精品解析：江苏苏州工业园区金鸡湖学校2025-2026学年第二学期第二次模拟练习初三年级数学学科

2025-2026学年第二学期第二次模拟练习 初三年级数学学科 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚，保持答题卷卷面清洁． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 下列大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，所以不是轴对称图形， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则与合并同类项法则，根据初中整式运算的对应法则逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，A计算错误； 选项B：∵合并同类项时，系数相加减，字母和指数保持不变，∴，B计算错误； 选项C：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，C计算正确； 选项D：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴，D计算错误． 4. 近些年来随着人们健康意识的增强，马拉松逐渐成为大家喜爱的运动．下表是某地举办的一次马拉松比赛中，共100名队员跑完全程的用时统计表．则这100名队员跑完全程所用时间的中位数应落在（ ） 时间 3小时内 3-3.5小时 3.5-4小时 4-4.5小时 4.5-5小时 5小时以上 人数 5 12 28 25 17 13 A. 3-3.5小时 B. 3.5-4小时 C. 4-4.5小时 D. 4.5-5小时 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的判断， 根据定义解答即可，将一组数据从大到小（从小到大）排列，最中间的一个或两个的平均数是这组数据的中位数. 【详解】解：前三组总人数为，所以第50,51个数都在4-4.5小时内，所以中位数落在4-4.5小时. 故选：C. 5. 如图，在平行四边形中，分别是边上的点，连接相交于点，延长交的延长线于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质列出比例式，判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，错误、正确，符合题意； ，正确，不符合题意； ，正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6. 不等式的负整数解的个数有（ ） A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得不等式的解集，然后即可写出它的负整数解． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴负整数解为，共有4个． 7. 如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，连接，根据题意得出，根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵的度数为，的度数为， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 8. 如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. y的最小值为64 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题、勾股定理、二次函数、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合图象可求出的长，过点作交于点，由图2知，点为最高点，当点和点重合时，最大，根据三角函数和勾股定理可求出和，进而判断选项B和选项C；用的值可判断选项A；当，即点和点重合时，有最小值，进而判断选项D． 【详解】解：由图2可知，当时，，即， ∴， ∵D是边的中点， ∴； ∵， 即，，， 此时，， 如图，过点作交于点，则有为等腰三角形， ∴，； 由图2知，点为最高点， ∵当点和点重合时，最大， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（负值舍去），故选项C错误； ∴，， ∴，，故选项B正确； ∴，故选项A错误； 由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小， 此时， ∴， ∴的最小值为，故选项D错误．   故选：B ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应的位置上）． 9. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，解得， 故答案为：． 10. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【详解】． 11. 我们知道太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为，数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率计算公式及应用，熟练掌握面积之比几何概率是解题的关键． 根据飞镖扎在阴影区域的概率阴影区域面积与总面积之比，计算即可得到答案． 【详解】解：设小正方形面积为， 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形构成， 飞镖游戏板的面积为，阴影区域面积为， 飞镖扎在阴影区域的概率是， 故答案为：． 13. 如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据矩形，得到,结合点E是的中点，得到，得到，结合矩形性质，得到，根据公式计算即可，本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆锥侧面展开，熟练掌握公式，特殊角的三角函数，侧面展开是解题的关键． 【详解】∵矩形， ∴,， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 设圆锥的底面半径为r， 根据题意，得， 解得， 故答案为：1． 14. 刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，作，设，则，再说明是等边三角形，然后求出，即可得外切正六边形的面积是，进而得出内接正六边形的面积，最后求出比即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点O作， 设，则， 根据题意可得，则是等边三角形， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理，得， ∴， ∴外切正六边形的面积是； 同理可得， 则内接正六边形的面积是， 所以的内接正六边形与外切的正六边形得面积比是． 15. 如图，在中，，，点D是的中点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，连接，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，取中点F，首先由得到，设，则，勾股定理表示出，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，取中点F ∵在中，，点D是的中点， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点F是中点 ∴设，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 16. 如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点，点P、Q是线段AB、上的动点，且BP=，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，交AC于点O．可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，根据等积法可求出的长，即得出B和的坐标．根据勾股定理可求出A和C的坐标，从而可求出经过A、B的直线解析式和经过、C的直线解析式．故可设P(，)，Q(，)，根据两点的距离公式求出，，根据BP=，即得出m，n的关系．还可求出，结合二次函数的性质求出的最小值即得出PQ的最小值． 【详解】连接，交AC于点O． 由翻折可知，． 故可以O为坐标原点，以AC方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图． ∵在中，AB=12，BC=5， ∴． ∵， ∴． ∴B(0，)，(0，)． ∵在中，AB=12，， ∴， ∴， ∴A (，0)，C(，0)． 设经过A、B的直线解析式为， 则，解得：， ∴经过A、B的直线解析式为． 设经过、C的直线解析式为， 则，解得：， ∴经过、C的直线解析式为． 故可设P(，)，Q(，)， 则，， ∵， ∴， 整理，得：． 根据所作坐标系可知，． ∴． ∵， 将代入，并整理得：， 其对称轴为，且开口向上， 又∵， ∴当时，最小，最小值为， ∴此时最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，坐标与图形，两点的距离公式以及二次函数的性质．把几何问题改为二次函数求最值的问题是解题关键．本题数据处理较大，较难． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算绝对值、乘方、特殊三角函数值，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 得： ③， 得：，解得：， 把代入②得， 所以． 19. 先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号内的分式通分， 把除法转化为乘法，然后约分计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：，，， （2） 证明： ，即 又， （） ． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的推论、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）通过角的等量代换，结合三角形内角和定理的推论，推导得出． （2）先证明角相等，再结合已知边相等，利用全等三角形判定定理证明三角形全等，进而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》（分别用A、B、C、D表示）中随机抽取一首进行朗诵：第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》（分别用E、F、G表示）中随机抽取一首进行讲解，小明和晓慧都参加了诗词大赛． （1）小明第一轮抽到《将进酒》的概率是______． （2）利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式进行求解即可； （2）列出表格进行求解即可． 【小问1详解】 解：第一轮随机抽取一首诗词共有4种等可能的结果，其中抽到《将进酒》的结果有1种， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： E F G A B C D 共有12种等可能的结果，其中晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》只有1种结果； ∴． 【点睛】本题考查列表法求概率．正确的列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键． 22. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， ∴补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 23. “渝超”足球联赛赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内．在某次进攻回合中，球员乙在处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于处、处、处接球．已知位于的北偏东方向，且位于的北偏东方向40米处，位于的北偏西方向上，位于的正东方向，且位于的南偏东方向上．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）当丙在处接到乙传球后立即沿方向跑动，同时甲从处沿方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度的3倍，请问此时球员丙离开处多少米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）米 （2）球员丙离开处米 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，，米，过点作于点，则，再根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质即可求解； （2）根据题意是等边三角形，点分别表示丙，甲，设秒时甲与丙刚好相距30米，设丙的速度为，则甲的速度为，根据含30度角的直角三角形的性质得到，则，，，在中，由勾股定理得，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 根据题意，，，，米， ∴，， ∴， 在中，， 过点作于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴（米），（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：如图所示，，， ∴，即是等边三角形， ∴米， 根据题意，点分别表示丙，甲，设秒时甲与丙刚好相距30米，设丙的速度为，则甲的速度为， ∴，，则，， 过点作于点， ∵， ∴，则，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，， 当时，米，米， 当时，米，米，不符合题意，舍去； ∴球员丙离开处米． 【点睛】本题主要考查方位角，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，以点为直角顶点作等腰，若点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式，一次函数的表达式 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定与性质，利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入求得n的值，再利用待定系数法求解即可； （2）过点A作x轴的平行线，过点E，F作x轴的垂线，交直线于点，根据等腰直角三角形的性质证明，设点，，则，从而得到，再列方程组，解方程组即可求解． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作x轴的平行线，过点E，F作x轴的垂线，交直线于点， ， ， ， ， ， 设点，， ， ， ， ，即， 两式相加得：，即， 将代入得：，即， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， 点是反比例函数图象上点右侧一点， ∴． 25. 如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求证：四边形是平行四边形． （3）设与交于点，若的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到，利用平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用等腰三角形的性质定理，圆周角定理和平行线的判定定理得到，再利用平行四边形的判定定理解答即可； （3）连接与交于点H，利用垂径定理得到，利用三角形的中位线定理得到，，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 平分， ， ， ， ． 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：连接，与交于点，如图， 的半径为， ，． 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ，， 为的中位线， ， ． ， ， ， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，垂径定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的关键． 26. 如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，其中点坐标，点坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点为轴上一个动点，则最小值为_______． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）将、代入，利用待定系数法求解即可； （2）连接，过O作于H，并延长至点M，使，作直线交抛物线于G，过M作于N，利用等面积法求出，，证明，求出，，可得M的坐标，求直线解析式，把直线解析式和抛物线的解析式联立方程组，解方程组可求点G坐标； （3）取点，作直线，过Q作于H，过B作于M，利用勾股定理求出，利用同角的正弦值相等可得出，求出，则，故要求的最小值，只需求的最小，当B、Q、H三点共线，且时，最小，最小值为，证明，利用相似三角形的性质求出得，即可求解． 【小问1详解】 解：将、代入可得， ， 解得， 抛物线的解析式是 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 连接，过O作于H，并延长至点M，使，作直线交抛物线于G，过M作于N， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴ ∴存在点，使； 【小问3详解】 解：取点，作直线，过Q作于H，过B作于M， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴要求的最小值，只需求的最小， 当B、Q、H三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的最小值为 ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 27. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）45（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质和折叠性质，先由推出 ，进而得 ，再根据算出等角度，然后依据判定，从而得出 ． （2）根据折叠性质得出角和边的关系，通过计算推出，结合角的等量关系得到，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求，依据直角三角形斜边中线性质求出 ． （3）对被分成一个等边三角形和一个等腰三角形的情况进行分类讨论： 当为等边三角形时，先得出，通过角的运算求出和，再在中利用正切函数求出的长度． 当为等边三角形时，得出，通过角的关系得到，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ． 【详解】在正方形中，． ∵， 由折叠性质可知，且． ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 因为，，， ∴． ∴， 故答案为：45； （2）由折叠可知，， ． 四边形为正方形， ． 又， ， ． 又， ． 由折叠的性质可得， ． 点为的中点， ， 在正方形中，， ， ． （3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图： 此时，因为，所以． 已知，在中，，解得． 情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时： 此时，则． 在中，， 解得． 综上所述：段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、图形折叠的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质以及三角函数的应用；解题关键是熟练运用上述性质和定理，通过分析折叠前后图形的角与边的关系，结合特殊三角形的性质进行推理计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第二次模拟练习 初三年级数学学科 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚，保持答题卷卷面清洁． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 下列大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 近些年来随着人们健康意识的增强，马拉松逐渐成为大家喜爱的运动．下表是某地举办的一次马拉松比赛中，共100名队员跑完全程的用时统计表．则这100名队员跑完全程所用时间的中位数应落在（ ） 时间 3小时内 3-35小时 3.5-4小时 4-4.5小时 4.5-5小时 5小时以上 人数 5 12 28 25 17 13 A. 3-3.5小时 B. 3.5-4小时 C. 4-4.5小时 D. 4.5-5小时 5. 如图，在平行四边形中，分别是边上的点，连接相交于点，延长交的延长线于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的负整数解的个数有（ ） A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 6个 7. 如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图1，在中，D是边中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. y的最小值为64 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相对应的位置上）． 9. 函数中，自变量x的取值范围是________． 10. 因式分解：_______． 11. 我们知道太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为，数据用科学记数法表示为__________． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 13. 如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为______． 14. 刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 15. 如图，在中，，，点D是的中点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，连接，则_____． 16. 如图，将直角△ABC沿斜边AC翻折后B点的对应点，点P、Q是线段AB、上的动点，且BP=，已知AB=12，BC=5，则线段PQ的最小值为 ______． 三、解答题（本大题共11小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组 19. 先化简，再求值：，其中. 20. 如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证： （1）； （2）． 21. 为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》（分别用A、B、C、D表示）中随机抽取一首进行朗诵：第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》（分别用E、F、G表示）中随机抽取一首进行讲解，小明和晓慧都参加了诗词大赛． （1）小明第一轮抽到《将进酒》的概率是______． （2）利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率． 22. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 23. “渝超”足球联赛赛季正如火如荼进行中．如图，A，B，C，D在同一平面内．在某次进攻回合中，球员乙在处发任意球，球员甲、丙、丁分别位于处、处、处接球．已知位于的北偏东方向，且位于的北偏东方向40米处，位于的北偏西方向上，位于的正东方向，且位于的南偏东方向上．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）当丙在处接到乙传球后立即沿方向跑动，同时甲从处沿方向朝球员丁跑动．在甲与丁相遇前某时刻，丙将球传给了甲，此时甲与丙刚好相距30米，若甲速度为丙速度3倍，请问此时球员丙离开处多少米（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，以点为直角顶点作等腰，若点恰好也落在这个反比例函数图象上，求点的坐标． 25. 如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求证：四边形是平行四边形． （3）设与交于点，若的半径为，，求的长． 26. 如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，其中点坐标，点坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点为轴上一个动点，则最小值为_______． 27. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $