的柑橘认定为一级，组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 21. 小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． （1）小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率是________； （2）若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 22. 著名数学家华罗庚曾经用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： （1）【结论探究】从“数”的角度证明：； （2）【结论应用】若中，，．的两个顶点A、B（在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． 尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； 请用探究的结论证明所作的周长最小． 23. 如图是镇江某景区便民观光车的侧面示意图，折线段表示观光车的活动遮阳挡板，已知，，，观光车车身固定高度．如图，翻开遮阳挡板供游客通行，挡板绕点旋转至处，此时与水平面夹角． （1）求翻开遮阳挡板后，挡板最高点到水平地面的距离； （2）若游客身高为，从翻开的遮阳挡板端点正下方经过，是否有碰头的危险？请通过计算说明理由．（参考数据：，，，结果精确到） 24. 如图，内接于⊙，是直径，的平分线交于点，交⊙于点，连接，作，交的延长线于点． （1）试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； （2）若，，求⊙的半径和的长． 25. 【概念阅读】 在平面直角坐标系中，对于任意两点和（，），以线段为对角线作各边平行于坐标轴的矩形，我们称这个矩形为点，的“关联矩形”，记为．显然，的周长． （1）【初步理解】已知点，． ①点，的“关联矩形”的周长为 ； ②若点满足的周长为，求的值． （2）【深入探究】已知直线：，点是直线在第一象限内的一个动点，为坐标原点．求证：的周长是一个定值，并求出该定值； （3）已知点，点在点的右上方（即且），且的周长始终保持为，求动点运动轨迹的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （4）【拓展与延伸】已知抛物线的顶点为，点是该抛物线上的一点．若的周长为，求点的坐标． 26. 如图，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． （1）求的值及直线的表达式； （2）如图，将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方的抛物线上的一动点，点关于直线的对应点为点，连接交于点．在点的运动过程中，求线段长度的最大值； （3）若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有两个动点，，（点在点的左侧），、两点之间的图象（含，两点）的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中结业学科学业水平测试模拟评价Ⅱ九年级数学试卷 本试卷共7页，共26题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色水笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷、答题卷上相应位置． 2．考生必须在试题答题卷上各题指定区域内作答，在本试卷上和其他位置作答一律无效． 3．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：2026的相反数是． 2. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根有意义的条件，即被开方数大于等于零．根据平方根在实数范围内有意义的条件，被开方数必须非负，得出，然后解不等式即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 观察各选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，A运算错误； B、，B运算正确； C、，C运算错误； D、与不是同类项，不能合并， D运算错误． 4. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小．据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查较小数的科学记数法表示，表示小于1的正数时，科学记数法的一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数，按规则改写即可得到结果． 【详解】解：已知一粒粟的重量为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为克． 5. 把图中的纸片分别沿虚线折叠成一个几何体，则这个几何体的名称是（ ） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图，根据展开图得到几何体是解题的关键． 根据展开图得到几何体即可． 【详解】解：根据展开图可知，该几何体为三棱柱， 故选：C． 6. 如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同弧所对圆周角和圆心角的关系即可求出的度数，再根据为等腰三角形即可求出的度数． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵对应优弧， ∴． ∵为等腰三角形，， ∴． 故选：A． 7. 镇江焦山景区有甲、乙两艘轮渡，出发前两艘轮渡油箱里都有柴油，油箱剩余油量（单位：）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲轮渡每百公里平均耗油量比乙轮渡每百公里平均耗油量少，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的应用，关键是从图象获取甲、乙两船行驶百公里时的耗油量，根据耗油量差列方程． 【详解】解：由图象知，出发前两船油箱都有600L油， 当行驶路程为百公里时，两船剩余油量分别为360L和300L， 甲轮渡每百公里平均耗油量比乙轮渡少，  甲轮渡剩余油量较多，即甲剩余360L，乙剩余300L，  行驶百公里，甲耗油，乙耗油，  甲每百公里耗油，乙每百公里耗油， 由题意得：． 8. 一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再确定最大值对应x的取值，代入计算即可得到b的值． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，函数的最大值为， ∴当时，取得最大值， 将代入函数得 ， 整理得， 解得． 9. 如图，在中，，，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理与外角的性质可计算得，利用扇形弧长公式进行计算即可． 【详解】解：在中，是斜边的中线， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 的长为． 10. 为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的名同学从到编号，并按编号从小到大的顺序站成一排．第一轮报数、、、，报到非的倍数的退下，的倍数的留下；留下的同学从编号小的开始继续报数、、、，同样报到非的倍数的退下，的倍数的留下，如此继续多轮后，当留下的同学少于人时停止报数．则最后留下的同学中，编号较小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据操作规则可总结出每轮过后留下的编号都是的倍数，按要求计算每轮后剩余人数，直到人数少于4，即可得到最后留下的最小编号． 【详解】解：由题意得第一轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第二轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第三轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第四轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，停止报数； 最后留下同学中，编号较小的是． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 12. 如图，将一枚飞镖投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在盘内各点的机会均等，则飞镖落在阴影区域内的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形边长为，分别表示出正方形面积和阴影部分的面积，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 则飞镖落在阴影区域内的概率为． 13. 已知则的值为_________________． 【答案】-18 【解析】 【分析】先对原式提取公因式，然后利用完全平方公式化简，最后整体代入即可求出答案． 【详解】 ∵， ∴原式= ， 故答案为：-18． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键． 14. 如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】作于E，根据等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或即可求出点C的坐标． 【详解】解：作于E， ． ，，， ，． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ，． ，． ． ，解得． 点A的坐标为． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为， 点C的坐标为，即． 15. 中，，，，在解这个三角形时，若未知元素有且只有一个解，则的取值范围是________． 【答案】 或 【解析】 【分析】先根据已知三角函数值确定的度数，再利用几何法，以点为圆心，为半径作圆，根据圆与射线的交点个数判断三角形解的个数，进而得到的取值范围． 【详解】解：，为三角形内角， ，， 过点作于点， ， ， 如图，以为圆心，为半径作圆，该圆与射线的交点个数对应三角形解的个数： 当时，圆与射线相切，只有个交点，此时三角形只有一个解，符合要求； 当时，圆与射线有个交点，此时三角形有两个解，不符合要求； 当时，圆与射线只有个交点，另一个交点在射线的反向延长线上，不构成三角形，此时三角形只有一个解，符合要求； 综上，的取值范围是或． 16. 如图，在矩形中，，，点为的中点．将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，可得，．过点作于点，延长交于点，构造直角三角形和．设，，利用勾股定理建立关于，的方程组，求出点的位置．再过点作于点，在中，利用正切的定义求解即可 ． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， 由折叠的性质可得，，，， 过点作于点，延长交于点， 则，，四边形为矩形，  ∴，， 设，，则，，， 在中，由勾股定理得， 即，整理得①， 在中，由勾股定理得， 即，整理得②， 由①②可得，即， 将代入②得， 解得（舍去）， ， 即，， 过点作于点， 则四边形矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母，得：， 解得： 经检验，是方程的解， 即原方程的解为． 19. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形为矩形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和矩形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）根据可得，，再根据为的中点可得，进而利用证明即可； （2）根据可得，即可证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质证明，即可证明四边形为矩形． 【小问1详解】 证明：， ，． 为的中点， ， ∴在和中， ， ． 【小问2详解】 解：四边形为矩形．证明如下： ， ． ， 四边形为平行四边形． 四边形是平行四边形， ． ， ． ， ， ， 四边形为矩形． 20. 【项目背景】无核柑橘是某地区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径作为样本数据．柑橘的直径用（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： （1）图中的值为 ． （2）【数据分析与运用】下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）． ①两园样本数据的众数均在组； ②两园样本数据的中位数均在组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等； ④若五组数据的平均数分别取为，，，，，则两园样本数据的平均数相等． （3）结合市场情况，将两组的柑橘认定为一级，组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 【答案】（1） （2）②③ （3）乙园的柑橘品质更优， 理由：甲园样本数据的一级率为， 乙园样本数据的一级率为， 由于乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率，所以乙园的柑橘品质更优． 【解析】 【分析】（1）直接根据总数减去各部分的数据即可得到答案； （2）根据加权平均数、中位数、众数及极差的计算方法求解即可； （3）分别计算甲和乙的一级率，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意，得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由样本数据频数直方图可知，甲园样本数据的众数均在组，乙园样本数据的众数均在组，故①错误； ②， 甲园样本数据的中位数在组， ， 乙园样本数据的中位数在组，故②正确； ③根据样本数据频数直方图无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③正确； ④甲园样本数据的平均数为：， 乙园样本数据的平均数为：， 两园样本数据的平均数不相等； 故答案为：②③； 【小问3详解】 略． 21. 小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． （1）小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率是________； （2）若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 【答案】（1） （2）公平，理由见详解 【解析】 【分析】（1）求出蓝色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率； （2）列举出所有情况，求出指针都落在蓝色区域的概率，再求出自由转动转盘一次，指针落在黄色区域即可得出答案． 【小问1详解】 解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共 4 种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能， ∴P指针落在红色区域； 【小问2详解】 解：列表如下， 第一次 第二次 红色 黄色 蓝色 蓝色 红色 （红，红） （红，黄） （红，蓝） （红，蓝） 黄色 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 共有 16 种可能，指针刚好落在蓝色区域有4种， ∴自由转动转盘两次，P（指针都落在蓝色区域）； ∵自由转动转盘一次，P（指针落在黄色区域）． ∴公平． 22. 著名数学家华罗庚曾经用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： （1）【结论探究】从“数”的角度证明：； （2）【结论应用】若中，，．的两个顶点A、B（在第一象限，在第三象限）都在反比例函数的图象上，经过原点． 尺规作图：请在图中作出一个周长最小的； 请用探究的结论证明所作的周长最小． 【答案】（1）证明：， ， ． （2）解：如图，作直线，交反比例函数图象于A、B两点，过点B作，使，连接，即为所求． 证明：在，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A、B都在反比例函数的图象上， ∴设，则， ∴， 当且仅当，即时，取得最小值， 即A、B均在直线上，所作的周长最小． 【解析】 【分析】（1）运用完全平方公式和非负数的性质即可证明； （2）根据反比例函数的对称性，点A、B关于原点对称，要使周长最小，需最小，由可知，当A点横纵坐标相等时，最小，据此作出点A、B，再根据确定点C的位置； 根据锐角三角函数的定义可得，再利用勾股定理可得，进而推得，设A点坐标，利用的长度公式结合第（1）问结论求出的最小值，进而证明周长最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作第一、三象限的角平分线，交双曲线于A、B两点，然后过点B作的垂线，再以B为圆心，为半径画弧，交垂线于点C，连接，即为所求； 略 23. 如图是镇江某景区便民观光车的侧面示意图，折线段表示观光车的活动遮阳挡板，已知，，，观光车车身固定高度．如图，翻开遮阳挡板供游客通行，挡板绕点旋转至处，此时与水平面夹角． （1）求翻开遮阳挡板后，挡板最高点到水平地面的距离； （2）若游客身高为，从翻开的遮阳挡板端点正下方经过，是否有碰头的危险？请通过计算说明理由．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】（1） （2）解：没有碰头的危险，理由如下： 作于点F，如图，则， 在直角三角形中，∵， ∴， ∵， ∴， 则在直角三角形中， ， ∴， ∴点到水平地面的距离m， ∵， ∴游客身高为，从翻开的遮阳挡板端点正下方经过，没有碰头的危险. 【解析】 【分析】（1）作于点E，如图，解直角三角形，求出即可； （2）作于点F，先求出，再解直角三角形，求出，进而得到的长，然后求出点到水平地面的距离，再与游客的身高比较即可． 【小问1详解】 解：作于点E，如图， 则在直角三角形中，， 即， ∴， ∴挡板最高点到水平地面的距离； 【小问2详解】 解：没有危险，理由略. 24. 如图，内接于⊙，是直径，的平分线交于点，交⊙于点，连接，作，交的延长线于点． （1）试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； （2）若，，求⊙的半径和的长． 【答案】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接， ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴与相切； （2）⊙的半径是， 【解析】 【分析】（1）连接，先根据角平分线的定义得，进而得出，得出，然后根据平行线的性质说明，即可得证； （2）在中，根据勾股定理求出半径；证明，可得，根据勾股定理求出，进而得出，最后根据平行线分线段成比例得出，再代入数值得出答案． 【小问1详解】 略； 小问2详解】 解：在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴的半径是． ∵是的直径， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 25. 【概念阅读】 在平面直角坐标系中，对于任意两点和（，），以线段为对角线作各边平行于坐标轴的矩形，我们称这个矩形为点，的“关联矩形”，记为．显然，的周长． （1）【初步理解】已知点，． ①点，的“关联矩形”的周长为 ； ②若点满足的周长为，求的值． （2）【深入探究】已知直线：，点是直线在第一象限内的一个动点，为坐标原点．求证：的周长是一个定值，并求出该定值； （3）已知点，点在点的右上方（即且），且的周长始终保持为，求动点运动轨迹的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （4）【拓展与延伸】已知抛物线的顶点为，点是该抛物线上的一点．若的周长为，求点的坐标． 【答案】（1）①14；②或 （2）证明：定值为， 由题意可设 ∵点在第一象限， ∴ ∴ ∵为坐标原点， ∴ ， ∴的周长是一个定值，定值为； （3）， （4）或 【解析】 分析】（1）根据公式直接列式计算或列方程求解即可； （2）由题意可设，由点在第一象限，得到不等式组求出的取值范围，再由公式求解即可； （3）根据公式得到，再化简求解即可； （4）先求出顶点，设，则得到，再因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，； ②由题意得，， 或 解得或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得， ∵且 ∴ 整理得， ∴ 解得， ∴； 【小问4详解】 解： ∴顶点， 设 则 ∴或（舍去） ∴或 解得或 ∴点的坐标为或． 26. 如图，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． （1）求的值及直线的表达式； （2）如图，将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方的抛物线上的一动点，点关于直线的对应点为点，连接交于点．在点的运动过程中，求线段长度的最大值； （3）若抛物线与直线在第三象限的图象组成新的图象，图象上有两个动点，，（点在点的左侧），、两点之间的图象（含，两点）的最高点和最低点的纵坐标的差为，直接写出与之间的函数解析式并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】把点代入，可求出a的值，令，可得点，再利用待定系数法解答即可； （2）根据题意可得为等腰直角三角形，过点P作轴于N，交于点M，则，设点P的坐标为，则点M的坐标为，可得，再证明，结合二次函数的性质解答即可； （3）先确定图象W的组成，再根据m和的大小关系和取值范围，分情况讨论M、N之间图象的最高点和最低点，进而得出h与m的函数解析式． 【小问1详解】 解：∵与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得： ， ∴点， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：抛物线的解析式为， ∵点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，过点P作轴于N，交于点M，则， 设点P的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∵点关于直线的对应点为点， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 对于，当时，， 根据题意得：图象W由时的抛物线和第三象限的直线部分组成， ∵点，，（点在点的左侧）， ∴，即， 当时，如图2，点M在直线上，点N在抛物线上M、N两点（含M，N两点）之间的图象的最低点为点，最高点为， ∵， ∴； 当时，如图3，图4，点M在直线上或在抛物线段上，点N在抛物线上，M、N两点（含M，N两点）之间的图象的最低点为抛物线的顶点，最高点为， ∵， ∴； 当时，如图5，点M在抛物线上，点N在抛物线上，M、N两点（含M，N两点）之间的图象的最低点为，最高点为， ∵， ∴； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $