2.4.3 整数指数幂的基本性质 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦整数指数幂的基本性质，涵盖正整数、零次、负整数指数幂的运算规则，通过正整数指数幂到整数指数幂的扩展，结合同底数幂除法与负指数幂的推导过程，搭建知识支架帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于推导过程严谨培养推理意识，典例精析与易错小结结合强化运算能力，实际应用案例如杀菌剂问题体现应用意识。学生能形成有条理的思维，提升解题能力，教师可借助系统资源提高教学效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 2.4.3 整数指数幂的基本性质 第2章 分式 湘教版数学八年级上册2.4.3 整数指数幂的基本性质同步练习题 核心知识点梳理 整数指数幂包含正整数指数幂、零次幂、负整数指数幂，所有正整数指数幂的运算性质对整数指数幂完全适用（所有底数均不为0）。 1. 同底数幂相乘：$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ 2. 同底数幂相除：$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$ 3. 幂的乘方：$$(a^m)^n = a^{mn}$$ 4. 积的乘方：$$(ab)^n = a^n b^n$$ 5. 商的乘方：$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$ 6. 特殊规定：$$a^0=1(a eq0)$$，$$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}(a eq0)$$ 核心要求：所有运算结果必须化为正整数指数幂形式。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 计算$$a^{-2}\cdot a^3$$的结果是（） A. $$a$$ B. $$a^{-1}$$ C. $$a^5$$ D. $$a^{-6}$$ 2. 下列运算正确的是（） A. $$x^0=1$$ B. $$(x^{-2})^3=x^{-6}$$ C. $$2a^{-2}=\dfrac{1}{2a^2}$$ D. $$a^2\div a^{-1}=a^{-3}$$ 3. 计算$$(2x^{-1}y^2)^{-2}$$的结果是（） A. $$\dfrac{x^2}{4y^4}$$ B. $$\dfrac{4}{x^2y^4}$$ C. $$\dfrac{x^2}{2y^4}$$ D. $$\dfrac{y^4}{4x^2}$$ 4. 计算$$a^3\div a^5$$的结果是（） A. $$a^2$$ B. $$a^{-2}$$ C. $$\dfrac{1}{a^2}$$ D. $$-a^2$$ 5. 化简$$\left(\dfrac{a^{-2}}{b^3}\right)^2$$的结果是（） A. $$\dfrac{1}{a^4b^6}$$ B. $$\dfrac{1}{a^2b^6}$$ C. $$a^4b^6$$ D. $$\dfrac{b^6}{a^4}$$ 6. 若$$2^m=\dfrac{1}{8}$$，则m的值为（） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 二、填空题（每题4分，共24分） 7. 计算：$$x^4\cdot x^{-6}=$$________（化为正指数）。 8. 计算：$$(a^{-3})^2=$$________。 9. 化简：$$(2ab^{-1})^3=$$________。 10. 计算：$$y^{-2}\div y^3=$$________。 11. 计算：$$3^0\times3^{-2}=$$________。 12. 若$$a^{-4}\cdot a^n=a^2$$，则$$n=$$________。 三、解答题（共52分） 13.（16分）基础运算（结果保留正整数指数幂）： （1）$$a^{-1}\cdot a^4\div a^{-2}$$（2）$$(-2x^{-2}y)^2$$ 14.（18分）混合化简运算： （1）$$\dfrac{a^{-2}b^3}{a^4b^{-1}}$$ （2）$$(x^{-3})^2\cdot(x^4)^{-1}$$ 15.（18分）先化简，再求值： $$(2a^{-2}b)^2\div a^{-3}b^2$$，其中$$a=2，b=3$$。 参考答案及详细解析 一、选择题 1.A（同底数幂相乘，指数相加：$$-2+3=1$$，结果为$$a$$）； 2.B（A需满足$$x eq0$$，C应为$$\dfrac{2}{a^2}$$，D应为$$a^3$$，B正确）； 3.A（积的乘方展开：$$2^{-2}x^{2}y^{-4}=\dfrac{x^2}{4y^4}$$）； 4.C（指数相减$$3-5=-2$$，化为正指数为$$\dfrac{1}{a^2}$$）； 5.A（幂的乘方：$$a^{-4}b^{-6}=\dfrac{1}{a^4b^6}$$）； 6.B（$$\dfrac{1}{8}=2^{-3}$$，故$$m=-3$$）。 二、填空题 7. $$\dfrac{1}{x^2}$$（$$x^{4-6}=x^{-2}$$，化为正指数）； 8. $$a^{-6}=\dfrac{1}{a^6}$$； 9. $$\dfrac{8a^3}{b^3}$$（展开$$8a^3b^{-3}$$化简）； 10. $$\dfrac{1}{y^5}$$（$$y^{-2-3}=y^{-5}$$）； 11. $$\dfrac{1}{9}$$（$$1\times\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{9}$$）； 12. $$6$$（$$-4+n=2$$，解得$$n=6$$）。 三、解答题 13. 解： （1）原式$$=a^{-1+4-(-2)}=a^5$$； （2）原式$$=4x^{-4}y^2=\dfrac{4y^2}{x^4}$$。 14. 解： （1）原式$$=a^{-2-4}b^{3-(-1)}=a^{-6}b^4=\dfrac{b^4}{a^6}$$； （2）原式$$=x^{-6}\cdot x^{-4}=x^{-10}=\dfrac{1}{x^{10}}$$。 15. 解： 原式$$=4a^{-4}b^2\div a^{-3}b^2=4a^{-4-(-3)}b^{2-2}=4a^{-1}=\dfrac{4}{a}$$， 将$$a=2$$代入，原式$$=\dfrac{4}{2}=2$$。 本节易错小结 1. 整数指数幂运算先算乘方，再算乘除，严格遵循运算顺序； 2. 系数与字母指数分开运算，切勿混淆系数和指数的计算规则； 3. 最终结果严禁保留负指数，必须统一转化为正整数指数幂； 4. 零次幂参与运算时，优先判断底数是否为0，避免无意义运算； 5. 积、商的乘方，要给每一个因式分别乘方，杜绝漏乘方。 学习目标 1.理解整数指数幂的运算法则；（重点） 2.会用整数指数幂的运算法则进行计算. 3. 学习目标 整数指数幂的运算 1 计算：(1) a3·a－5； (2) a－3·a－5； (3) a0·a－5. 解：(1) a3·a－5 ＝ (2) a－3·a－5＝ (3) a0·a－5＝ 观察上式你有什么发现？ 猜想： am · an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数). a3+(－5) a－3+(－5) a0+(－5) 设 a≠0，m，n 都是正整数，且 m > n. 由于 a 于是 ＝·＝·a 因此 am·a－n＝am－n＝am + (－n). ② 由于 m 个a n 个a (m－n)个a ＝a－(m－n) ＝a(－m)+n. ＝·＝a· 且 所以 a－m·an＝a(－m) + n . ③ 类似可得，当 m≤n 时，等式②③仍成立. 又由 可得 a a－m·a－n＝ ·＝ ＝＝a－(m + n) ＝a(－m) + (－n). 由上可知，引入负整数指数幂后， am · an = am+n (a≠0，mn≠0且m，n 都是整数). 仍然成立. ④ 做一做 (1) 已知 a≠0，m，n 都是整数，填空： ① a0·an = 1×an = a( ) = a0 + ( )； ② am·a0 = am×1 =a( ) = am + ( )； (2)由(1)可猜测：当 a≠0，mn = 0 时，am·an = a( ). n m 0 n m+n 可以证明，引入零次幂后， am · an = am+n (a ≠ 0，mn = 0且 m，n 都是整数). 仍然成立. ⑤ 知识要点 由 ④⑤ 可得整数指数幂的基本性质1： am · an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数). 我们已经知道，(am)n = amn，(ab)n = anbn，其中 m，n 都是正整数. 引入负整数指数幂后，当 a≠0，b≠0时，上述性质是否仍然成立？下面来进行研究. 由上可猜测：引入负整数指数幂后，当 a≠0，b≠0时，若 m，n 为整数且 mn≠0，则 (am)n = amn 和 (ab)n = an·bn 仍然成立. 数学上已经证明此猜测成立，并且此结论也适合 m，n 为整数且 mn = 0 的情形. 由此可得整数指数幂的基本性质2： (am)n = amn (a ≠ 0，m，n 都是整数). 以及整数指数幂的基本性质3： (ab)n = an·bn ( a≠0，b≠0， n 是整数). 知识要点 例1 设 a≠0，b≠0，计算下列各式： (1) a7·a－3；　 (2) (a－3)－2； (3) (a－1b)－2. 解：(1) a7·a－3 (2) (a－3)－2 = a7 + (－3) = a(－3)×(－2) = a4. = a6. (3) (a－1b)－2 = a2b－2 = . 注意：最后结果一般不保留负指数，而写成分式形式. 典例精析 设 a≠0，b≠0，n 是整数，利用整数指数幂的基本性质2 和基本性质3 得 (a·b－1)n = an·(b－1)n = an·b－n ＝an·＝ . 因此 ＝ ( a≠0，b≠0， n 是整数). 知识要点 例2 计算下列各式： 例3 计算： (1)(x3y－2)2； (2) x2y－2 · (x－2y)3； 分析：先算幂的乘方，再算幂的乘除，最后将负整数指数幂化成正整数指数幂． 解：(1) 原式＝x6y－4 (2) 原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y 提示：计算结果一般需化为正整数指数幂的形式. (3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3； (4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2. (4) 原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3 ＝0.003. 解：(3) 原式＝9x4y－4÷(x－6y3)＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7 例4 已知 a－m＝3，bn＝2，则 (a－mb－2n)－2＝____． 解析：(a－mb－2n)－2＝(a－m)－2·b4n ＝(a－m)－2(bn)4 ＝3－2×24 ＝ 方法总结：逆用幂的运算法则，把要求的代数式用已知的式子来表示是解题的关键． 例5 某房间空气中平局均每立方米含 3×106 个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现 1 毫升这种杀菌剂可以杀死 2×105 个病菌，问要将长 10 m，宽 8 m，高 3 m 的长方体房间内的病菌全部都杀死，至少需要多少毫升这种杀菌剂？ 解：(10×8×3)×(3×106)÷(2×105) = (720×106)÷(2×105) = 360×10 = 3.6×103(毫升). 答：至少需要 3.6×103 毫升这种杀菌剂. 整数指数幂运算的实际应用 1 1. ［衡阳期末］运算结果为 的是( ) B A. B. C. D. 2. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 16 返回 D 3 考试考法 17 考试考法 返回 考试考法 返回 6．[张家界市期中]一个正方体盲盒的棱长为0.4 m，若有一个小立方块的棱长为1×10－3 m，则要将此盲盒装满需要小立方块的个数为________．(用科学记数法表示) 4×107 考试考法 20 返回 7. 一个数学九宫格中，当处 于同一横行，同一竖列，同一对角线上的3 个数之积都相等时，称这个九宫格为“积的 九宫归位”.在如图的九宫格中，已填写了一 【点拨】由题意得,即 ,即 ,所以,所以 . 些数或式子，为了完成“积的九宫归位”，则 的值为____. 考试考法 21 8. 已知a＝2－4 444，b＝3－3 333，c＝5－2 222，请用“＜”把a，b，c连接起来：__________． b＜c＜a 考试考法 22 9. 我们把正整数指数幂的运算扩充到整数指数幂的运算，同样，我们也可把整数指数幂的运算扩充到分数指数幂的运算． 对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s都是有理数)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s都是有理数)； ③(ab)r＝ar·br(a＞0，b＞0，r是有理数)． 考试考法 23 请运用分数指数幂的性质计算下列各式(式子中的字母均是 正数)： （1） ； 【解】 . 考试考法 24 （2） . . 返回 考试考法 25 am · an = am+n (a≠0，m，n 都是整数)； (am)n = amn (a≠0，m，n 都是整数)； (ab)n = anbn (a≠0，b≠0，n 是整数). 整数指数幂的运算公式： 1. 在应用各公式时，底数必须是相同的，指数可以是任意整数； 2. 注意负整数指数幂和零指数幂中，底数不为 0 的条件. 注意： 课堂小结 3.已知5a＝m，2a＝n，则用m，n表示10－2a正确的是(　　) A．mn B．m2n2 C. D. 4．(1)若2x＝4y＋1，27y＝3x－1，则x－y＝________． (2)若10－2α＝3，10－β＝，则106α＋2β＝________． 【解】原式＝·[－(a2)3(b－1)3]÷[(a－1)－4(b2)－4]＝－4a－4b－8·a6b－3÷a4b－8＝－4a－2b－3＝－. 5．计算： (1)(m－3n)－2·(2m－2n－3)－2； (2)·(－a2b－1)3÷(a－1b2)－4； 【解】原式＝m6n－2·2－2m4n6＝m6＋4n－2＋6＝m10n4. (3). 【解】原式＝x－2y－3·(－2)－2x6y2÷(2－1x2y－3)＝·x－2＋6－2·y－3＋2－(－3)＝x2y2. 【点拨】因为a＝2－4 444＝，b＝3－3 333＝，c＝5－2 222＝，>>，所以＜＜.所以b＜c＜a. $